射影直线与射影平面

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直线在平面内的射影

O
从平面内一点发出的从平面外不同点发出斜线段，长度虽然相等，的斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。但射影不一定相等。
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题
例1.如图，AO是平面π 的斜线，AB ⊥平面π于B， OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB= ，∠BOD= ，∠AOD= ，求证：cos =cos cos O
A

C
B D
OB＞OC AB ＞AC O

B
C
AB=AC OB=OC AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长
A
定理从平面外一
B
O
点向这个平面所引的
C

垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长
练习
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面成角，B是A在上的射影,OD是内的直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
6
3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍， B O 求斜线和平面β所成的 β 角。如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。 5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC A 所在平面上的射影是 △ABC的心。外

空间几何的射影变换

空间几何的射影变换在日常生活中，我们经常面对空间的变换，如照相机拍摄的照片、镜子中的影像等。

这些现象都与几何变换密切相关，其中，射影变换是其中一个重要的变换类型。

在本文中，我们将讨论空间几何的射影变换及其应用。

一、射影变换的基本概念射影几何是解决欧几里德几何中所无法解决的问题的一种方法，它不要求平行线有相交点，也不要求垂直线相交成直角。

在射影几何中，平行线也可能相交，万物是相互联系的，没有孤立的存在。

被称为射影变换的变换是由一组变换组成的，这些变换可以通过投影、切比雪夫变换和对合来定义。

它们可以将几何图形中的点、直线和平面进行映射，并保持它们的基本性质。

射影变换也被称为单个射影坐标系到另一个射影坐标系的变换。

二、射影变换的应用射影变换在计算机视觉、计算机图形学、航空航天技术和游戏开发等领域中经常被使用。

它是许多计算机视觉算法的重要组成部分，如物体检测、目标跟踪和姿态估计等。

在游戏开发中，射影变换用于创建虚拟世界中的相机视图，使玩家可以观察到游戏场景中的不同角度和位置。

另一个重要的应用是医学成像，如CT和MRI。

这些成像技术可以创建三维图像，从而更好地诊断疾病和故障。

射影变换在这些成像技术中扮演着重要的角色，因为它可以将成像平面与三维物体之间建立对应关系，从而实现准确的成像。

三、空间几何的射影变换实现在实现空间几何的射影变换时，需要使用矩阵变换来表示变换矩阵。

通常使用4×4的矩阵表示射影变换，其中前三行表示旋转和缩放，第四行表示平移和尺度变化。

假设有一个点(x,y,z,1)在进行变换时，只需将其分别乘以变换矩阵的每一行即可得到变换后的坐标。

在实际应用中，常用的射影变换包括投影变换、剪裁变换、变换到相机坐标系等。

投影变换用于将三维场景投影到一个二维平面上，常用于计算机图形学和计算机视觉中。

剪裁变换用于筛选出场景中实际可见的区域，同时去掉不必要的区域。

变换到相机坐标系用于将物体的坐标与相机的坐标建立对应关系，从而计算其在视角下的表现形式。

射影平面

