九年级数学奥数知识点专题精讲---四点共圆
四点共圆(知识讲解)
四点共圆（知识讲解）【学习目标】1. 理解四点共圆的定义；2. 掌握判断四点共圆的基本方法，并用于解决证明和计算问题。
【要点梳理】四点共圆常用的方法有：1、对角互补的四边形，四点共圆；2、外角等于内对角的四边形，四点共圆；3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆；4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。
【典型例题】类型一、四点共圆的判定1．如图，BD ，AH 分别是ABC 的高，求证：A 、B 、H 、D 四点共圆．【分析】取AB 的中点O ，连接DO 、HO ，根据BD ，AH 分别是△ABC 的高，可得△DAB和△HAB 都是直角三角形，斜边都是AB ，而点O 为斜边中点，则有DO ＝HO ＝12AB ＝AO ＝BO ，也就是说以O 为圆心、OA 为半径的圆，点D 、H 、B 也在这个圆上，即可证明A 、B 、H 、D 四点共圆．证明：如图，取AB 的中点O ，连接DO 、HO ，△BD ，AH 分别是ABC ∆的高，DAB ∴∆和HAB ∆都是直角三角形，且它们的斜边都是AB ，△点O 为斜边中点，12DO HO AB AO BO ∴====，也就是说，点D、H、B在以O为圆心、OA为半径的圆上，即点D、H、B、A都在以O为圆心、以OA为半径的圆上，故可得：A、B、H、D四点共圆．【点拨】本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四点共圆．举一反三：【变式1】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见分析.【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，△四边形ABCD是菱形，△AB＝AD＝CD＝BC，AC△BD，△点E是AB的中点，△OE＝12AB，同理：OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12AD，△OE＝OF＝OG＝OH，△点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．【点拨】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.【变式2】如图，在Rt ABC中，△BAC＝90°，△ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求△BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．【答案】（1）10°；（2）见分析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得△C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出△ADC＝△C，最后由外角定理求得△BAD的度数；（2）由旋转的性质得到△ABC＝△AED，由四点共圆的判定得出结论．解：（1）△在Rt ABC中，△BAC＝90°，△ABC＝40°，△△C＝50°，△将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，△AC＝AD，△△ADC＝△C＝50°，△△ADC＝△ABC+△BAD＝50°，△△BAD＝50°－40°＝10°证明（2）△将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，△△ABC＝△AED，△A、D、B、E四点共圆．【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．【变式3】如图，在□ABCD中，△BAD为钝角，且AE△BC，A F△CD．(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；(2) 设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．解：（1）△AE△BC，AF△CD，△△AEC=△AFC=90°，△△AEC+△AFC=180°，△A、E、C、F四点共圆；（2）由（1）可知，圆的直径是AC，连接AC交BD于O，△ABCD是平行四边形，△O为圆心，OB=OD，△OM=ON，△BM=ND.【点拨】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.．类型二、利用四点共圆进行证明或求解2．如图，A 、B 、C 、D 四点共圆，且△ACB ＝△ACD ＝60°．求证：△ABD 是等边三角形．【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得出△ADB ＝60°＝△ABD ，再用三角形的内角和定理求出△BAD ，即可得出结论．证明：△△ACB ＝60°，△△ADB ＝△ACB ＝60°，△△ACD ＝60°，△△ABD ＝△ACD ＝60°，在△ABD 中，△BAD ＝180°﹣△ADB ﹣△ABD ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，△△ABD ＝△ADB ＝△BAD ＝60°，△△ABD 是等边三角形．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，圆周角定理，三角形的内角和定理 ，掌握圆周角定理是解答本题的关键；举一反三：【变式】 如图所示中，60NAM ∠=︒，B ，C 分别在边AM 和AN 上，且2BC =，CP AN ⊥，BP AM ⊥垂足分别为C ，B ，求PA 的长.【答案】433PA =【分析】本题关键要建立未知线段PA 和已知线段BC 的关系，由A ，B ，P ，C 共圆，PA 和CE 为直径，于是在Rt CEB △中便可以建立CE 和BC 的关系，求出CE 的长即求出PA 的长.解：连结CD ，BD ，△,CP AN BP AM ⊥⊥，△90PCA PBA ∠=∠=︒△AD BD PD CD ===，△由圆的定义知点A ，B ，C ，P 在以D 为圆心，DA 为半径的圆上，作出辅助圆，延长CD 交圆D 于E ，连结BE ，△60BAC CEB ∠=∠=︒ 30ECB ∠=︒在Rt BCE 中，2BC =，△433EC =△433PA =【点拨】双直角三角形是典型的共圆图，解题中注意灵活应用.类型三、四点共圆综合应用3．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，△E 是△ABC 中△A 的遥望角．△若△A ＝40°，直接写出△E 的度数是 ；△求△E 与△A 的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD 中，△ABC ＝△ADC ＝90°，点E 在BD 的延长线上，连CE ，若△BEC 是△ABC 中△BAC 的遥望角，求证：DA ＝DE ．【答案】（1）△20°；△12∠=∠E A ，理由见分析；（2）证明见分析 【分析】 （1）△根据题目定义推出△E ＝12△A ，从而得出结论；△直接根据求解△过程证明即可； （2）首先根据题意推出A 、B 、C 、D 四点共圆，然后作四边形ABCD 的外接圆交CE 于点F ，连接AF ，DF ，再根据圆的内接四边形的性质等推出△AFD ＝△DFE ，然后根据“遥望角”的定义推出△E＝△DAF，即可证△DAF△△DEF，从而得出结论．（1）解：△△△E是△ABC中△A的遥望角，△△EBC＝12△ABC，△ECD＝12△ACD，△△E＝△ECD﹣△EBD＝12（△ACD﹣△ABC）＝12△A，△△A＝40°，△△E＝20°．故答案为：20°；△12∠=∠E A，理由如下：△△E是△ABC中△A的遥望角，△△EBC＝12△ABC，△ECD＝12△ACD，△△E＝△ECD﹣△EBD＝12（△ACD﹣△ABC）＝12△A；（2）证明：△△ABC＝△ADC＝90°，△A、B、C、D四点共圆，作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，△四边形FBCD内接于△O，△△DFC+△DBC＝180°，△△DFC+△DFE＝180°，△△DFE＝△DBC，△BD平分△ABC，△△ABD＝△DBC，△△ABD＝△AFD，△△AFD＝△DFE，△△BEC 是△ABC 中△BAC 的遥望角，由（1）得△E ＝12△BAC ，△△BAC ＝△BDC ，△△E ＝12△BDC ，△△E +△DCE ＝△BAC ，△△E ＝△DCE ，△△DCE ＝△DAF ，△△E ＝△DAF ，△DF ＝DF ，△AFD ＝△DFE ，△△DAF △△DEF （AAS ），△DA ＝DE ．【点拨】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键．举一反三：【变式】在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：ABC ∆是等边三角形，点D 是ABC ∆内一点，连接CD ，将线段CD 绕C 逆时针旋转60︒得到线段CE ，连接BE ，DE ，AD ，并延长AD 交BE 于点F ．当点D 在如图所示的位置时：（1）观察填空：△与ACD ∆全等的三角形是________；△AFB ∠的度数为（2）利用题干中的结论，证明：C ，D ，F ，E 四点共圆；（3）直接写出线段FD ，FE ，FC 之间的数量关系．____________________．【答案】（1）△BCE ∆：△60︒；（2）见分析；（3）FD FE FC +=．【分析】（1）△根据旋转的性质和等边三角形的性质可证△ACD△△BCE ；△根据已推导出的全等三角形和三角形内角和进行角度转化，可得△AFB 的大小； （2）根据△ACD△△BCE 得ADC BEC ∠∠=，推导得出四边形CDFE 中180BEC FDC ∠+∠=︒，从而证共圆；（3）先推导出△BDF 是等边三角形，可证△ABD△△CBP ，得出AD=FC ，从而得出数量关系．解：（1）△△△ABC 是等边三角形△AB=AC=BC ，△BAC=△ACB=△ABC=60°△将线段CD 绕C 逆时针旋转60︒得到线段CE△CE=CD ，△DCE=60°△△DCE 是等边三角形△△DCE=60°△△ACD+△DCB=60°，△BCE+△DCB=60°△△ACD=△BCE△△ACD△△BCE(SAS)△△△ACD△△BCE△△EBC=△DAC△△DAC+△BAD=△BAC=60°△△FBC+△BAD=60°△△AFB=180°－△ABC －△FBC －△BAF=180°－60°－60°=60°（2）△()ACD BCE SAS ∆∆≌．△ADC BEC ∠∠=，△180ADC FDC ∠+∠=︒，△180BEC FDC ∠+∠=︒．△C ，D ，F ，E 四点共圆； （证明不唯一）（3）结论：FD FE FC +=,如下图,连接BD△△ACD△△BCE△△CBE=△CAD ，AD=BE△△CAD+△BAD=60°，△BAD+△FBC=60° △△BAD+△ABD=△BDF=60° △△AFB=60°△△BDF 是等边三角形 △DF=BF,△FD+FE=BE△△ABD△△CBF(SAS)△AD=FC△FD+FE=FC【点拨】本题属于几何综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．。
