四点共圆
四点共圆
四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
证明四点共圆有下述一些基本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。
【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。
【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。
或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。
【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。
【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。
四点共圆的9种判定方法证明
四点共圆的9种判定方法证明嘿，咱今天就来聊聊四点共圆的 9 种判定方法证明。
你可别小瞧了这四点共圆，它在数学里那可是相当重要呢！先来说说第一种方法，要是同一底边的两个同侧顶角相等，那这四个点肯定共圆。
就好像是四个小伙伴，他们有着共同的特点，自然而然就聚在一起啦。
再看看第二种，要是线段同侧的两点对线段两端点的张角相等，那它们也能共圆。
这就好比是大家有着相同的“磁场”，相互吸引着围成一个圆。
还有呢，外角等于内对角的四边形，那肯定也是四点共圆的。
你想想看，这就像是一个独特的标志，一下子就把它们联系在一起了。
若两个三角形有一条公共边，且在公共边同侧又有相等的顶角，那这四个点也能共圆。
这就好像是一个大家庭，有着亲密的关系把大家凝聚在一起。
再有就是相交弦定理的逆定理啦，如果两条线段相交，交点把每条线段分成的两条线段的积相等，那这四点不就共圆了嘛。
割线定理的逆定理也不能落下呀，如果从一点向一条线段引两条割线，这两条割线和这条线段交出的两条线段的积相等，嘿，它们也能共圆呢。
同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，这不是显而易见的嘛。
四边形的一组对角互补，那它们也肯定共圆咯。
最后一种，四边形的一个外角等于它的内对角，那也能说明四点共圆呀。
你说这四点共圆的判定方法是不是很神奇？就像一把钥匙，能打开数学世界里的一扇扇奇妙之门。
在解题的时候，只要我们灵活运用这些方法，就能轻松搞定那些看似复杂的问题。
数学的世界就是这么充满魅力，四点共圆只是其中的一小部分。
我们在探索的过程中，不断发现新的规律和方法，就像是在挖掘宝藏一样。
每一个发现都让我们兴奋不已，让我们更加热爱数学这个神奇的领域。
所以呀，大家可别小看了这四点共圆的 9 种判定方法证明，它们可是我们在数学海洋中航行的重要指引呢！好好掌握它们，让我们在数学的天空中自由翱翔吧！。
四点共圆的判定方法
四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。
那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。
以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。
2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。
3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。
4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。
二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。
3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。
4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。
三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。
3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。
4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。
四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。
3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。
4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。
总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。
根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。
四点共圆
四点共圆一、知识点梳理1、四点共圆的概念如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
性质：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
2、初中阶段四点共圆的常见判定方法（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。
ABCDPAB CDP3、四点共圆的妙用巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长等问题。
二、例题精练1、四点共圆的性质a.例题讲解1．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：32．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（）A．100°B．°C．120°D．135°3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD=∠BAD．（1）求证：DG⊥AB；（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径．DCBAb.举一反三1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°3．如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为cm2．4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC 延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．（1）求证：∠EDF=∠CDF；（2）求证：AB2=AF•AD；（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．2、四点共圆的妙用之边角问题a.例题讲解1.如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作OE⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为6，则cos∠BOE= .2.如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=3:4，则PB=3.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥ACHFGEDA C4.四边形ABCD是正方形，AC 与BD，相交于点O，点E、F 是直线AD上两动点，且AE =DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G ，连接AG ，直线AG 交BE 于点H ．（1）如图1，当点E 、F 在线段AD 上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG 与BE 的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO 平分∠BHG；b.举一反三1.在ABC ∆的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得BE DE =，CE FE =，又点O 是ADF ∆的外心． 求证：O 在DEF ∠的平分线上．C2.如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在AC 上，且AF AE =． 求证：CE 平分DEF ∠．B3.已知AD 是ABC ∆角平分线交BC 于D ，ABD ACD ABC ∆∆∆、、外心分别是12O O O 、、,求证12=O O OO2.如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．（1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：22AB BM BF AC =⋅+．ABb.举一反三1.