射影平面３．1 中心投影与无穷远元素知识点解析中心投影定义．影消点、影消线的概念影消点没有中心投影；影消线也没有投影．无穷远点、无穷远直线的概念．仿射直线、射影直线、仿射平面、射影平面的概念．平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于一条无穷直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷远点．在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点．两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点．解题指导（习题选解）练习３－１１．证明：中心投影一般不保持共线三点的简比．证明反证法．假设中心投影保持共线三点的简比，则在中心投影下，三角形的中位线仍为三角形的中位线，于是推出中心投影把平行线变成平行线，这与中心投影不保持直线的平行性矛盾．所以，中心投影一般不保持共线三点的简比．４．设21:ππσ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在2π中是否平行，不平行有什么性质？同样，2π上的两条平行直线在1π中的原象是否为平行直线？解当投影线垂直于这对平行线时，其象在2π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在2π中不平行．同理，当投影线垂直于这对平行线时，其原象在1π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在1π中不平行．５．试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．证明同第１题．（略）．３．２图形的射影性质知识点解析透视对应、中心透视的概念透视对应把l 上的影消点Q 投影到l '上无穷远点∞'P ，把l 上的无穷远点∞P 投影到l '上影消点Q '．中心投影把π上的影消线l 投影到π'上无穷远直线∞'l ，同时把π上的无穷远直线∞l 投影到π'上影消线l '．定义3.1图形在中心投影下不变的性质（不变的量），叫做图形的射影性质．同素性和结合性都是射影不变性质；平行性质和单比不是射影不变性质，它们在中心投影下会改变．如果中心射影把平面π上的直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，如图１所示，那么平面π上两条相交直线a 与b ，若交点在影消线l 上，则它们的象是π'上的两条平行线a '与b '；反过来，平面π'上两条平行线，它们的原象是π上的两条相交于l 的直线．利用中心投影把一直线投影成无穷远直线，可以用来证明一些几何问题．解题指导（习题选解）练习３－２１．求证：一直线与和它平行的平面交于一个无穷远点证明如果一条直线平行一个平面，则这个平面内有无数条直线与它平行，因为两条直线交于无穷远点，所以，这条直线与这个平面交于无穷远点．２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行直线．证明设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l '和2l '，则P 点对应无穷远点．由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是1l '和2l '的交点，即无穷远点，也就）（图1是1l '∥2l '．３．设OX ，OY ，OZ 为三条定直线，A ，B 为二定点，其连线过O ，点R 为OZ 上的动点，且直线RA ，RB 分别交OX ，OY 于点P ，Q ，求证：PQ 通过AB 上一定点．分析这个题目是要证明PQ 的连线通过AB 上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图所示，则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形．于是有2121//R R P P2121//R R Q Q所以2121//Q Q P P即四边形2211P Q Q P 为平行四边形，11Q P ∥22Q P ．则11Q P 通过∞M ，由中心射影保持结合性不变可知，PQ 通过AB 上一定点．４．在一个平面内的影消线上取定两点A ，B ，C 为该平面内的任意一点，求证∠ACB 投影后是一个常量．分析如图所示，平面α上的 ∠ACB 经射影后，在β平面上射影成∠B C A '''．因为A ，B 为影消线上两点，OMY2R 1P 1R BAZ2Q 1Q 2P X ）图题（第32R 1R ZY X2P 1P ∞B ∞A ∞M ∞O 2Q 1Q所以OA ∥β，且OA ∥A C ''，OB ∥β，且OB ∥B C ''，所以∠B C A '''＝∠ACB ．而∠ACB 为定角．由于∠ACB 经投影后，不论C 取在平面上任何位置，其射影成的角∠B C A '''永远等于定角∠ACB ，所以为定值．注意：由于射影中心O 和影消线AB 所成平面一定平行于平面β，所以，利用有关立体几何的平面与平面平行的定理，就可以证明此题．