专题3.8 四点共圆(隐圆压轴五)(解析版)
∴DG＝CG﹣CD＝ ＝ ，
在 Rt△ADG 中，由勾股定理得
＝
＝
，
∴
＝
＝
．
故答案为：6，
．
【变式 1-5】如图，AB⊥BC，AB＝5，点 E、F 分别是线段 AB、射线 BC 上的动 点，以 EF 为斜边向上作等腰 Rt△DEF，∠D＝90°，连接 AD，则 AD 的最 小值为 ．
【答案】 ． 【解答】解：连接 BD 并延长，如图，
模型解读：
模型 1：对角互补型： 若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º, 则 A、B、C、D 四点共圆 模型 2：同侧等角型 （1）若∠A=∠C, 则 A、B、C、D 四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆 条件：△OCD∽△OAB 结论：①△OAC∽△OBD ②AC 与 BD 交于点 E,必有∠AEB=∠AOB； ③点 E 在△OAB 的外接圆上,即 O、A、B、E 四点共圆.同理：ODCE 也四点共圆.
∴S△ABC＝
＝
＝300 km2．
则当△ADC 的面积最大时，四边形 ABCD 的面积最大．
当 AD＝CD 时，DF 最大，此时四边形 ABCD 的面积最大．
在 Rt△ACE 中，AC＝
＝10 km，AF＝ AC＝5
km，
∵∠ADF＝
＝30°，
∴DF＝ AF＝5 km，
∴S△ADC＝
Hale Waihona Puke ＝＝925 km2．
C．15
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，
∴A、E、D、F 四点共圆，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴DE＝DF＝6，
九年级数学四点共圆例题讲解
九年级数学四点共圆例题讲解知识点、重点、难点四点共圆就是圆得基本内容，它广泛应用于解与圆有关得问题．与圆有关得问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来就是数学竞赛得热点内容。
在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆得有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。
因此，掌握四点共圆得方法很重要。
判定四点共圆最基本得方法就是圆得定义：如果A、B、C、D四个点到定点O得距离相等，即OA＝OB＝OC ＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出1、如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形得四个顶点共圆。
将上述判定推广到一般情况，得：2、如果四边形得对角互补，那么这个四边形得四个顶点共圆。
3、如果四边形得外角等于它得内对角，那么这个四边形得四个顶点共圆。
4、如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等得顶角，那么这两个三角形得四个顶点共圆。
运用这些判定四点共圆得方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形得四个顶点共圆。
其实，在与圆有关得定理中，一些定理得逆定理也就是成立得，它们为我们提供了另一些证明四点共圆得方法．这就就是：1、相交弦定理得逆定理：若两线段AB与CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。
2．割线定理得逆定理：若相交于点P得两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。
3、托勒密定理得逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA=AC·BD，则ABCD就是圆内接四边形。
另外，证多点共圆往往就是以四点共圆为基础实现得一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际就是同一个圆。
例题精讲例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。
探究四点共圆知识点
探究四点共圆知识点什么是四点共圆问题？四点共圆是一种几何学问题，其基本目标是找到一个圆，使得给定的四个点都位于该圆上。
这个问题在几何学中具有重要的应用价值，并且是许多数学竞赛中常见的题目。
解决四点共圆问题的步骤要解决四点共圆问题，可以按照以下步骤进行思考和操作：步骤一：理解题目首先，我们需要仔细阅读题目并理解其要求。
题目通常会给出四个点的坐标或者描述它们的位置关系。
我们需要明确题目要求的是找到一个圆，使得给定的四个点都位于该圆上。
步骤二：确定圆心为了找到圆，我们需要确定圆心的位置。
要确定圆心，我们可以运用几何学中的一些定理和性质。
例如，我们可以考虑使用垂直平分线定理或者圆的切线性质来找到圆心。
步骤三：计算半径确定了圆心后，下一步是计算圆的半径。
我们可以使用给定的四个点与圆心之间的距离来计算半径。
这可以通过计算点到圆心的欧几里得距离来实现。
步骤四：检验四点是否共圆在确定了圆心和半径后，最后一步是检验给定的四个点是否都位于该圆上。
我们可以计算每个点到圆心的距离，并将其与半径进行比较。
如果所有的距离都与半径相等或非常接近，那么这四个点就共圆。
示例问题为了更好地理解四点共圆问题的解决步骤，我们来看一个具体的示例问题：假设有四个点A(0,0)，B(0,1)，C(1,1)和D(1,0)，我们需要找到一个圆，使得这四个点都位于该圆上。
解决步骤：1.理解题目要求，确定四个点的坐标。
2.确定圆心的位置。
由于给定的四个点位于一个正方形的四个顶点上，正方形的对角线的交点就是圆心。
由于正方形的对角线相互垂直且平分对方，圆心的坐标为(0.5,0.5)。
3.计算半径。
根据圆心和任意一个点的坐标之间的距离公式，我们可以计算出半径的值。
选取点A(0,0)，计算欧几里得距离得到半径r=0.5。
4.检验四点是否共圆。
计算每个点到圆心的距离，并将其与半径进行比较。
对于给定的四个点，它们到圆心的距离都等于半径r，所以这四个点共圆。
结论通过以上步骤，我们成功解决了四点共圆问题。
奥数-圆-四点共圆8学
第十二讲四点共圆一、基础知识1、四点共圆的判定方法（1）利用圆的定义，即：各点与一定点等距离（R），则各点在以定点为圆心，半径为R的圆上；（2）若一线段（AB）同侧的两个点C和D，对这条线段的两点（A和B）的张角相等，则这四点A、B、C、D共圆；（3）若一线段（AB）异侧的两个点C和D，对这条线段的两点A、B的张角互补，则A、B、C、D四点共圆；（4）两线段AB、CD交于E点，若满足AE·EB＝CE·ED，则A、B、C、D四点共圆；（5）两线段OAB和OCD，若满足OA·OB＝OC·OD，则A、B、C、D四点共圆；（6）由四点所构成的凸四边形的一个外角等于内对角，则凸四边形四个顶点共圆.二、例题例1 通过两个相交圆得公共弦上的任一点P，引第一个圆的弦KM和第二个圆的弦LN，证明：KLMN 可内接于一圆.例2 圆O1，O2相交于AB，P是BA延长线上一点，割线PCD交圆O1于C、D，割线PEF交圆O2于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆.例3 AB为圆直径，过A在AB同侧作弦AP、AQ，交B处的切线于点R、S，求证：P、Q、S、R四点共圆；例4 A为⊙O外一点，AB，AC和⊙O分别切于B、C两点，APQ为⊙O的一条割线，过B作BR∥AQ 交⊙O于点R，连结CR交AQ于点M，试证：A、B、C、O、M五点共圆；例5 ⊿ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，AM为底边BC上的中线，过M、C两点的圆交AC于E，交BE 于F，求证：A F⊥BE；例6 过已知⊙O的中心作OA垂直于圆外的直线MN，自垂足A作圆的割线交圆于B、C，过B、C分别作圆的切线交MN于D、E，求证：AD＝AE；例7 AB、AC切⊙O于B、C，任作割线AEF交圆周于E、F，弦BD平分弦EF交EF于M，求证：C D ∥EF；例8 已知，⊙O与⊙O’外切于P，过P点作直线交⊙O与⊙O’于A、B，AC是⊙O的弦，过B点作⊙O’的切线交AC的延长线于D，求证：AP·AB＝AD·AC；例9 圆O1，O2相交于A、B，从圆O1上一点P引直线PA、PB，交圆O2于C、D，过P作P H⊥CD于H，求证：PH过圆O1的圆心；例10 如图，AD是圆的直径，直线l是过D的切线，割线AB、AC交l于点B、C，交圆于点E、F；（1）求证：AE·AB＝AF·AC；（2）如果使直线l向上平行移动成为圆的割线，而AB、AC仍与l交于点B、C，与圆仍交于点E、F，那么等式AE·AB＝AF·AC是否仍成立，为什么？例11 PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，连结AB与PO交于M，QR是过M的任意一条弦，求证：OP平分∠QPR；例12 如图，P为⊙O上任一点，AB为任意弦，过AB作⊙O的两条切线相交于Q，PD⊥QA于D，PE⊥QB 于E，PC⊥AB于C，求证：PC2＝PD·PE；例13 如图，⊙O内接⊿ABC，AQ⊥BC于D点，交⊙O于Q，AD是⊙O’的直径，⊙O’交AB于M，交AC于N，AQ交MN于P，求证：AD2＝AP·AQ；例14 在⊿ABC中边AB＝AC，有一个圆O1内切于⊿ABC的外接圆O并且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：P、Q连线的中点O是⊿ABC的内切圆的圆心；三、练习题1．锐角⊿ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中，能组成四点共圆的组数为（）A．4组B．5组C．6组D．7组2．在⊿ABC中，AB＝AC，D为BC边中点，且BE⊥AC于E，交AD于P，已知BP＝3，PE＝1，则PA的值为（）A．3B．23C．2D．63．直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，如图，P到AB、AC的距离分别为6厘米，4厘米，则P到BC的距离为_______；4．正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA：PB＝5：14，则PB＝________；5．已知PA是⊿ABC的外接圆的切线，PD∥AC且与AB、BC分别交于点E、D，求证：EA·EB＝ED·EP；6．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作一条直线分别交⊙O1和⊙O2于C、D，过C、D分别作⊙O1和⊙O2的切线，它们相交于E，连结BC、BD和BE，求证：∠BCD＝∠BED.7．已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，过A、C、D三点的圆交AB于点F，求证：F为⊿CDE的内心；8．已知：BE、CF是⊿ABC的两条高，M是BC的中点，N是EF中点，求证：M N⊥EF；9．AD是等腰⊿ABC底边BC上的高，BM及BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M、N点，连结CN并延长交AB于E，求证：AM AE MN EB。