如图，已知BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ，连接AE 、CE ．求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．B AF三、演练场1．（2014•东营）如图，四边形ABCD 为菱形，AB=BD ，点B 、C 、D 、G 四个点在同一个圆⊙O 上，连接BG 并延长交AD 于点F ，连接DG 并延长交AB 于点E ，BD 与CG 交于点H ，连接FH ，下列结论：①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG 为⊙O 的直径时，DF=AF ． 其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP=1，则AE= ；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．3．（2018•路南区三模）如图1，已知∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边△BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．（1）当OB⊥AM时，点O ∠MAN的平分线上（填“在”或“不在”）；（2）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，求证：点O 在∠MAN的平分线上；（3）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，求证：△ABO∽△ACP；设AP=m，直接写出AC•AO的值（用含m的式子表示）；（4）若点D在射线AN上，AD=2，⊙K为△ABD的内切圆，当△BPQ的边BP与⊙K相切时，请直接写出点A与点O的距离．4．（2018春•历下区期末）如图，已知菱形ABCD边长为4，BD=4，点E从点A出发沿着AD、DC方向运动，同时点F从点D出发以相同的速度沿着DC、CB的方向运动．（1）如图1，当点E在AD上时，连接BE、BF，试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的前提下，求EF的最小值和此时△BEF的面积；（3）当点E运动到DC边上时，如图2，连接BE、DF，交点为点M，连接AM，则∠AMD大小是否变化请说明理由．5．（2018•泉州二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F．（1）求证：∠BFE=∠ADE；（2）求BF的最大值；（3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长．6．（2015秋•南岸区期末）在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F 在边CD上，连接DE、AF，点G在线段AF上（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=，DF=3，连接EG，求EG的长；（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接FH，求证：∠CFH=∠AFD；（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当点F 在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生改变若不改变，求出∠EGH的度数；若发生改变，请说明理由．。
初三：第14课 四点共圆
第14课 四点共圆一、基本结论与方法：判断四点共圆的方法有：1.到定点等距离的几个点在同一个圆上；2.同斜边的直角三角形的各顶点共圆；3.同底同侧张角相等的三角形的各顶点共圆；4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；6、四边形的对角线相交于点P ，且PA•PC=PB•PD,那么四个顶点共圆；7、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P ，若PA•PB=PC•PD, 那么四个顶点共圆.托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和，等于对角线之积。
即：如图，四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.DB二、例题与习题例1、如图，ABCD 是等腰梯形，求证：BD 2=AB•CD+BC 2.CD 例2、△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:4,:求证：BC AC AB 111=+A D例3、在边长为1的正七边形中，对角线AD=a,BG=b,求证：22)()(ab b a b a =-+.C 例4、两圆相交于A 、B,P 是BA 延长线上一点，PCD 、PEF 分别是两圆的割线，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
F例5、由圆外定直线上任意点，引圆的两条切线，求证：两切点的连线必经过某定点。
CA例6、点P 是正三角形外接圆的劣弧AB 上一点，连接PC 交AB 于D ，求证：(1)PA+PB=PC;(2)111PA PBPD +=.例7、P为△ABC内一点，D、E、F分别在三角形的边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。
例8、设凸四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为E,证明：点E关于AB、BC、CD、DA 的对称点也共圆。
A例9、两个圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一直线上的四个点，证明：这四个点共圆。
例10、梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰围直径作圆，点K位于两圆之外，证明：由K向两圆所作的切线长度相等。
(完整版)四点共圆的判定和性质
四点共圆的判定和性质四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．方法3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点.方法4:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．方法6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180°∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）∠CBE=∠D（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP×CP=BP×DP（相交弦定理）AB×CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）托勒密定理及证明：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB*CD+AD*BC=AC*BD证明：作∠BAE=∠CAD，交BD于点E∵∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ACD∴AB：AC=BE：CD∴AB×CD=AC×BE∵∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE∴△ABC∽△AED∴BC：DE=AC：AD∴BC×AD=AC×DE∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD拓展延伸：利用托勒密定理证明两角和公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ作图设圆内接四边形ABCD中,AC是直径,∠BAC=α,∠DAC=β,则∠BAD=α+β作直径BE,连接DE,则∠BED+∠BAD=180°sinα=BC/AC,sinβ=CD/ACcosα=AB/AC,cosβ=AD/ACsin(α+β)=sin∠BED=BD/BE=BD/ACsinαcosβ+sinβcosα=(BC×AD+AB×CD)/AC=AC×BD/AC=BD/AC=sin(α+β)由诱导公式得sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα。
(完整版)四点共圆
