关于无穷远元素与射影平面

引言在欧氏平面上，通过引入无穷远元素扩充欧氏平面的方法给出射影平面的概念。

1.中心射影1.1.直线与直线间的中心射影设l ，'l 是共面二直线，点o 是此平面内l 与'l 外任一点。

若o 与l 上任一点A 之连线OA 交'l 于'A 。

则我们定义： 定义1 'A 叫做A 点从o 投影到'l 上 的中心射影下的对应点。

OA 叫做投射线，o 叫做 投射中心，简称射心。

图（1） 显然A 也是'A 在l上以o 为射心的中心射影下的对应点。

取不同的射心，就得到不同的中心射影。

如果l 与'l 相交与C 点，则C 位自对应点，如图（1）在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。

如果l 上的一点P 使OP 平行于'l ，则P 的对应点'P 将不存在。

同样在'l 上也有一点'Q ，使'OQ 平行于l ，所以'Q 在l 上的对应点也不存在。

我们将P 与'Q 分别称为l 与'l 上的影消点。

1.2.平面与平面之间的中心射影设π与'π是二平面，点o 是平面外一点，若o 与π上任一点A 之连线OA 交'π与'A 。

则我们定义：图（2）定义2 'A 叫做 A 点从o 投影到平面'π的中心射影下的对应点。

OA 叫做OA 'A B 'B C'Q l'l P投射线，o 叫做投射中心，简称射心。

显然A 也是'A 在π上以O 为射心的中心射影下的对应点。

可以看出在中心射影下平面π内的一直线AB 对应平面'π上的直线''A B 。

图（2）当π与'π相交时，其交线c 为自对应直线，其上的每一点C 都是自对应点。

同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。

如图（2），如果平面π上的一点P 与o 的连线OP 平行于平面'π，那么P 在'π上的对应点便不存在，我们也称点P 为影消点。

若通过o 作与'π平行的平面a 交平面π于直线m 。

则直线m 在'π上的对应直线也不存在，我们称直线m 为影消线。

类似的可以定义平面'π上的影消点与影消线。

显然，影消点的轨迹是影消线。

2.无穷远元素为了使中心射影是一一对应，我们必须将欧氏平面加以扩拓广。

所以我们引进了无穷远元素。

为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。

约定— 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。

无穷远点记以P ∞，为区别起OπA BC 'A 'B 'πcQαmp见，平面上原有的点称非无穷远点或普通点。

由此可以证明空间里的一组平行线只有一公共点，即这组直线上的无穷远点。

一平面内直线的方向有无穷多，所以平面内的无穷远点也有无穷多，由于每一点直线上只有一个无穷远点，所以平面上无穷远点的轨迹应该与此平面上每一条直线只有一个交点，因此约定：约定二 一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线。

无穷远直线记作l ∞，为区别起见，平面内原有的直线叫做非无穷远直线或普通直线。

无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线。

空间里有无数多个方向，因此有无数多个无穷远点，这些无穷远点的轨迹与每个平面既然相交于一条无穷远直线，因此约定：约定三 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷远平面。

无穷远平面可记以π∞，为了区别起见，空间里的原有平面叫做非无穷远平面或普通平面。

定义3 无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。

平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。

3.射影直线与射影平面定义4 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后，便得到一条新直线，我们将它叫做仿射直线。

图（3）图3 是仿射直线的模型。

同样地，将此概念加以推广即可得到仿射平面的概念。

定义 5 欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。

图 4 是欧氏P ∞.空间中的仿射平面的模型。

图（4）设有以o为球心的球面，过球心o作平面α交球面于大圆C，我们规定：半球面S为仿射平面，大圆C上的点为无穷远点，且通过o的大圆C的每一直径的两个端点当作一个无穷远点，半球面上的其它点为非无穷远点。

大圆C 为无穷远直线。

半球面上的大圆孤为普通直线，相交于C上同一点的半大圆孤就是平行直线。

如果平面π与半球面S相切，且平面π与平面α平行，就可以建立S上的点与平面π上的点之间的一一对应。

设A为S上的任一点，直线OA交π与'A，令对应φ为'→,则φ是S的A A点与平面π的点之间的一一对应，这个一一对应使得大圆C（即S上的无穷远直线）对应π上的无穷远直线。

定义 6如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。

图（5）射影直线是可以看作是封闭的，因此欧氏平面上的圆常看作射影直线的模型。

如图（5），将射影直线的概念加以推广，就可以得到射影平面的概念。

定义 7 在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得到射影平面（二维射影空间）。

射影平面也是封闭的。

我们可以作一个默比乌斯带，它是射影平面的一部分。

如图 （6），把长方形带纽转，使A 与'A 粘合，B 与'B 粘合，这样所得的带的边界是一条封闭的曲线。

从带上任一点M 出发，平行于边界移动，不越边界能移到该点所在带子的背面，所以它是单侧曲面，分不出正反面，如果把默比乌斯带的两个同样的边界都粘合起来，就可以得到射影平面，它是封闭的单侧曲面。