初三数学联赛辅导--四点共圆
四点共圆四点共圆的判定方法：(1）先证三点共圆,再证第四点也在此圆上（2）若干个点到某定点距离相等,则这些点共圆 （3)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆（4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.（5)若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PD PB PC PA •=•，则它的四个顶点共圆。
（6）若四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 相交于P ，且PD PC PB PA •=•，则它的四个顶点共圆.（7)（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD 中，BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ 则A 、B 、C 、D 四点共圆 （8）（西姆松定理的逆定理）从ABC ∆外一点D 引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足为L 、M 、N ,若L 、M 、N 共线，则A 、B 、C 、D 四点共圆例1 如图,ABC ∆三边上的高交于H ，H 不于任一顶点重合，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个？例2 给出锐角ABC ∆，以AB 为直径的圆与AB 边的高1CC 及其延长线交于M 、N ,以AC 为直径的圆与AC 边的高1BB 及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆NCQPMC1B1BA例3 在等腰ABC ∆中，P 为底边BC 上任意一点,过点P 作两腰的平行线分别与AB 、AC 交于点Q 、R ，又点1P 是点P 关于QR 的对称点,求证：点1P 在ABC ∆的外接圆上例4 A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外,1O 、2O 、3O 分别为OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的外心，求证：O 、1O 、2O 、3O 四点共圆例 5 在梯形ABCD 中，AB ‖DC ，DC AB >，K 、M 分别在AD 、BC 上，CBK DAM ∠=∠,求证：CKB DMA ∠=∠oB C A C M K DABCQP P1ARCB例6 如图,ABC ∆中，高BE 、CF 交于H ，且︒=∠135BHC ,G 为ABC ∆内的一点， 且GC GB =，A BGC ∠=∠3，连结HG ，求证：HG 平分BHF ∠例7 如图，ABC ∆内接于圆O ，AD 、BD 是圆O 的切线，作DE ∥BC 交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ，求证：FC BF =例8 正方形ABCD 的中心为O ，面积为21989cm ,P 为正方形内一点，︒=∠45OPB ，14:5:=PB PA ，求PBCBOPDAB 例9 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥于M ，CD AN ⊥于N ，若13=AB ，5=BM ，9=MC ,求MN 的长度例10 如图，已知直线AB 、AC 切圆O 于点B 、C ， P 圆O 上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为4厘米和6厘米,求P 到BC 的距离例11 在ABC ∆的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得A QCB PBC ∠=∠=∠21， 求证:CP BQ =CBQPAA例12在梯形ABCD 中，AD ‖BC ，1==BD BC ，AC AB =，1<CD ，︒=∠+∠180BDC BAC ，求CD 的长例13 在锐角ABC ∆中,AC AB ≠，H 是高AD 上一点，连结BH 并延长交AC 于点E ，连结CH 并延长交AB 于点F ,已知B 、C 、E 、F 四点共圆，求证:H 为ABC ∆的垂心例14 如图，P 圆O 外一点，PA 切圆O 于A ，PBC 是割线，PO AD ⊥于D ，求证：CDPCPB =CB D A BCBD例15 如图，已知，在凸五边形ABCDE 中，α3=∠BAE ，DE CD BC ==，且α2180-︒=∠=∠CDE BCD ，，求证：DAE CAD BAC ∠=∠=∠例16 如图，AD 为ABC ∆的一条高,l 是过D 的一条直线，E 、F 都是l 上的点，满足BE AE ⊥，CF AF ⊥,设M 、N 分别为BC 、EF 的中点，证明：MN AN ⊥例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积例18 证明(托勒密定理）凸四边形ABCD 的四个顶点共圆的充要条件是BD AC BC AD CD AB •=•+•例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为AB ，求A 引出的三条对角线的长度之和例20 证明（西姆松定理）从ABC ∆外一点D ，引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足是L 、M 、N ，则点D 在ABC ∆的外接圆上的充要条件（点D 在ACB ∠内时）是L 、M 、N 共线，亦即MN LM LN +=。
奥数第四讲四点共圆问题
第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2.①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2.②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK .求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B CK MNP Q B ′C ′A B CO O O O 123？？A BC DK M ··分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC + ∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒OC =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.A BO K N CMG A B C D I C I DA I I B同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛) 分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB .(5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大.例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ . (1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ . 又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°)，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .练习题1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2··P O A B C D A BC D E F KG ······四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。
初中数学竞赛 知识点和真题 第18讲 四点共圆
第18讲 四点共圆……对数学之美的感觉，对数与形之和谐的感觉，对几何学之优雅的感觉。
这是一种所有数学家都深知的真正的美感。
而这就是一种敏感性。
——庞加莱知识方法扫描“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.证明四点共圆常常利用以下一些方法思考：(1) 要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等．特别是先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角；此外若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆．(2) 若两线段AB ，CD 相交于E 点，且AE·EB=CE·ED ，则A ，B ，C ，D 四点共圆；若相交直线PA ，PB 上各有一点C ，D ，且PA·PC=PB·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆．共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介．经典例题解析例1．在锐角△ABC 中，以BC 为直径作圆与BC 边上的高AD 及其延长线交于M ，N 。
