高中数学必修五单元测试题全套带答案

章末综合测评(第一章)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()

A．1B．2

C．3 D．4

【解析】由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C

即13＝9＋AC2－2×3AC×(－1

2)，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)

【答案】A

2．在△ABC中，B＝π

4，AB＝2，BC＝3，则sin A＝()

【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos B＝(2)2＋32－2×2

×3×

2

2＝5，解得AC＝ 5.再由正弦定理得sin A＝

BC·sin B

AC＝

3×

2

2

5

＝

310

10.故选C.

【答案】C

3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为()

A．(8,10) B．(22，10)

C．(22，10) D．(10，8)

【解析】设1,3，a所对的角分别为C，B，A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12

＋32＝10，

32＝1＋a2－2×a cos B<1＋a2，

∴22

【答案】B

4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()

A．2 2 B．82

【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝162

16＝ 2. 【答案】 C

5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )

【解析】 p ∥q (a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，

即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0a 2＋b 2－c 22ab ＝1

2＝cos C ，

∴C ＝π3. 【答案】 B 6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2

A

2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝C D ．A ＝B ＝C

【解析】 由sin B sin C ＝cos 2

A 2＝1＋cos A

2

2sin B sin C ＝1＋cos A cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .

又cos(B ＋C )＝－cos A cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C

7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )

图1

A ．210 mm

B ．200 mm

C ．198 mm

D ．171 mm

【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°， AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC ·cos ∠ACB

＝902＋1502－2×90×150×cos120° ＝4 410 0，

AB ＝210，即DE ＝210 mm. 【答案】 A

8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π

3，则△ABC 的面积是( )

A ．3

D ．33

【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π

3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33

2. 【答案】 C

9．已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是

( )

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰三角形

D ．直角三角形

【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 2

2ac ，即2a 2b ＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.

【答案】 D

10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°

D ．150°

【解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc

＝－1

2， 又0°

11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )

D ．0

【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等，

∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝3

2. 由正弦定理sin B sin A ＝3

2，又∵B ＝2A ， ∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C

12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝( )

图2

A ．23＋1

B ．23－1 －1

＋1

【解析】 在△ABC 中，BC ＝AB sin ∠BAC

sin ∠ACB

＝

100sin 15°

sin45°－15°

＝50(6－2)，

在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD

CD

＝

506－2sin 45°

50

＝3－1， 又∵cos θ＝sin ∠BDC ，∴cos θ＝3－1. 【答案】 C