３．3笛沙格定理知识点解析三点形、三线形概念定理3.1（笛沙格定理）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条线上．定理3.２如果两个三点形对应边的交点在一条线上，则对应顶点的连线交于一点（共点）．解题指导（习题选解）练习３－３１．三角形ABC 的顶点A ，B ，C 分别在共点的三直线α，β，γ上移动．证明：AB 和BC 分别通过定点P 与Q 时，CA 也通过PQ 上的一个定点．证明如图所示．设三角形C B A ''' 是满足条件的另一个三角形，在三角形ABC 和C B A '''中，由于对应点的连线l ，m ，n 共点O ，由笛沙格定理可知，对应边的交点P ，Q ，R 共线，即AC 与C A ''的交点R 必在直线PQ 上，于是R 为定点．２．若三角形ABC 的二顶点B 与C 分别在定直线α与β上移动，三边AB 、BC 、C A题图）（第1ABB 'P ClA 'C 'OQRn m分别通过共线的定点P ，Q ，R ，求证顶点A证明根据图形(见第２题图)可知，Λ),,,(21ΛB B B),,,(21ΛC C C ，则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中，PR 是自对应元素，所以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线．３．设A ，B ，C ，D 为平面上的四点，R CD AB =⨯（AB 与CD 的交点为R ），P AD BC =⨯，Q BD AC =⨯．试证：BC 与QR 的交点1A ，CA 与RP 的交点1B ，AB 与PQ 的交点1C 在同一直线上．证明如图所示．在三角形ABC 和PQR 中，对应顶点的连线AP ，BQ ，CR 共点于S ，由笛沙格定理，对应边的交点1A ，1B ，1C 共线．３．４齐次坐标知识点解析一维齐次坐标),(21x x ，其中1x ，2x 满足x x x =21)0(2≠x 二维齐次坐标),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32)0(3≠x ，),(y x 是欧氏平面内的笛氏坐标．)0,,(21x x （1x ，2x 不同时为0）是一个无穷远点的齐次坐标．A题图）（第21题图）（第3),,(321x x x )0(3≠x 是一个有穷远点的齐次坐标．)0,0,0(不表示一个点的齐次坐标．)0,,1(k 为一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标．直线方程欧氏坐标系下直线方程为)0(02221321≠+=++a a a y a x a其中),(y x 是直线上点的非齐次坐标．点),(y x 的齐次坐标为),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32．直线的齐次方程为)0(022********≠+=++a a x a x a x a过原点的直线的齐次方程为)0(022212211≠+=+a a x a x a无穷远直线的齐次方程为03=x无穷远直线无非齐次方程．齐次线坐标直线的齐次方程为0332211=++x u x u x u321,,u u u 叫做直线的齐次线坐标，记为],,[321u u u ．]0,0,1[是y 轴的齐次线坐标． ]0,1,0[是x 轴的齐次线坐标． ]1,0,0[是无穷远直线的齐次线坐标．定理3.3一点),,(321x x x X =在一直线],,[321u u u u =上的充分必要条件为0332211=++x u x u x u直线0332211=++x u x u x u 的非齐次坐标为31u u u =，32u uv =．所有不通过原点的直线方程都可以写成01=++vy ux两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的方程为0321321321=b b b a a a x x x即0)()()(312213311312332=-+-+-x b a b a x b a b a x b a b a两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的坐标为),,(122131132332b a b a b a b a b a b a ---解题指导（习题选解）练习３－４１．试求出下面各点的齐次坐标．（１）)0,0(，)0,1(，)1,0(，)35,2(．（２）以43为方向的无穷远点。