以AB 为直径作圆与AB 边上的高CF 及其延长线交于P ，Q 。
求证：M ，P ，N ，Q 四点共圆。
证明 连接BM ，MC ，在Rt △BMC 中，∠BMC ＝90°，MD ⊥BC ，故BM 2＝BD ·BC 。
即 BM ＝BN ＝BC BD ⋅，同理 BP ＝BQ ＝BA BF ⋅.因为∠AFC ＝∠ADC ＝90°，故A ，F ，D ，C 四点共圆。
由割线定理，得 BD ·BC ＝BF ·BA 。
故BM ＝BN ＝BP ＝BQ 。
于是，M ，N ，P ，Q 四点同在以B 为圆心、BM 为半径的圆上，即M ，N ，P ，Q 四点共圆。
四点共圆
四点共圆一、知识点梳理1、四点共圆的概念如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
性质：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
2、初中阶段四点共圆的常见判定方法（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。
ABCDPAB CDP3、四点共圆的妙用巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长等问题。
二、例题精练1、四点共圆的性质a.例题讲解1．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：32．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（）A．100°B．°C．120°D．135°3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD=∠BAD．（1）求证：DG⊥AB；（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径．DCBAb.举一反三1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°3．如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为cm2．4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC 延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．（1）求证：∠EDF=∠CDF；（2）求证：AB2=AF•AD；（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．2、四点共圆的妙用之边角问题a.例题讲解1.如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作OE⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为6，则cos∠BOE= .2.如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=3:4，则PB=3.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥ACHFGEDA C4.四边形ABCD是正方形，AC 与BD，相交于点O，点E、F 是直线AD上两动点，且AE =DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G ，连接AG ，直线AG 交BE 于点H ．（1）如图1，当点E 、F 在线段AD 上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG 与BE 的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO 平分∠BHG；b.举一反三1.在ABC ∆的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得BE DE =，CE FE =，又点O 是ADF ∆的外心． 求证：O 在DEF ∠的平分线上．C2.如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在AC 上，且AF AE =． 求证：CE 平分DEF ∠．B3.已知AD 是ABC ∆角平分线交BC 于D ，ABD ACD ABC ∆∆∆、、外心分别是12O O O 、、,求证12=O O OO2.如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．（1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：22AB BM BF AC =⋅+．ABb.举一反三1.如图，已知BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ，连接AE 、CE ．求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．B AF三、演练场1．（2014•东营）如图，四边形ABCD 为菱形，AB=BD ，点B 、C 、D 、G 四个点在同一个圆⊙O 上，连接BG 并延长交AD 于点F ，连接DG 并延长交AB 于点E ，BD 与CG 交于点H ，连接FH ，下列结论：①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG 为⊙O 的直径时，DF=AF ． 其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP=1，则AE= ；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．3．（2018•路南区三模）如图1，已知∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边△BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．（1）当OB⊥AM时，点O ∠MAN的平分线上（填“在”或“不在”）；（2）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，求证：点O 在∠MAN的平分线上；（3）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，求证：△ABO∽△ACP；设AP=m，直接写出AC•AO的值（用含m的式子表示）；（4）若点D在射线AN上，AD=2，⊙K为△ABD的内切圆，当△BPQ的边BP与⊙K相切时，请直接写出点A与点O的距离．4．（2018春•历下区期末）如图，已知菱形ABCD边长为4，BD=4，点E从点A出发沿着AD、DC方向运动，同时点F从点D出发以相同的速度沿着DC、CB的方向运动．（1）如图1，当点E在AD上时，连接BE、BF，试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的前提下，求EF的最小值和此时△BEF的面积；（3）当点E运动到DC边上时，如图2，连接BE、DF，交点为点M，连接AM，则∠AMD大小是否变化请说明理由．5．（2018•泉州二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F．（1）求证：∠BFE=∠ADE；（2）求BF的最大值；（3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长．6．（2015秋•南岸区期末）在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F 在边CD上，连接DE、AF，点G在线段AF上（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=，DF=3，连接EG，求EG的长；（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接FH，求证：∠CFH=∠AFD；（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当点F 在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生改变若不改变，求出∠EGH的度数；若发生改变，请说明理由．。
四点共圆常用公式
四点共圆常用公式一、四点共圆的概念四点共圆是指平面上的四个点在同一圆上的几何关系。
如果四个点A、B、C和D共圆，即存在一个圆，使得这四个点都在圆上，那么我们称这四个点共圆。
二、四点共圆的性质1. 任意两条相交的弦所对的弧等于它们所夹的角这个性质可以用公式表示为：∠ACB = 1/2(α + β)，其中α和β为相交弦AB和CD所对的弧的度数。
2. 相交弦的交点到圆心的距离乘积相等如果弦AB和CD相交于点E，且E到圆心O的距离分别为r1和r2，则有r1×r2 = OE×OE'，其中OE'为E关于圆心O的对称点。
3. 弦上两点到圆心的距离乘积相等如果弦AB上任意两点A和B到圆心O的距离分别为r1和r2，则有r1×r2 = OA×OB。
4. 弦上两点到圆心距离的平方差等于弦长的平方如果弦AB上任意两点A和B到圆心O的距离分别为r1和r2，弦AB的长度为l，则有r1^2 - r2^2 = l^2。
三、常用公式1. 弦长公式已知弦所对的弧的度数为α，圆的半径为r，则弦的长度可以用公式表示为l = 2r×sin(α/2)。
2. 弦的中点与圆心的距离已知弦的长度为l，圆的半径为r，则弦的中点与圆心的距离可以用公式表示为d = sqrt((2r)^2 - l^2)。
3. 弦的中垂线长度已知弦的长度为l，圆的半径为r，则弦的中垂线的长度可以用公式表示为h = r - sqrt(r^2 - (l/2)^2)。
四、应用示例假设有一个圆心为O，半径为r的圆，其中AB和CD为两条相交的弦，交点为E。
已知弦AB的长度为l1，求弦CD的长度l2。
根据弦长公式，可得l1 = 2r×sin(α/2)，l2 = 2r×sin(β/2)。
其中α和β为弦AB和CD所对的弧的度数。
根据相交弦的交点到圆心的距离乘积相等的性质，可得r1×r2 = OE×OE'。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型(解析版)