但在欧氏空间里，我只能看到射影平面的一部分，如图 6在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后便得到了一条新的直线，我们把它叫做仿射直线。

如果将仿射直线上的有穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，则这条仿射直线就叫做射影直线。

反过来，如果在一条射影直线上任取一个特定点叫做无穷远点，而将其余的点叫做有穷远点，这样的射影直线就是仿射直线，如果在仿射直线上再去掉这个无穷远点，就成为通常的欧氏直线了。

A''B4.射影直线（平面）与欧氏直线（平面）的关系4.1.射影直线与欧氏直线的区别。

（1）因为射影直线是封闭的，所以它上的一个点不能把射影直线分为两部分，（2）两个点才可以把射影直线分为两个线段，（3）射影直线上的三个点，不能排成唯一顺序（一点介于两点之间）。

如图 7图（7）4.2.射影平面也与欧氏平面的区别。

在欧氏平面上一条直线可以把平面分成两个区域。

在射影平面上，一条直线并不能该平面分为两个区域。

因为连结两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交。

而另一个线段一定不与此直线相交。

在欧氏平面上，两条相交直线可以把平面分成四个区域。

而在射影平面上，由于直线是封闭的，且二直线有且只有一个交点，所以两直线只能把射影平面分成两个区域，如（图8）图（8）又如：欧氏平面的不共点的三直线平面分为七个部分，但射影平面内的不共点的三直线平面分为四部分，（ 图9）（图9）还应注意，在射影平面上点和直线的结合关系是：两个不同的点决定一条直线，两条不同的直线有且只有一个交点。

5.图形的射影性质.引进无穷远元素以后，便可以通过中心射影建立一平面上二直线上点之间的一一对应，这种一一对应称为透视对应.同样，也可以通过中心射影建立二平面之间点的一一对应，也称为透视对应.定义8经过中心射影（透视对应）后图形的不变性质（量）叫做图形的射影性质（不变量），如同素性，结合性都是射影性质.另外，如圆锥曲线经过中心射IVIIIIIⅠI IIIII影后的象还是圆锥曲线，所以我们说圆锥曲线具有射影性质.圆经过某些中心射影不变，但经过另一些中心射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图形不具有射影性质. 例 证明；（1）相交于影消线的二直线必射影成平行直线 （2）单比不是射影不变量。

证明：（1）如图（10），设平面π上二直线1l ，2l 相交于影消线m 上一点P 经射影对应后，1l 与 2l 的对应直线分别为'1l 和'2l 由于射影对应保持结合性不变，所以P 点的对应点是 '1l 和 '2l 的交点，即'P ∞点。

由于'1l 与'2l 相交于无穷远点，所以'1l ∥'2l 。

图（10） 图（11）（2）如图，设三直线,,a b c .交于O 点，c 平分(,)a b ∠，直线l 和'l 分别交三直线,,A B C 和''',,A B C 并使AO BO <且''A O B O >于是()AC AOABC BC BO=='''(''')'''A C A OA B C B C B O==所以()1ABC <，(''')1A B C >因此单比不是射影不变量.所以我们将以下结论. (一) 同素性，结合性确实射影性质，但是平行性不是射影性质。

(二) 单比不是射影不变量。

OABCabc'A 'B 'C l'l O 1l 2l mp'1l '2l 'p ∞π'π}6.例题例1证明：一直线与它的平行平面相交于一个无穷远点。

证明：设直线a平行于平面π，过直线a任作一平面α与π相交于a'//aπ，故//a a'，所以a a P∞'⨯=一方面aπ'⊂即Pπ∞∈,所以a Pπ∞⨯≡图（12）例2证明：一组平行平面相交于一条无穷远直线。

证明：如图(13），给定一组平行平面1α、2α、3........nαα，其中一平面iα内的直线il上无穷远点为P∞，过il作一平面β与组内其它平面交于一组平行线12,.....nl l l，图（13）根据约定一，P∞应是这组平行线的交点。

所以P∞应在1α、2α、3........nαα，的每一个平面内。

又因为P∞的选择有任意性，所以，根据约定一，这些平行平面交于一条无穷远直线。

、aβ1aiana1lilnlP∞例3如图(14)，在一个中心射影中，O 为 射影中心，在一平面α的影消线上取定两点P ，Q ，在α平面上，任取一点R 。

求证：PRQ ∠经中心射影后等于常量。

图（14）证明：因为,P Q 为影消线上两点，O 为射心，所以//OP β, //OQ β.若PRQ ∠在平面β内的射影为'''P R Q ∠,则//'',//''OP R P OQ R Q 于是'''POQ P R Q ∠≡∠而POQ ∠为定值，所以PRQ ∠经射影后为一定值。