[高等教育]射影平面

3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 2.1 射影平面
三、射影平面
定义1.24 通常点和无穷远点统称拓广点；添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿射直线)；添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
§ 2.1 射影平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
§ 2.1 射影平面
(3) 射影直线上点的分离关系
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
平行
无穷远点
两直线不平行交于惟一有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 2.1 射影平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.23 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像

射影几何学

射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。

一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。

这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。

这门几何学就是射影几何学。

基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。

早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。

在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。

在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。

那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。

在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。

这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。

在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。

稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。

1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。

他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。

射影定理结论

射影定理结论射影定理（ProjectiveTheorem）是一种数学定理，它以简洁的方式描述了空间中的点、线和平面的关系。

它揭示了空间中某个点会在线或平面上给出对应的点，也就是说，它提出了射影映射这一结果。

这个定理是著名的法国数学家宗撰写的，他于1822年在他的著作《试论平面曲线理论》中提出了射影定理。

射影定理的结论如下：空间中的任意一点都可以在其他点、线或平面上项给出对应的点，这种对应的点即射影映射（Projection Mapping）。

射影映射有着多种应用。

首先，在从一维空间到二维空间之间的映射过程中，它广泛地用于平面绘图，其中每个像素点都可以进行射影映射。

此外，在从二维空间到三维空间间的映射中，它也可以被用于立体化模型绘制。

在三维空间绘制模型的时候，点和线的对应关系可以很容易地通过射影定理得出。

此外，即使是在从多维空间到多维空间之间的映射过程中，也可以使用射影定理，这种映射也可以应用于复杂的物理过程，例如粒子发射过程。

射影定理的另一个重要优势在于它能够提供一种数学工具，可以用于探究空间中相互关联的点对象，而不需要考虑它们之间的相对位置。

例如，假设有一条直线，它分割开空间中的两个物体，这时，只要通过使用射影定理，就可以轻松地获得物体之间的关联性，而不需要考虑它们的相对位置。

射影定理也能够用来解释很多不同的科学过程，因为它能够提供一种数学方法来分析这些过程中的物理变化。

例如，它可以分析视角变换的物理过程，也能够解释空间中的光的反射和折射过程。

最后，它也可以用于研究立体视觉的结构，这种结构通常是非常复杂的，尤其是在实践活动中。

综上所述，射影定理是一种数学定理，它以简洁的方式描述了空间中的点、线和平面的关系，它提出了平面投影映射这一结果，它能够广泛地用于从一维空间到多维空间之间的映射，能够用于研究物理过程和立体视觉结构。

直线在平面内的射影

O
从平面内一点发出的从平面外不同点发出斜线段，长度虽然相等，的斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。但射影不一定相等。
妹没什么任何道理可讲/于是赶快转移话题/扭过头朝霍沫说道：/那是年姐姐/还别赶快行礼？/霍沫被那各年姐姐の壹声/好么/搞得神情尴尬/面色通红/壹听排字琦招呼她/总算是替她解咯围/于是赶快上前规矩地行咯请安礼：/妹妹惊人の秘密：/主子/府の奴才们都在私下传着壹各消息/奴婢听咯吓坏咯/根本别敢相信/仆役妹们还跟奴婢来问是别是真の呢///噢？啥啊事情能把您给吓着？那太阳可就从西头出来咯///回主子/真の快把奴婢の魂儿吓坏咯/人人都在传言/说年侧福晋の魂儿找回来咯///啥啊？/排字琦被红莲の那壹句话惊得将手中の茶盏打翻在桌子上/热茶水洒咯壹桌子/有几点已经溅到咯她の手背上/红莲见状赶快上前去帮着擦拭/壹边小声嘀咕道：/奴婢就说嘛/当初听到の时候 /真别敢相信呢/那魂儿当初怎么说丢就丢咯/现在怎么说找回来就又找回来咯？莫别是……//就您嘴欠/我看您是别是想见小顺子那各奴才咯？//奴婢知错咯/知错咯/奴婢巴别得离那各奴才远远の/怎么可能想见他呢//小顺子是王府の行刑奴才/众人无别谈之色变/红莲当然也别例外/那边吓唬住咯红莲/那边排字琦可是心生惊澜/她壹定要搞清楚/到底是怎么回事儿/第1451章/惊心排字琦本想借着替元寿小格求情の机会从王爷那里壹探天仙妹妹の虚实/可是她提咯几次都没什么得到他同意见面の应允/排字琦是各急性子/王爷那里寻别到突破/无奈之下只得亲自出马/希望能够从天仙妹妹那里得到答案/答案很简单/别费吹灰之力/只是那各答案令排字琦の心中止别住地疑虑从生/那两各人又是因为啥啊闹起来の别扭？然而那各问题实在是太难咯/她那壹各月里前前后后来咯七八趟都没什么寻到正确答案/排字琦の好奇心没什么得到满足/却是将水清弄得整日里心惊肉跳、惶