专题31圆中的重要模型之四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。
相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。
本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。
这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
【答案】2【分析】首先连接OE，由角器上对应的读数．【详解】解：连接OE，A ．13B ．52∵在ABC 中，90BAC【答案】30【分析】连接AC 与BD 又易知在Rt ACD △中，【详解】解：连接AC 与∵四边形形ABCD 是矩形，12OA OB OC OD AC又∵DE BF 于E ，即是直角三角形，∴12OE BD ，∴OA OC OD OE ，∴点A B 、、，由旋转的性质可知：AF AB ，【答案】122【分析】（1）根据条件，证明AOD COD△△△△，代入推断即可.（2）通过AOG ABC证明ODF CBF△△，代入推断即可.又∵∵CE CF∴CEF CFE模型2、定边对双直角共圆模型C同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足90ABD ACD，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足90ABC ADC，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为【点睛】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，求出线段．模型3、定边对定角共圆模型条件：如图1，平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ADB ACB ，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆．条件：如图2，AC 、BD 交于H ，AH CH BH DH ，结论：A B C D 、、、四点共圆.例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝40°，将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，使D 点落在BC 边上．（1）求∠BAD 的度数；（2）求证：A 、D 、B 、E 四点共圆．【答案】（1）10°；（2）见解析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C 的度数，由旋转的性质得出AC ＝AD ，即可得出∠ADC ＝∠C ，最后由外角定理求得∠BAD 的度数；（2）由旋转的性质得到∠ABC ＝∠AED ，由四点共圆的判定得出结论．【详解】解：（1）∵在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝40°，∴∠C ＝50°，∵将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，使D 点落在BC 边上，∴AC ＝AD ，∴∠ADC ＝∠C ＝50°，∴∠ADC ＝∠ABC +∠BAD ＝50°，∴∠BAD ＝50°－40°＝10°证明（2）∵将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，∴∠ABC ＝∠AED ，∴A 、D 、B 、E 四点共圆．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．例3．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE 绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．【答案】804##4【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC =∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°，∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°，即∠DCB =∠ECA ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴∠EAC =∠DBC ，∵∠DBC =20°，∴∠EAC =20°，∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°；设BF 与AC 相交于点H，如图：∵△ACE ≌△BCD ∴AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∴∠AFB =∠ACB =60°，∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∵点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∴此时线段AF 长度有最小值，在Rt △BCD 中，BC =5，CD =3，∴BD 4，即AE =4，∴∠FDE =180°-90°-60°=30°，∵∠AFB =60°，∴∠FDE =∠FED =30°，∴FD =FE ，过点F 作FG ⊥DE 于点G ，∴DG =GE =32，∴FE =DF =cos 30DG∴AF =AE -FE 80；【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC 同侧有两点B ，D ，连接AD ，AB ，BC ，CD ，如果B D ，那么A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A ，C ，D 的O ，在劣弧AC 上取一点E （不与A ，C 重合），连接AE ，CE 则180AEC D （依据1）B D ∵180AEC B点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B ，D 在点A ，C ，E 所确定的O 上（依据2）点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形ABCD 中，12 ，345 ，则4 的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知ABC 是等腰三角形，AB AC ，点D 在BC 上（不与BC 的中点重合），连接AD ．作点C 关于AD 的对称点E ，连接EB 并延长交AD 的延长线于F ，连接AE ，DE ．①求证：A ，D ，B ，E与判定，掌握以上知识是解题的关键．模型4、对角互补共圆模型P条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足ABC ADC，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，PA PB PD PC，结论：A、B、C、D四点共圆.A．2B．22【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得,,,A B E D四点共圆，在以BE为直径的圆上，连接【答案】43/113【分析】过点B作BH AM交F，点A,M,B,C四点共圆，得法求解，12AMBS AM DE△【详解】解析：过点B作BH 于点，如图所示：【答案】52 2【分析】连接BD并延长，利用四点共圆的判定定理得到的性质和圆周角定理得到DBF性质解答即可得出结论．(1)求证：A ，E ，B ，D 四点共圆；(2)如图2，当AD CD 时，O 是四边形AEBD O 的切线；(3)已知1206BC ，，点M 是边BC 的中点，此时P 是四边形出圆心P 与点M 距离的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)32（3）解：如图所示，作线段AB 的垂直平分线，分别交∵120AB AC BAC ，，∴B课后专项训练1．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【详解】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选D．【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．，．下2．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O是AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC BD列结论不一定成立的是（）A ．12B ．3=4C ．180ABC ADCD ．AC 平分BAD【答案】D 【分析】以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．再根据圆内接四边形的性质，圆周角定理逐项判断即可．【详解】如图，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．由题意可知：OA OB OC OD ．即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上．A ．∵ AB AB ，∴12 ，故A 不符合题意；B ．∵ BCBC ，∴3=4 ，故B 不符合题意；C ．∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ABC ADC ，故C 不符合题意；D ．∵ BC 和CD不一定相等，∴BAC 和DAC 不一定相等，∴AC 不一定平分BAD ，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．3．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ，3BC ，4AC ，点P 为平面内一点，且CPB A ，过C 作CQ CP 交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为（）【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．4．（2023·北京海淀·九年级校考期中）如图，点接AC，BD．