高等几何讲义 第二章射影平面____§1 扩大仿射平面

高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 扩大仿射平面
a2 a3 b1 b2 b3 = 0． c1 c2 c3
证明：若有至少二点相同，则显然成立．
不同三点共线 存在直线 A1x1 A2x2 A3x3 0， 使三点坐标均满足此方程，即关于 A1、A2、A3 的 齐次线性方程组
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§1. 扩大仿射平面
➢2. 点的齐次仿射坐标
➢ 定义 设 = [O; e1, e2 ]是平面仿射坐标系．在
之下，满足下述条件的有序实数组 (x1, x2, x3) (0, 0, 0) 称为平面上点的齐次仿射坐标：
1．若 0，则 ( x1, x2, x3) 与 (x1, x2, x3)为同
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§1. 扩大仿射平面 ➢ 引入了无穷远点的平面称为扩大(仿射)平面，
引进了无穷远点的直线称为扩大直线． ➢ 注意：扩大仿射平面作为点的集合已不再是原
来的作为点集的仿射平面或欧氏平面．
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§1. 扩大仿射平面
M
/
/
§1. 扩大仿射平面
➢ 另外，中心射影不是双射．(如上图中的点 M；
再如下图中，直线间的中心射影下，点 P 无对
应点)
S
Q/ /
P
M
P/
M/
Q 分析(原因)：平行直线无交点；平行平面无交线．
➢ 方法：引入无穷远元素，使中心射影成为双射．
➢ 新问题：无穷远元素如何表示？
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➢3. 直线的齐次仿射坐标方程
➢ 仿射坐标系下，直线的方程为
Ax By C 0．
➢ 扩大直线的齐次仿射坐标方程为：
Ax1 Bx2 Cx3 0 (A、B、C不全为0)． (1)
➢ 无穷远直线： x3 0 ．
(2)
➢ 例．设 0 为非无穷远直线， 0 为无穷远直
线，则 0 (, 为参数)表示什么图形？
第二章 射影平面____§1. 扩大仿射平面
➢1.中心射影
S
D
A
/
/ C/ B(B/) A/
D/
/
C
设 与 /是二相交平面，S 是不在 和 /上的一定 点，取作射影中心．对上的任意点 A，作直线SA 交 /于 A/．将点 A/ 称作点 A 在 /上的中心射影，
从中心 S 引出的直线 SA 称为投射线．
§1. 扩大仿射平面
➢无穷远元素的坐标表示
➢ 分析：平面仿射坐标系下，二直线
(1): A1x + B1y + C1 = 0，(2): A2x + B2y + C2 = 0，
若相交，则交点坐标为：
B1 C1 C1 A1 B2 C2 ， C2 A2 ． A1 B1 A1 B1 A2 B2 A2 B2
注意：此坐标与比值 B1 B2
➢ 可见，方向数与无穷远点一一对应． ➢ 几个结论：
1. 每一普通直线上有且仅有唯一无穷远点； 2. 平行直线有同一无穷远点； 3. 不平行直线有不同无穷远点； 4. 两点确定唯一直线． ➢ 符号约定： 齐次坐标为 (x1, x2, x3) 的点记为 x； 点x的任一组确定的齐次坐标记为(x) (x1, x2, x3)．
答：为一束平行直线．
➢ 直线(1)上的无穷远点为(B, A, 0)．
当直线平行于y轴时，其无穷远点可写为(0,1,0)；
当不平行于 y 轴时，无穷远点可写为 (1,A/B,0)．
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§1. 扩大仿射平面
➢ 因 k A/B 是直线 (1) 的方向数，故 方向数为 k 的直线上的无穷远点为 (1, k, 0)； 方向数为 的直线上的无穷远点为 (0, 1, 0)．
则有 x1 x2 x2 2 3 1 0， 1 40
故所求直线方程为：4x1 x2 5x3 0．
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§1. 扩大仿射平面
➢ 一般地，记 a、b所连直线为 a b，其坐标方程为
x1 x2 x3 a1 a2 a3 0． b1 b2 b3
其参数方程为：
一点的齐次仿射坐标；
2．若 x3 0，则 (x1, x2, x3)是(非齐次)仿射坐标为 x = x1/x3 , y = x2/x3 的普通点的齐次仿射坐标； 3．齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点． ➢ 注意：条件 2 给出了普通点的(非齐次)仿射坐标 与齐次仿射坐标之间互化的方法．
C1 C2
:
C1 C2
A1 A2
:
A1 A2
B1 B2
是一一对应的．
注意到，所谓坐标不外乎点与数组之间的一种双
射，因此也可将此比值定义为点的一种坐标．
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§1. 扩大仿射平面 ➢ 另外，注意到当一组直线平行于固定方向时，其
中任二直线的三数比值中，前两数比值不变而第 三数为零，且另一组平行直线的此种比值与之必 不同． ➢ 可见此类三数比值与平行直线上的无穷远点是一 一对应的，因而可作为无穷远点的一种坐标．
a1A1 a2A2 a3A3 0
b1A1 b2A2 b3A3 0
有非零解
a1 b1
a2 b2
a3 b3
0．
c1A1
c2A2
c3A3
0
c1 c2 c3
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§1. 扩大仿射平面 ➢ 注：在代数观点下，可说
三点共线 此三点的坐标三数组线性相关． ➢ 例2 求点 a (2, 3, 1)、b (1, 4, 0) 确定的直线． ➢ 解：设a、b确定的直线上的动点为 x( x1, x2, x3 )，
x1 x2
a1 a2
b1 b2，、
R
且
2
2
0．
x3
a3
b3
或 (x) (a) (b)，、 R 且 2 2 0．
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➢ 中心射影具有性质： 1. 将点变成点； 2. 将直线变成直线； 3. 保持点与直线的结合关系．
➢ 这是平行射影也具有的性质． ➢ 但中心射影不保持平行性，这
与平行射影不同！(如图)
S
/
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