四点共圆四点共圆的性质及判定：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长P F E D C B A D C BAD B例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P点，A 、C 、Q 三点共线，求证：2OA OP OQ =⋅E A BC D例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证： ::.PB BD PC CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离例7：在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB<MA，AC<MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。
四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
6、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PA ×PB=PC ×PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 。
4点共圆的判定
4点共圆的判定介绍在平面几何中，共圆是指多个点位于同一个圆上的情况。
当给定4个点时，我们需要判断它们是否共圆。
本文将介绍判定4点共圆的方法和原理，以及具体的计算步骤和示例。
1. 方法一：使用圆的方程1.1 圆的方程圆的方程可以表示为：(x−a)2+(y−b)2=r2其中，(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
1.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算AB、AC、AD的中垂线的方程，得到它们的斜率和截距。
3.确定中垂线的方程后，求解得到中垂线的交点，即为圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，如果它们的距离都相等，即满足共圆的条件。
2. 方法二：使用向量叉乘2.1 向量叉乘的性质在二维空间中，向量的叉乘可以用来判断三个点是否共线。
如果三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)共线，那么向量AB和向量AC的叉乘为0。
2.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算向量AB和向量AC的叉乘，以及向量AB和向量AD的叉乘。
3.如果两个叉乘的结果都为0，则四个点共圆。
3. 示例假设有四个点A(0, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，D(1, 1)。
我们将使用上述两种方法来判断它们是否共圆。
3.1 使用圆的方程1.计算AB的中垂线的方程为：y = -0.5x + 0.52.计算AC的中垂线的方程为：y = 0.5x + 0.53.解方程得到两个中垂线的交点为(0.5, 0.5)，即圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，可以得到：AB = AC = AD = BD = 0.5。
因此，四个点共圆。
3.2 使用向量叉乘1.计算向量AB和向量AC的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(0-1) = 12.计算向量AB和向量AD的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(1-1) = 13.由于两个叉乘的结果都为1，因此四个点共圆。
四点共圆专题（圆内接四边形）
四点共圆专题（圆内接四边形）展开全文2018中考数学1.四点共圆概概念：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
2.四点共圆性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
3.四点共圆判定：（1）若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆；（2）把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
中考应用：习题：（1）四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD和∠BCD的度数。
（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P在CD的延长线上，且PA∥DB，求证：PD·BC＝AB·AD（3）如图，已知半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm 的弦，当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是否为定值？如果不是，说明理由；如果是，求出这个定角的正弦值。
（4）如图3，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧上的两点，∠D＝115°，则∠CAB的度数为（）（5）如图4，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F的度数为（）（6）如图8，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，且∠C＝2∠A，则BD＝________.（7）如图11，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD＋∠OCD的度数．（8）如图12，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．求证：(1)∠DCF＝∠DAB；(2)OE＝1/2CD。
四点共圆
四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。
四点共圆有三个性质： (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； (2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
判定定理折叠方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆)(2011全国)已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=.(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
解(I)(0,1)F ,l 的方程为21y x =-+,代入2212y x +=并化简得242210x x --= 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则122626,44x x -+==， 1212121221,,2()2124x x x x y y x x +==-+=-++= 由题意得3123122(),()12x x x y y y =-+=-=-+=-，所以点P 的坐标为2(,1)2--. 经验证点P 的坐标2(,1)2--满足方程2212y x +=，故点P 在椭圆C 上 …6分(II)解法一【圆的定义】由P 2(1)-和题设知Q 2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x = ① 设AB 的中点为M ，则21)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为214y x =+ ② 由①、②得1l 、2l 的交点为21(,)88N -于是22221311||()(1)2888NP =-++--=, 22132||1(2)||2AB x x =+--=，32||4AM =， 22221133||()()4828MN =++-=22311||||||NA AM MN =+=||||NP NA =， 又||||NP NQ =，||||NA NB =，于是||||||||NA NP NB NQ ===,由此可知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …12分 解法二【对角互补】由(1)知2613,)42A ，22(,1),(,1)22P Q ，于是 13311122221226226244244AP AQ K K ，因此，90PAQ ，由轴对称可知90PQB 由对角互补，可知,,,A P B Q 四点共圆。
四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。
我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）。
找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a<b<c）。
把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。
于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。
四点共圆(11.5)
例2、如图， ， 分别是 ， 边上的点，且不与顶点重合，已知 ， ， ， 为方程 的两根.