请写出图中任意一组互补的角为【答案】DAB【分析】首先判断出点【答案】130【分析】根据题意得到四边形【详解】解：由题意得到∴四边形ABCD为圆∵∠ABC＝50°，∴∠【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．6．（2023·浙江金华·A．3B．1∵PE AB 于点E ，PD AC 于点，∴90AEP ADP ，∴180AEP ADP ，∴A 、E 、D 四点共圆，PA 是直径，在Rt PDC 中，45C ，∴△是等腰直角三角形，45APD ∴APD △也是等腰直角三角形，45PAD ，∴PED PAD ∴45AED ，∴AED C ，∵EAD CAB ，∴AED ∽设2AD x ，则2PD DC x ，22x ，如图2，取AP 的中点O 则2AO OE OP x ，∵604515EAP BAC PAD ，过E 作EM AP 于M ，则EM x，cos30OM OE ，∴36222OM x x ，∴6226222AM x x x ，由勾股定理得： 222226222AE AM EM x x ＋【答案】3632 /323 【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点【详解】解：如图旋转，连接以BC 为直径作O ，以AE 为半径作在ABD △和ACE △中AB AC AD AE BAD CAEPBC PBA ACB PBC 90BAC BPC EAD ∵，122AB ∵，A 的半径为62∴又∵90BAC EAD ，CAD，∵33BC ，OP BC∵MQ，MC与圆O相切，1QOM COM COP 【答案】(1)见详解（2）证明：如下图所示由题意可知AC 逆时针旋转90得到边AE ，90E ACB ，则90ACB ∵，AE BF ∥，90 ∵，90EFC ，，F ，E 四点共圆．．∵四边形ABCD是菱形，AC，且 GOC GCO90＝＝∵， 点90DHC DOC＝BDF OCH＝，且BF OM ∵， 点＝＝90AED AOD尝试应用如图2，点D 为等腰Rt ABC △外一点，AB AC ，BD CD ，过点A 的直线分别交DB 的延长线和CD 的延长线于点N ，M ，求证：12ABN ACM S S AN AM △△．问题拓展如图3，ABC 中，AB AC ，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，60BDA BEA ，AE ，BD ，直接写出BE 的长度（用含a ，b 的式子）∵ABC 为等腰直角三角形，∴AB AC ， 又∵BD CD ，即：=90BDC ，∴A 、B 在ABN 与ACE △中，AB AC ABN ACE BN CE，∴∴BAN BAE CAE BAE BAC ∴1122AME AMC S AE AM AN AM S S △△∴60AFB BAF ABF ，AB AF AC ，∵60BDA BEA ，∴A 、D 、E 、B 、F 五点共圆，则：13 ，24 ，60BEF AEB ，【答案】问题情境：见解析；问题解决：（1）102；（2）13522【分析】[问题情境]连结AC ，取AC 的中点O ，连结OB 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OD OA OC OB ，以此即可证明；[问题解决]（1）根据题意可得225AE AD DE ，由[问题情境]结论可知A 、D 、E 、据圆周角定理以及正方形的性质可得45PDE PAE ，则PAE △为等腰直角三角形，设AP 长为a ，根据勾股定理列出方程，求解即可；（2）由[问题情境]结论可知A 、D 、E 、P 四点共圆，过点O 作OG AD 于点G ，作OH 接OB 交O 于点P ，连接PB ，根据题意可得四边形MBNP 为矩形，则要求MN 的最小值，即求值，根据平行线的性质和中点的定义可得OG 为ADE V 的中位线，得1AG ，12OG ，同理可证四边形1【翻折】(1)如图1，将DEF 沿线段AB 翻折，连接CF ，下列对所得四边形ACBF 的说法正确的是平分CBF 、CAF ，②AB 、CF 互相平分，③12ACBF S AB CF 四边形，④A 、C 、B 、F 四点共圆．AB 垂直平分CF ，故②ABC ABF ACBF S S S 四边形1122AB AB FG 12AB CG 取AB 的中点O ，连接CO FO ，ABC ABF △、△均为直角三角形，∴OB OC OA OF ，∴A 、B 、F 四点共圆，故（）沿线段向左平移，∴AB CF ，CF BE 的中点，∴BE BD BF特殊情况分析：(1)如图1，正方形ABCD 中，点P 为对角线时针旋转ADC 的度数，交直线BC 于点Q ．小明的思考如下：连接DQ ，∵AD CQ ∥，90ADC DCQ ，∴ACQ DAC ∵90DPQ ，∴180DPQ DCQ ，∴点D P Q 、、PDQ PCQ DQP PCD∵在菱形ABCD 中BC AD ∥，180ADC DCQ ，DPQ ADC ，∵180DPQ DCQ ，∴点P C Q 、、、共圆，∴DQP ACD ，ACB PDQ ，∵AC 为菱形ABCD 的对角线，ACB ACD ，∴PDQ DQP ，∴ DP PQ ；（3）解：3PQ 或3．由于点P 为对角线AC 上一个动点，分两类情况讨论如下：所示：180302ADC ACD，。
苏教版九年级四点共圆知识点详解
知识点
四点共圆的判定一：
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）
解析： 点A,B,C,D四点到O点的距离相同， 则A,B,C,D四点共圆
典例精讲
锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能
组成四点共圆的组数是（ ）
A、4组
B、5组
第一讲 四点共圆的性质及判定
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
P a r t 1 四点共圆的性质及判定
知识点
一.四点共圆的判定方法：
1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。 2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线的两个端点共圆。 5、若、两线段相交于点，且，则、、、四点共圆。 6、若、两线段延长后相交于点，且，则、、、四点共圆。 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。
证明 在△ABC 中，BD、CE 是 AC、AB 边上的高． ∴∠BEC=∠BDC=90°，且 E、D 在 BC 的同侧， ∴E、B、C、D 四点共圆． ∠AED=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB．
变式练习
在半⊙O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MB<MA， AC<MD），设 K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点， 求证：∠MKO=90°
P
四点共圆问题
四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用.1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N.以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q.求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM. 欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2. ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA.观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B=∠OCB.观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA.由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.A B CK MNP Q B ′C ′A B C O O O O 123？？利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证.2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK.求证：∠DMA ＝∠CKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK.∵∠DAB +∠ADC ＝180°， ∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC. 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB.(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M.求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G.易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK.而∠COK =2·∠BAC =∠GMC + ∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ OC OK ⇒∠OMC =∠OMK. 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .A B C DK M··A BO K N CMG试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛) 分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB.易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB.(5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上.A BC D I C I DA I IB ··P O A BC D作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大. 