斜线在平面内的射影直线和平面所成的角

D
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。叫做这条直线和这个平面所成的角。
斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
(1)P在∆ABC所在平面外，P在面ABC内的射影为O
当PA = PB = PC时, O是∆ABC的
直线和平面所成的角
定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（ 1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线）射影相等的两条斜线段相等，段也较长；段也较长；（ 2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射）相等的斜线段的射影相等，影也较长；影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。）垂线段比任何一条斜线段都短。
的所成的角
C
A
B
射影问题
外心
内心
当P到∆ABC三边距离相等时, O是∆ABC的
当PB与AB, BC与所成角相等时, O在∠ABC的
(2)Rt∆ABC中，∠ACB = 90o，O为AB中点
PБайду номын сангаас ⊥ 平面ABC于O PA, PB, PC大小关系为
O
P
A
B
C
例题
α , β , θ均为锐角
异面直线a, b所成的角为50°，P为空间一定点则过点P且与a, b所成角都是30°的直线有( )条 B
解：作CC1⊥平面M，连结AC1、BC1、DC1，依题意 ∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设CC1＝a，则AC＝2a，
∴∠CDC1＝60°．
这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．正确求出直线和平面所成的角

直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义

直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义考点一：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直3.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：4.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：对应练习：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥m B．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点1A 1B 1C 1D ABCD 1A 1B 1C 1D(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小A BCD1A 1B 1C 1D MNA BCP1A 1B 1C课后练习：1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与平行B、三边中至少有一边与平行C、三边中至多有一边与平行D、三边中至多有两边与平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( )(A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角答案：DBDDC BDBA BCD 1A 1B 1C 1D。

射影几何三大入门定理

射影几何三大入门定理1. 定理一：射影平面的基本性质射影几何是研究投影关系的一门数学分支，它研究的对象是射影空间和射影平面。

在射影几何中，有三个重要的入门定理，这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。

首先，我们来讨论第一个定理：射影平面的基本性质。

1.1 射影平面的定义在介绍定理之前，我们需要先了解什么是射影平面。

射影平面是指一个由点和直线构成的集合，满足以下条件：•任意两条直线有且只有一个交点；•任意两个不同的点确定一条直线。

1.2 定理一的表述定理一指出，在射影平面中，存在以下基本性质：•任意两个不同的直线交于唯一一点；•任意两个不同的点确定唯一一条直线。

1.3 定理一的证明第一个性质：任意两个不同的直线交于唯一一点假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2，在L1上取两个不同的点A和B，在L2上取两个不同的点C和D。

我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。

根据射影平面的定义，任意两个不同的点确定唯一一条直线，所以线段AB确定了一条直线L3，线段CD也确定了一条直线L4。

由于L3和L4都与L1和L2相交，所以它们一定有一个公共交点P。

假设还存在另一个不同于P的交点Q，那么根据射影平面的定义，线段PQ也应该与直线L1相交。

但是根据前面的假设，A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的，所以直线PQ与直线L1没有交点。

这与假设矛盾，因此我们得出结论：任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。

第二个性质：任意两个不同的点确定唯一一条直线假设在射影平面中存在两个不同的点A和B，在A上取两条不同的直线L1和L2，在B上取两条不同的直线L3和L4。

我们需要证明直线AB和CD（其中C为L1与L3的交点，D为L2与L4的交点）是唯一相交的。

根据射影平面的定义，任意两条直线有且只有一个交点，所以线段AB与L1和L2分别有唯一的交点C和D。

假设还存在另一条直线EF与A、B两点相交，并且E和F分别是直线EF与L1和L2的交点。

射影的有关概念及定理

平面的斜线
P 点P到平面的斜线段
Q
斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.
P
斜线段在平面内的射影
P
Q
斜线在平面内的射影
射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜
C
O
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）AOAB，AOAC
直线和平面成角
2、直线和平面所成的角斜线和平面成角
平面的证O一D明是条：设内斜直与线线a不和它在这个平面内的射影所成的锐角同，的叫任意做一这条条直斜线和这个平面所成的角.
线,过点A引AC AOB（垂记直为OD）垂是足a为与所成的角
最直直=小线线00和和角0平平0C因所A即定面面.B为以垂平/理A9A直行0OB0：或AA所在CC/成平，AO的面角内是直角
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角（2）直线和平面成角（3）最小角定理
；；；
续向前走去,不过此时根汉已经在角麟背后,此地之诡异就是角麟这远古之兽也没有听说过丶根汉抬头望向头顶壹片漆黑,尽是黑雾笼罩看不出去,周围十分の死寂严重缺少生机丶偶有微风吹拂带来の是那阴森之意,带着微微の凉让人鸡皮疙瘩都要起来,宛如来到了冥间丶漆黑の雾霭在翻涌, 似乎其中在有什么东西在潜藏着要破雾而出,但是出了微微の咽呜声之外又没有其他の声音,让人心中感到不安丶不过根汉不是寻常人危险之境见得多了,自然不会在意这些,而角麟也不差老奸巨猾,胆大心细实力也不弱更是不担心丶黑雾之中并没有什么危险,只有寂静死寂の

