人教版初中数学《等腰三角形》实用PPT

人教版初中数学《等腰三角形》实用P P T
人教版初中数学《等腰三角形》实用P P T
证 明 ： 在 ABC中 ， AB AC ,
则 B C,
又 点 D为 的 BC中 点 ,
A
BD DC，
DE AB,DF AC， D E B D F C 9 0 0. BDE CDF,
E
F
BDC
70°、40°或55°、55°
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°， 求其余两角．
答案:其余两角为35°、35°．
归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角 、直角和钝角； 底角只能是锐角．所 以，看到等腰三角形中的一个角的度 数时，要注意判断这个角可能是顶角 还是底角，是否需要分类讨论．
例2.如图：△ABC中，AB=AC，BD平分 ∠ABC交AC于D，若∠BDC=120°，求 ∠DBC的度数.
D C
在 DBC中 ，
DBC 2 C 1800,
1200 3x 1800,
DBC x 200.
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例3. 在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD.求∠A的度数.
1
A
思路分析: 由题设中的等边
关系(AB=AC，BD=BC=AD),
B
D
E
C
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证明：过点A作AE⊥BC于点E,
又∵AB=AC, A
∴∠EAC =1/2∠BAC,
∵BD⊥AC，AE为高可知,
∴∠EAC和∠DBC都与∠C互余,
D
∴∠DBC=∠EAC=1/2∠A
B
E
C
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思路分析：延长BE与AC交于
点F,构造全等三角形
A
∴△ABE≌△AFE,则
12
2BE=BF,AC-AB=CF,我们只要
E
判定△FBC为等腰三角形即可
．
B
F
C
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证明：延长BE与AC交于点F, 人教版初中数学《等腰三角形》实用PPT1 ∵BE⊥AE. ∴∠AEB=∠AEF=90° , ∵∠1=∠2,AE=AE, ∴△ABE≌△AFE, ∴2BE=BF,AB=AF, ∴AC-AB=AC-AF=FC, ∴∠ABF=∠AFB=∠FBC+∠C． ∵∠ABC=3∠C, ∴∠ABF+∠FBC=3∠C,
课间休息十分钟……
例6.在△ABC中，AB=AC，D是 CA延长线上一点,DF⊥BC于F，
D
交AB于E，求证：AE=AD.
4
A
思路分析：由等腰三角形“三线合
一”可联想到作底边的高AM，可 推出∠1=∠2,由DF⊥AC， AM⊥BC可知DF∥AM，从而
3 E 12
∠3=∠4，证出结论．
BF M
C
证明：过点A作AM⊥BC于M， ∵AB=AC, ∴∠1=∠2, ∵DF⊥AC，AM⊥BC, ∴DF∥AM， ∴∠3=∠1， ∠2=∠4
思路分析：由BD平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
=x，由AB=AC可得
1
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中
2
由三角形内角和定理可列出x B
D C
的方程，求出x．
解 ： 设 1 x,
BD平 分 ABC，
A
1 2 x,
1
AB AC,
2
B
C ABC 1 2 2 x．
又∵AD=AB, ∠FAG=180°-∠BAD-∠CAE=60°, ∠FAG=∠DAF=60°, ∴△ADF≌△BAG, ∴AF=AG, 又∵∠FAG=60°, ∴△DEF是等边三角形．
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本专题考察的知识点
1.等腰三角形的性质与应用 2.等边三角形的性质与应用 3.含30°直角三角形的性质 4.分类讨论的思想方法在等腰三角形中
的应用
例1. 已知等腰三角形的一个角是70°,求其 余两角．
；
思路分析：已知等腰三角形的一个角是70°, 那么这个70°的角可能为等腰三角形的底角 或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定 理易求出其余两角．
∴∠3=∠4 ,
D
4 A
3 12
E
∴AD=AE．
BF
C
例7．如图，△ABC是正三角形，D、E、F 分别是AB、BC、CA上的点，且AD＝BE＝ CF，试说明△DEF是等边三角形．
思路分析：利用等边三角 形的性质可推出，边、角 的等量关系，从而易证三 角形全等。进而说明 △DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是正三角形， ∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°, 又∵Байду номын сангаасD＝BE＝CF， ∴BD=EC=AF, ∴△ADF≌△BED≌△CFE, ∴DE=EF=DF ∴△DEF是等边三角形．
A
1
D
23
4
B
C
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例4. 证明：等腰三角形底边中点到两腰的 距离相等.
提示： 本题为文字命题，解题时应分为以下 三个步骤： （1）根据题意作图； （2）写出已知， （3）进行求证．
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例8．如图，△ABD、 △AEC都是等边三角 形，求证： △AFG是等边三角形．
思路分析：利用等边三角 形的性质可推出，边、角 的等量关系，从而易证三 角形全等，进而说明
△AFG是等边三角形．
证明：∵△ABD 和△AED是正三角形， 人教版初中数学《等腰三角形》实用PPT1 ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴ ∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB, ∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB, ∴ ∠CAD=∠BAE, △ADC≌△BAE, ∴ ∠ADF=∠GBA．
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已 知 ： 在 ABC中 ， ABAC,D为 底 边 BC
的 中 点 ， DEAB于 点 E,DFAC于 点 F．
求 证 ： DEDF．
A
思路分析：由等腰三角形的性质易得
E
F
BC,又BDDC，DEAB,DFAC，
易得BDECDF,从而证出DEDF． B
D
C
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC=∠C, ∴BF=FC, ∴AC-AB=2BE.
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AD∥BC.求证：AB=AC
E
思路分析：欲证AB=AC 可
先证∠B=∠C,又∠1=∠2， 所以应设法寻求∠B、∠C
A1 2
D
与∠1、∠2的关系，又由
AD∥BC易得结论.
B
C
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证明： ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行， 同位角相等），
1
可以推出角的等量或倍数关 系,在利用方程思想,可求出 图中各角的度数.
D
23 4
B
C
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解：设∠1=x,∵BD=BC=AD , ∴∠1=∠2,∠3=∠C, ∵∠3 =∠C=∠1+∠2=2x, ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x, 在△ABC中， ∠A+∠ABC+∠C=180°, 即5x=180°,∴∠A=x=36°.
DE DF．
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例5.如图：在三角形ABC中，AB=AC,
BD⊥AC于D，求证：∠DBC= 1 ∠A．
2
思路分析：由等腰三角形“三线合
A
一”可联想到作底边的高，可推出
1/2∠BAC=∠EAC,
由BD⊥AC，AE为高可知∠EAC和 ∠DBC都与∠C互余，推出 ∠DBC=∠EAC=1/2∠BAC.
∠2=∠C（两直线平行， 内错角相等）． ∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等边对等角）．
E
A1 2
D
B
C
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例10．已知：△ABC中，∠ABC=3∠C, ∠1=∠2,BE⊥AE. 求证：AC-AB=2BE.
例9. 求证：如果三角形一个外角的平分线 平行于三角形的一边，那么这个三角形是等 腰三角形． 提示：本题为文字命题，首先应根据题意 作图；写出已知，求证．
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已知：∠CAE为△ABC的外角，∠1=∠2，