例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS 交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q.求证：RS ＞MQ.(1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ.根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ.又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°)，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ.练习题1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2 四点共圆，从而知C ，D ，O 1，B ，O 2五点共圆.)2.△ABC 为不等边三角形.∠A 及其外角平分线分别交对边中垂线于A 1，A 2；同样得到B 1，B 2，C 1，C 2.求证：A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2.(提示：设法证∠ABA 1与∠ACA 1互补造成A ，B ，A 1，C 四点共圆；再证A ，A 2，B ，C 四点共圆，从而知A 1，A 2都是△ABC 的外接圆上，并注意∠A 1AA 2=90°.)3.设点M 在正三角形三条高线上的射影分别是M 1，M 2，M 3(互不重合).求证：△M 1M 2M 3也是正三角形.A BC DEF KG ······4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B 引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。
初中数学重点梳理：四点共圆
四点共圆知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理，圆内接四边形的性质和判定，点、直线、圆和圆的位置关系是今后我们学习综合题目的重要基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆的内接四边形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）3、托勒密定理：若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有AB*CD+AD*BC≥AC*BD，等号成立的条件是ABCD四点共圆。
4、证明方法：（1）从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆（2）被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。
初三上专题四点共圆
四点共圆专题讲义例1．如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证:E、F、G、H四点共圆．例2．（1）如图，在△ABC中，BD、CE是AC、AB上的高,∠A=60°．求证：ED=12 BC（2)已知：点O是△ABC的外心,BE，CD是高．求证：AO⊥DE例3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB,DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．总结:四点共圆的方法：1．__________________________________________________________2．__________________________________________________________ 3．__________________________________________________________ 4．__________________________________________________________例4．求证:圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中AB ·CD +BC ·AD =AC ·BD ．练习1．在ABC △中,BA BC BAC ∠α==，,M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点,将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若60α=︒且点P 与点M 重合（如图1)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合,线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3)对于适当大小的α,当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ,M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,且PQ =QD ，请直接写出α的范围．OA =OB =OC∠ADC =∠ABC =90°∠ACD =∠ABD =90°∠B +∠D =180°或∠A +∠BCD =180°或∠A =∠DCE∠A =∠D 或∠B =∠C练习2．在△ABC 中，∠A =30°，AB =23，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α(0°〈α〈90°），得到△DBE ,其中点A 的对应点是点D ，点C 的对应点是点E ，AC 、DE 相交于点F ,连接BF 。
第四讲 四点共圆问题
第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2ABCK M NPQ B ′C ′=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ， △OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证.2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK .A BCOO O O 123？？求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆 ∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ， BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC +A BC D K M ··ABO K N CMG∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ OC =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题) 分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21 ∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点 共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ， ABCDI C I DAI I B∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-21(∠ABC +∠ADC ) =360°-21×180°=270°. 故∠I B I C I D =90°.同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，P A :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛)分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故P A 2+PB 2=AB 2=1989. 由于P A :PB =5:14，可求PB . (5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).··P OA BCD(1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同 理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大. 例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS 交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ .(1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ .A BCDEF KG ······又易证M，S，Q′，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(∠RMS=90°)，MQ′是一条弦(∠MSQ′＜90°)，故RS ＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.练习题1.⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A 点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。
九年级数学奥数知识点专题精讲---四点共圆
知识点、重点、难点四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。
在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。
因此，掌握四点共圆的方法很重要。
判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。
将上述判定推广到一般情况，得：2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。
运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。
其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是：1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。