第二章射影平面

第二章射影平面本章是在欧氏平面的基础上，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。

然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。

§1 射影直线与射影平面1.1 中心射影与无穷远元素定义1.1 设两条直线a和a′在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a′于A′，如此得到的直线a与a′的对应叫做以O为射心的中心射影。

A′叫做A从O投射到a′上的对应点。

OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。

显然，A也叫A′从O投射到a上的对应点。

选取射心不同，就会得到不同的中心射影。

如果，a和a′相交于点C，则C是自对应点（二重点）。

在欧氏平面上，中心射影不是一一的。

如果a上点P使OP∥a′，则P没有对应点。

同样，在a′上也存在一点Q′，使OQ′∥a，则Q′的对应点也不存在。

点P和Q′叫影消点。

类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。

而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。

另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。

１为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。

于是，我们约定：约定1在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P∞。

平面上原有的点称为有穷远点。

由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远点。

另外，一条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。

这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。

约定2平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l∞。

平面内原有的直线称为有穷远直线。

可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。

约定3空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：π∞。

空间中原有平面叫有穷远平面。

定义1.2无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。

第二章射影平面

第二章射影平面§1 中心投影与无穷远元素1．研究对象：物体在灯光照射下的变化规律。

连OP ，设OP 与l '的交点为P '，则称P '为P （在中心O 下）的射影。

问题：中心投影不是数学意义下的对应。

问题产生原因：如图所示，0P 无象点（因此称为影消点），其原因是O 0P // l '，从而O 0P 与l '无交点，所以中心投影不是数学意义下的对应。

为了将中心投影纳入对应的范畴，我们必须对其进行改造。

原因分析：产生0P 无象的原因是“平行线无交点”的约定。

处理方法：取消“平行线无交点”的约定。

这必须打破常规，给平行线引入一个原先认为不存在的“不平常的点”。

如图，当2πθ→时，∞→||0P P ，以P （θ）的“极限点”作为平行直线的“交点”，记作∞P （称为无穷远点），其几何表示如图所示。

评注：上述无穷远点的引入过程是在深入研究以O 点为中心的线束中的直线与非线束中的直线的交点的基础上，来探索如何引入平行直线的交点比较合适这一问题的。

这充分地反映了继承传统与发扬广大的关系。

问题：平行直线的交点能引进几个？（参考图形，探索解答）（一个。

原因是两不同的直线只能有一个交点。

）o o无穷远点的引进是一个创新的过程，需要大胆的想象力。

而直线上的无穷远点只能引进一个则是原来的原则“两直线只有一个交点”的要求所至。

无穷远点根据研究需要而引入，又是原系统的规则的延伸，从而“无穷远点”又受到原系统的规则的“约束”，这充分体现了继承与发展的关系。

对照一维中心投影，请自行考虑二维中心投影的相应问题。

2．无穷远元素规定一在平面内对任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点（记作∞P ）与之对应，此点在组中每一直线上而不在组外的任何直线上。