（1）证明： ， ， ， 四点共圆；
（2）若 ， ， ，求 ， ， ， 四点所在圆的半径．
例4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，求BD的长
5、若 、 两线段相交于 点，且 ，则 、 、 、 四点共圆。
6、若 、 两线段延长后相交于 点，且 ，则 、 、 、 四点共圆。
7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。（托勒密定理）
ห้องสมุดไป่ตู้二、典例再现：
例1、已知点 ， ，直线 过点 与 轴交于 ，若 、 、 、 四点共圆，则 的值为（）
四点共圆的判定方法
一、四点共圆的判定：
1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。
2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。
3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
例5、如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D．求证： ．
三、习题训练：
1．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，则PB的长为．
、
四点共圆定理
四点共圆定理
从古至今，数学被广泛应用于社会的方方面面，其中，关于圆的问题一直都是数学研究的一个重要分支，今天，我们要讨论的就是关于四点共圆定理利用四个点确定一个圆的定理。
四点共圆定理定义：若在平面上有四个不共线的点，则这四点可以确定一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等。
四点共圆定理在中国古代就被发现了，在《九章算术》中，秦九韶是第一个提出这个定理的历史人物。
其实，四点共圆定理也可以通过几何的方式来证明，下面我们就通过几何的方式来证明四点共圆定理。
假设在一个平面上有四个点A、B、C、D，不共线，四点共圆定理要求，这四个点能确定一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等。
从平面几何的角度来看，任何一个圆上的任何两点到圆心的距离都是相等的，那么，我们就可以用这个性质来证明这个定理。
先用A、B两点构成的线段分割平面为两部分，此时，A、B两点到C与D的距离是不相等的，那么我们可以画出一个新的圆，使得C、D两点到圆心的距离相等并且与A、B两点到圆心的距离也相等，此时，这个圆就是由A、B、C、D这四点确定的一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等，也就是证明了四点共圆定理。
四点共圆定理在自然界和社会生活中有着重要的作用，例如，你在使用GPS导航时，当你所在的位置与要去的位置不在同一直线时，就可以使用四点共圆定理来确定你的位置，这就是四点共圆定理在社
会生活中的应用。
综上所述，四点共圆定理是一个非常重要的数学定理，它不仅被古代的历史人物发现，而且依然被广泛应用于现代的社会生活中，尤其是在GPS的使用中，因此，我们要对这个定理分析研究有更深的认识，并从中获取更多的应用。
四点共圆证法
四点共圆证法
四点共圆证法，又称为共圆定理或欧拉定理，是数学几何中的一个重要定理，也是圆的性质之一。
它表明如果在平面上给定四个不共线的点，并且这四个点可以构成一个不是直线的四边形，那么存在一个唯一的圆，此圆可以通过这四个点。
以下是四点共圆证法的步骤：
步骤1：首先，我们需要确定是否给定的四个点构成了一个四边形，而不是一个直线。
这可以通过计算四个点的坐标，确保它们不共线来判断。
步骤2：如果四个点构成了一个四边形，接下来我们需要找到四边形的任意一条对角线，即连接两个不相邻的点的线段。
步骤3：然后，我们需要找到对角线的中点，即将对角线平分的点。
对角线中点可以通过计算对角线两个端点的横纵坐标的平均值得到。
步骤4：最后，我们需要找到两条不相邻边的中垂线。
中垂线是与边垂直且通过边的中点的直线。
通过计算不相邻两条边的中点和斜率，我们可以得到中垂线的方程。
如果中垂线相交于步骤3中的对角线中点，那么这四个点共圆。
因为对于一个圆来说，它的任意一条直径的中点都在圆上，而中垂线的交点就是对角线中点，这样就证明了这
四个点是共圆的。
需要注意的是，四点共圆定理仅对于平面几何中的四边形成立，如果给定的四个点共线，那么它们显然不能构成一个不是直线的四边形，因此也不满足四点共圆的条件。
四点共圆的条件
四点共圆的条件
四点共圆就是首先这四个点是在同一平面上，在平面上若能找到一个圆，使这个圆通过这四个点，就可以称这四点共圆。
判定定理：
方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆)。
方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
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四点共圆(圆内接四边形)的性质：
1.圆幂定理；
2.图Ⅰ：相交弦定理。
如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理
∠A=∠C，所以所以有：即：
图Ⅱ：割线定理。
如图，连接AD、BC。
可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以
，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、
∠PCB都为弦切角。
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。
等于它所夹的弧的
圆周角度数。
三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例(反之也成立)。
三角形的外角平分线也有类似性质。
设AD、AE 是∠A 及外角的平分线，则有AB/AC=BD/DC=BE/EC。
弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立(可用于证明切线)。
斯特沃特定理(Stewart)：
海伦公式。
梅涅劳斯定理
塞瓦定理
托勒密定理(Ptolemy)
西姆松定理(Simson)
欧拉定理 ( Euler )
费马点(Fermat ) 三角形重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ： 1 。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
6
三角形垂心的性质：设△ ABC 的三条高为 AD 、 BE 、 CF ， D 、 E 、 F 为垂足，垂心为 H；
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三
角形外。
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
3、垂心 H 关于三边的对称点，均在△ ABC 的外接圆上。
4、三角形的三个顶点、三个垂足、垂心这 7 个点可以得到 6 组四点共圆，有三组 ( 每组四个 ) 相似的直角三角形，且 AH · HD=BH · HE=CH · HF。
5、 H、 A、 B 、 C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 ( 并称这样的四点为一个垂心组 ) 。
6、△ ABC ，△ ABH ，△ BCH ，△ ACH 的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过 H 的直线交 AB、 AC 所在直线分别于 P 、 Q，则AB/AP · tanB+ AC/AQ · tanC=tanA+tanB+tanC 。
8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍。
9、设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC ，∠ ABH= ∠ OBC ，∠ BCO= ∠ HCA 。
10 、锐角△的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2 倍。
11 、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形 ( 顶点在原三角形的边上 ) 中，以垂足三角形的周长最短。
12 、西姆松定理（Simson 西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的三垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、设锐角△ABC 内有一点 P，那么 P 是垂心的充分必要条件是：PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
三角形内心的性质：设 I 为△ ABC 的内心，连 AI 交△ ABC 外接圆于点 K，则 1 ①∠BIC=90°+2∠A；S=pr，abcr=p· AI· BI· CI
8
②三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其到内心的距离相等(即K 是△ BIC 的外心)。
反之，I 在 AK 上且 KI=KB，则 I 为△ ABC 的内心。
1 ③P 为△ ABC 的内切圆与边 AB 的切点，则 AP=p-a=2(b+c-a)。
三角形外心的性质： abc ①设 O 为△ ABC 的外心，则∠BOC=2∠A 或 360° -2∠A； R=4S 。
△②锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
③设H 为△ABC 的垂心，则 OH ? OA ? OB ? OC 。
面积方法所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的手段，通过适当的变换，从而导得所考虑的量与量之间的关系，最后得到结论。
由于平面上的
凸多边形都可以分割成若干个三角形，因此在面积公式中，最基本的是三角形面积公式。
三角形面积公式
：面积定理：1．一个图形的面积等于它的各部分面积的和；两个全等图形的面积相等。
2．等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底的和相等)的面积相等。
3．等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高(或底)的比。
4．相似三角形的面积比等于相似比的平方。
5．四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 间夹角为α，则四边形面积 S ?
1 AC ? BD ? sin ? 。
2
6．共边 ( 比例 ) 定理：设 AC 与 BD 相交于 E ，则有 S △ BAC /S △ DAC =BE/DE 。
9
7．共角 ( 比例 ) 定理：等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；四边形对角线的夹角相等或互补，则它们的面积比等于对角线乘积的比。
S ?ADE AD ? AE S AD '? AE = ， ?AD'E = S ?ABC AB ? AC S ?ABC AB ? AC
8．燕尾定理：△ ABC ， D 、 E 、 F 为 BC 、 CA 、 AB 上的点，满足 AD 、 BE 、 CF 交于同一点 O 。
则 S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD； S △ AOC ： S △ BOC =S △ AFO ： S △ BFO =AF ： BF ； S △ BOC ： S △ BOA=S △ CEO ： S △ AEO =EC ： AE 。
9．下面三图的面积关系
S1：S2 =a：b； S1：S2=S4：S3； a∥b 时 S1：S3：S2：S4= a2：b2：ab：ab，S=(a+b)。