四点共圆基本性质及证明

四点共圆

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：

（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

（2）圆内接四边形的对角互补；

（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

定理

1

判定定理

方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）

方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

托勒密定理

若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB DC+BCAD=AC BD。

例题：证明对于任意正整数n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数。

解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数，且这n 个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3 时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说

边长为3，4，5 的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n 大于等于 3 成立，我们来证明n+1。假设直径为r （整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a

n+1 个点，记为P。于是根据Ptolomy 定理，P和已存在的所有点的距离都是一

个有理数。（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy 定理里的其它数都是整数。）引入一个新的点P增加了n 个新的有理数距离，记这n 个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。归纳法成立，故有这个命题。

反证法证明

现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）

已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°

求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）

证明：用反证法

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，

若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，

∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C

这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。

证明方法

2

方法1

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．

方法2

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等( 同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。

几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。

证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。若不在圆上，可设射线BD与圆的交点为D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，与外角定理矛盾。

方法3

把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

证法见上

方法4

把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成

的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点

也共圆．（割线定理的逆定理）

上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理，即ABCD四个点，分别连接AB和CD,

它们（或它们的延长线）交点为P，若PA PB=PC PD，则

A BCD四点共圆。

接AC,BD，∵PA PB=PC PD

证明：连

∴PA/PC=PD/PB

∵∠APC=∠BPD

∴△APC∽△DPB

当P在AB,CD上时，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同侧。根据方法 2 可知ABCD四点共圆。

当P在AB,CD的延长线上时，由相似得∠PAC=∠D，根据方法 3 可知ABCD四点共圆。

方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连

成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆．

方法6

线四边形ABCD中，若有AB CD+AD B C=AC B D，即两对边乘积之和等于对角

A BCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。

乘积，则

托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有

AB CD+ADBC≥AC BD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。

如图，在四边形内作△APB∽△DCB（只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即可）

由相似得∠ABP=∠DBC，∠BAP=∠BDC

∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD

即∠ABD=∠PBC

又由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD

∴AB CD=BDAP，△ABD∽△PBC

∴AD:BD=PC:B，C即AD BC=BD PC

两个等式相加，得AB CD+ADBC=BD (PA+PC)≥BD AC,等号成立的充要条件是APC三点共线

而APC共线意味着∠BAP=∠BAC，而∠BAP=∠BDC，∴∠BAC=∠BDC

根据方法2，ABCD四点共圆

方法7

若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。

为设有一△A B C，P是平面内与ABC不同的点，过P作三边垂线，垂足分别

L,M,N，若L,M,N 共线，则P在△ABC的外接圆上。

如图，PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC，且L,N,M 在一条线上。

连接PB,PC，∵∠PLB+∠PNB=9°0+90°=180°

∴PLBN四点共圆

∴∠PLN=∠PBN，即∠PLM=∠PBA