射影几何学

射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。

一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。

这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。

这门几何学就是射影几何学。

基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。

早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。

在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。

在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。

那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。

在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。

这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。

在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。

稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。

1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。

他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。

迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。

用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。

帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。

”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。

1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。

迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。

帕斯卡接受了这些建议。

后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。

不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。

但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。

他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。

射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。

他是画法几何的创始人蒙日的学生。

蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。

由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。

1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。

他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。

他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。

稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。

为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。

由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。

另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。

首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。

接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。

他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。

在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。

还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。

他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接?蚪唷?882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。

射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。

把各种几何和变换群相联系的是克莱因，他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。

这个纲领产生了巨大影响。

但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。

后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。

主要内容概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。

交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。

在两个图形中，它们如果都是由点直线或一个平面和一条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直线；此外,每两点总决定一条直线,每三个不共线点总决定一个平面，等等。

齐次坐标为了能用代数方法来处理射影(或扩大)空间的几何问题，需要引进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。

仍从欧氏（或仿射）平面开始。

设在平面上已经建立了以□为原点的直角（或仿射）坐标系，(□,□)为一点□ 的坐标。

令□则比值□0:□1:□2完全确定□ 的位置,(□0,□1,□2)就叫做□的齐次（笛氏）坐标。

原点的齐次坐标显然可以写成(1,0,0)。

设□不是原点□,则□1,□2不同时等于零；再令□1,□2固定,而令□0向0接近，则□点沿一条经过□而斜率为□2:□1的直线□向远方移动。

设□表示扩大直线□上的无穷远点，则可以认为，当□0趋于□ 时,□趋于□。

因此,可以把(0,□1,□2)作为□的齐次坐标，特殊地，(0,1,0)和(0,0,1)依次是□轴和□ 轴上无穷远点的齐次坐标。

这样,每一组不同时为零的三个数□0,□1,□2 都是扩大平面上一点的齐次坐标，而若□ 为不等于零的数，则(□□0,□□1,□□2)和(□0,□1,□2)代表同一点，下面引进记号(□)=(□0,□1,□2),□(□)=(□□0,□□1,□□2)。

设□ (□1,□2不都是0)是欧氏（或仿射）平面上一条直线的方程。

在用齐次坐标表示时，它可以写成□， (1)这也就是扩大直线的齐次方程，这直线上的无穷远点是(0,□2,-□1)。

扩大平面上的无穷远直线方程显然可以写成□0=0。

这样，每一个齐次线性方程都代表扩大平面上一条直线。

由于比值□0:□1:□2完全确定直线,(□)=(□0,□1,□2)就叫做（齐次）线坐标。

为了区别两种齐次坐标,上面引进的(□)＝(□0,□1,□2)就叫做（齐次）点坐标。

方程(1)叫做点(□)和线(□)的关联条件或接合（即(□)在(□)上，或(□)经过(□)）条件。

当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，(□)和(□)就依次成为射影平面上的齐次点坐标和线坐标，它们都可以看作射影坐标的特款。

与此类似,可以得到扩大或射影直线上的点坐标(□)=(□0，□1)以及扩大或射影空间的点坐标(□)=(□0,□1,□2,□3)和面坐标(□)＝(□0,□1,□2,□3)。

在扩大或射影空间中，点(□)和面(□)的关联条件是□下面，除非特别指明，所讨论的空间，就是三维射影空间，所讨论的点、线、面都是射影空间里的点，射影直线和射影平面。

在射影空间，指定一个平面□0=0作为无穷远面，就得到扩大空间（见射影坐标）。

对偶原理关联关系是射影平面和射影空间的基本关系。

在关联条件(1)中,(□)和(□)有完全的对称性，这就使得直线和点可以在逻辑上取得平等的地位。

它们叫做平面上的对偶元素。

设方程(1)里的□□是固定的,它就代表一条直线；令满足(1)的□□变动,就可以得到在该线上的一切点，这些点的集合叫做以(□)为底的点列，而(1)也就是点列的方程。

根据线性方程理论,可以看出,点列中每三点线性相关。

即：若(□),(□)是点列中任意两个不同的点,则它的每一点(□)都可以写成(□)和(□)的线性组合(□)=□□□(□)+□(□,)，其中□□□，□是齐次参数。

在一定意义上,□□□,□也可以作为点列中的射影坐标。

另一方面,若令(1)中的□□固定,而令□□变动,就得到一切经过点(□)的直线(□),它们的集合叫做以(□)为中心的线束，而(1)就是线束的方程,同时也是点(□)的方程。

若(□),(□)是线束中任意两条直线，则线束的每一条直线(□)都可以写成□。

由于点列和线束中的元素都只依赖于两个齐次参数的比值，即依赖于一个独立参数，它们就都叫做一维基本形。

已给平面上一个以点和直线构成的图形，把其中的点和直线对换，就得到另一个图形，叫做所给图形的对偶。

例如，点列（和一条直线关联的点的集合）和线束（和一点关联的直线的集合）是对偶形。

三角形是自对偶形。

对于平面上一个只涉及点与直线的关联关系的定理，如果把其中的点和直线及其关联关系对换，就得到一个新定理，叫做原定理的对偶。