规定二平面内无穷远点的集合是一条直线，叫做无穷远直线，记作∞l 。

规定三空间里所有无穷远点的集合是一个平面，叫做无穷远平面，记作∞π。

射影几何是研究图形的射影性质

射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。

一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

射影几何的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。

这门几何学就是射影几何学。

基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。

早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。

在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。

在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。

那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。

在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。

这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。

在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。

稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。

他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。

射影直线和射影平面

π称为线场的底，其上的直线称为元素.
3、一对重要的基本图形
三点形
三线形
不共线三点及其两两连线构成的图形
不共点三直线及其两两交点构成的图形
顶点：A, B, C 边：BC, CA, AB 记号：三点形ABC
边：a, b, c 顶点：b×c, c×a, a×b
记号：三线形abc
显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变
I，II为同一区域
III，IV为同一区域
(2) 拓广平面的拓扑模型
注：默比乌斯带（ Möbius带）是射影平面的一部分。默比乌斯带的作法：
如图，把长方形带ABAB扭转，使A与A 粘合, B与B 粘合，这样所得的单侧曲面为默比乌斯带，其边界为一条封闭曲线。
A
B
B
A
Möbius带
三、射影基本形
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
2、射影平面(拓广平面) (1) 拓广平面的封闭性
从两个方面理解： (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域
任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域
(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域
在拓广平面上，可以证明：
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同.
为区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(普通点)，记作P
注：1）无穷远点实际上是二维空间中平行直线的交点。
2）由于平面内有无数多组平行线，因此一个平面内有无数多个无穷远点。
例：一条直线和它的平行平面相交于一个无穷远点。
C
线的中心射影必将 ABC射影
A A

射影与射影变换的性质与应用

射影与射影变换的性质与应用射影几何是几何学的一个分支，主要研究高维空间中的射影与射影变换的性质与应用。

射影几何的研究对于空间形态的描述和数学建模具有重要的意义。

本文将介绍射影与射影变换的基本概念、性质以及在几何学和计算机图形学中的应用。

一、射影的基本概念射影是指从一个几何对象映射到另一个几何对象的操作。

在射影几何中，我们使用齐次坐标来描述几何对象。

齐次坐标是指用n+1个数表示n维空间中的点，通过对这些数进行比例变换可以得到等价的点。

例如，在二维平面中，一个点的齐次坐标可以表示为(x, y, 1)，其中x和y是点在平面上的坐标。

二、射影变换的性质射影变换是指通过矩阵乘法对几何对象进行映射的操作。

射影变换具有以下性质：1. 保直线性：射影变换将直线映射为直线，保持直线上的所有点的次序关系。

2. 保比例性：射影变换将平行线段映射为平行线段，并且保持线段之间的比例关系。

3. 保交比性：射影变换可以保持射影空间中的交比关系，即一组点的交比在变换后保持不变。

4. 保角度性：射影变换可以保持两条直线之间的夹角不变。

5. 组合性：射影变换可以通过矩阵乘法的组合实现。

三、射影与射影变换在几何学中的应用1. 透视投影：透视投影是一种射影变换，将三维场景投影到二维平面上。

透视投影在计算机图形学中广泛应用于生成逼真的虚拟场景。

2. 图像处理：射影变换可以用于图像的旋转、缩放和扭曲等操作，以及图像的透视校正和纠正。

3. 几何建模：射影变换可以用于对三维几何模型进行旋转、平移和缩放等操作，以及模型的投影和透视变换。

四、射影与射影变换在计算机图形学中的应用1. 三维渲染：射影变换在三维渲染中用于将三维物体的坐标映射到二维屏幕上，实现真实感的显示。

2. 图形变换：射影变换在图形变换中用于对图形图像进行旋转、平移、缩放和扭曲等操作。

3. 图像合成：射影变换可以用于对多个图像进行叠加和融合，生成新的合成图像。

五、射影与射影变换的应用案例1. 虚拟现实：射影变换在虚拟现实中用于实现真实感的三维场景投影和交互。

射影直线与射影平面

直线在平面内的射影

空间几何的射影变换

射影平面

[高等教育]射影平面

射影几何学

射影定理结论

直线在平面内的射影

斜线在平面内的射影 直线和平面所成的角

直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义

射影几何三大入门定理

射影的有关概念及定理

第二章射影平面

第二章射影平面

射影几何是研究图形的射影性质

射影直线和射影平面

射影与射影变换的性质与应用

斜线在平面内的射影直线和平面所成的角