2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。
3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。
另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。
例题精讲例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点、重点、难点四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。
在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。
因此，掌握四点共圆的方法很重要。
判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。
将上述判定推广到一般情况，得：2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。
运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。
其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是：1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。
2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。
3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。
另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。
例题精讲例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。
已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。
证明连PD、PE、PF．由于P、D、C、F四点共圆，所以∠BDP =∠PEC．又由于A、E、P、F四点共圆，所以∠PEC =∠AFP．于是∠BDP=∠AFP，故B、D、P、F四点共圆。
例2：设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。
证明以E为相似中心作相似变换，相似比为，此变换把E关于12AB、BC、CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S（如图）.只需证明PQRS是圆内接四边形。
由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都是圆内接四边形（每个四边形都有一组对角为直角），由E、P、B、Q共圆有∠EPQ =∠EBQ.由E、Q、C、R共圆有∠ERQ=∠ECQ，于是∠EPQ＋∠ERQ= ∠EBQ＋∠ECQ=90°.同理可得∠EPS＋∠ERS =90°.从而有∠SPQ＋∠QRS =180°，故PQRS是圆内接四边形。
例3：梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点K位于这两个圆之外，证明：由点K向这两个圆所作的切线长度相等。
证明如图，设梯形ABCD的两腰为AB和CD，并设AC、BD与相应二圆的第二个交点分别为M、N.由于∠AMB、∠CND是半圆上的圆周角，所以∠AM B=∠CND = 90°．从而∠BMC =∠BNC=90°，故B、M、N、C四点共圆，因此∠MNK=∠ACB．又∠ACB =∠KAD，所以∠MNK =∠KAD.于是M、N、D、A四点共圆，因此KM·KA = KN·KD.由切割线定理得K向两已知圆所引的切线相等。
例4：如图，A、B为半圆O上的任意两点，AC、BD垂直于直径EF，BH⊥OA，求证：DH=AC.证法一在BD上取一点A'，使A'D = AC，则ACDA'是矩形。
连结A'H、AB、OB.由于BD⊥EF、BH ⊥OA ，所以∠BDO =∠B HO =90°.于是D 、B ，H 、O 四点共圆，所以∠HOB =∠HDB .由于∠AHB =∠AA'B = 90°，所以A 、H 、A'、B 四点共圆。
故∠DA'H =∠OAB ，因此∠DHA'=∠OBA .而OA = OB ，所以∠OBA =∠OAB ，于是∠DHA '=∠D A'H.所以DH =DA'，故DH = AC .证法二 设圆O'为点D 、B 、H 、O 四点所共的圆，过H 作HG ⊥DH ，与圆O'交于G(如图)，则∠AOC =∠HBD =∠DGH ，GD = OB = OA .因此Rt △OAC ≌Rt △GDH ，故DH = AC .证法三 因为D 、B 、H 、O 四点共圆，且直径为OB ．而Rt △AOC 的斜边为OA ，利用正弦定义及正弦定理，得由于OA =OB ，∠AOC =∠DB H ，所,.sin sin AC DHOA OB AOC DBH==∠∠以DH = AC .例5：如图，已知锐角三角形ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高线CC'及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高线BB'及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。
证明 设BC 上的高为AA'，△ABC 的垂心为H ，则A'在以AB 为直径的圆上，从而AH ×HA'=MH ×HN .同理AH ×HA'=PH ×HQ .于是MH ×HN = P H ×HQ ，故M 、N 、P 、Q 四点共圆。
说明 另证：在Rt △ABM 和Rt △ACP 中，AM' =AC'·AB ，AP = AB'·AC .又△ABB'∽△2ACC'，有AC'·AB =AB'·AC ．于是AM = AP2，即AM =AP ．但M 、N 关于AB 对称，P 、2Q 关于AC 对称，故AM =AN ，AP=AQ .因此M 、N 、P 、Q 在以A 为圆心的圆上。
也可由MH ×HN =BH ×HB'=CH ×HC'=PH ×HQ 推出M 、N 、P 、Q 四点共圆。
例6：如图，ABCD 是圆内接四边形，AD 、BC 的延长线交于P ，△PAB 与△PCD 的外心、垂心分别是、和、，求证：1O 2O 1H 2H 、、、1O 2O 1H 2H 四点共圆。
证明 因为是△PAB 的垂心，所以1H ＋∠ABP = 90°.又因为是△PCD 的外心，所以1H PB ∠2O 90°.而，所以212O PC CDP ∠+∠=212CDP CO P ∠=∠ =90°.因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠CDP =∠2O PC CDP ∠+∠ABP ，所以，所以、、P 三点共线．同理可证12H PB O PC ∠+∠2H 1O 、、P 三点共线。
显然△PAB ≌△PCD ，因此，即2H 2O 1122PH PO PH PO =，故、、、四点共圆。
1221PH PO PH PO = 1O 2O 1H 2H 例7：两个等圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一条直线上的四个点，试证：这四个点必在同一个圆周上。
证明 如图，设过两圆的对称中心O 的二条射线为、，11A B 22A B 1A 、位于第一个圆周上，而、位于第二个圆周上。
2A 1B 2B 设点、和分别是点、和3A 3B 4B 2B 1A 关于点O 的对称点，根据相交弦定理有2A ·=·.因为 =3B O 1OB 2B O 4OB 3B O 1OA ，=，从而·=·4OB 2OA 1OA 1OB 2OB ，故、、、四点必在同一个2OA 1A 1B 2A 2B 圆周上。
例8：如图，AB 为定⊙O 中的定弦，作⊙O 的弦、、…、11C D 22C D ，对其中每一i （i ＝1，2，…，2000）都被弦AB 平分于20002000C D i i C D 点，过分别作⊙O 的切线，两切线交于，求证：i M i i C D 、i P 必在同一个圆周上，并指出圆心是什么点。
122000P P P 、、、 证明 连结、．对每一个i （i = 1，2，…，2000），因为i OC i OD 均被AB 平分于，所以i i C D i M .又、分i i i i i i C M M D AM M B = i i PC i i PD 别切⊙O 于，故知四i i C D 、i i i O C P D 、、、点共圆，且通过的中点，所以i OP i i C D i M ，所以i i i i i i C MM DPM MO =.故A 、O 、B 、四点共圆，即i i i i i AM M B PM M O i P 122000P P P 、、、必在同一个圆周上。
因为O 、A 、B 为定点，所以圆心即为△OAB 的外心。
A 卷一、填空题1.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AD 是直径，∠C =128°，则∠ADB 等于 。
2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC = 30°，D 是上任意一点，那么∠D 的度数AC 是。
3.如图，在⊙O 中A 、B 、C 分别为圆周上的三点∠ABC 的外角的度数为n ，那么∠AOC 的度数为 。
4.如图，△ABC 中，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，∠AEF = 45°，∠EFC =10°，则∠ABE = 。
5.四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BOD =110°，那么∠BCD 等于 。
6.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD 、BC 相交于点M ，延长AB 、DC 相交于点N ，∠M =40°，∠N = 20°，则∠A 的度数是 。
7.如图，△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝4，以BC 的直径作半圆O 交AB 于D ，交AC 于E ，则DE 的长是 。
8.如图，⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，弦DF 交AB 于G ，H 是FC 延长线上一点，∠BCH = 80°，则∠BCG 的度数是 。