射影平面

平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 1.2 拓广平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
§ 1.2 拓广平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
§ 1.2 拓广平面
(3) 拓广直线的拓扑模型 (4) 拓广直线上点的分离关系 欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 拓广直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
给平行线添加交点！
§ 1.2 拓广平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.2 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应
§ 1.2 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
} 定义1.22 : l l'
2、平面到平面的中心射影
均不是一一对应
定义1.23 : '
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一一对应？
§ 1.2 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.23 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影
三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u ,U u,OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ',V 'v',OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.2 拓广平面
三、拓广平面
定义1.24 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
§ 1.2 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
定义1.22 : l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点 OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应!
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
定理1.16 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线(射影仿射直线)
(1) 拓广直线的封闭性 欧氏直线：向两个方向无限伸展 拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
在拓广平面wk.baidu.com，可 以证明：
I，II为同一区域 III，IV为同一区域
§ 1.2 拓广平面
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 2、拓广平面(射影仿射平面)
(1) 拓广平面的封闭性 (2) 拓广平面的拓扑模型
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1.2 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
点偶A,B不分离点偶C,D
§ 1.2 拓广平面
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 2、拓广平面(射影仿射平面)
(1) 拓广平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域
(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域