专题辅导与能力提升 板块一 力学专题四 力和运动的合成与分解

专题辅导与能力提升 板块一 力学专题四 力和运动的合成与分解

专题四 力和运动的合成与分解

●高考趋势展望

力和运动的合成与分解，体现了矢量的运算法则，反映了物理学研究问题的重要方法.在历年的高考中常常将力和运动的合成与分解渗透在物体的平衡、动力学问题、曲线运动、带电粒子在电场、磁场中的运动、导体切割磁感线的运动等问题中进行考查.

●知识要点整合 1.平行四边形定则

平行四边形定则是矢量合成与分解遵循的法则.通过平行四边形定则将合矢量与分矢量的关系转化为平行四边形的对角线和邻边的关系，把矢量运算转化为几何运算.所以，在解决力和运动的合成与分解的问题时，作图是解题的关键. 2.力的合成与分解

力的合成与分解几乎贯穿于所有涉及力的力学问题和电学问题中.求解这些问题时，常用正交分解法进行力的合成与分解，建立合适的坐标系是利用正交分解法进行力的合成与分解的关键.

3.运动的合成与分解

在物理学中，我们常把一些复杂的运动分解为两个简单的运动研究，例如，我们将平抛运动分解为一个沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动；研究带电粒子在匀强电场中的偏转时，也是将带电粒子的曲线运动分解为一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动，这样通过研究两个简单的分运动，再通过运动合成的方法就可掌握合运动的规律.利用运动的合成与分解研究实际运动时，判断应把实际运动（合运动）分解为哪两个分运动是解决问题的关键. ●精典题例解读

［例1］河宽60 m ，水流速度为6 m/s ，小船在静水中速度为3 m/s ，则它渡河的最短时间是多少？最短航程是多少米？ 【解析】 小船过河问题是应用运动合成与分解的原理解决的一类典型问题，常常涉及求最短过河时间和过河的最短位移问题.当船头正指对岸航行时，过河时间最短.过河位移最短的问题有两种情况：第一种情况是当船速v 2大于水速v 1，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽，第二种情况是v 2

图1-4-1

小船过河最短时间为

t =

3

60

2=

v d s=20 s 位移最短时船头应偏向上游河岸α角，则 cos α=

2

1

6312==v v α=60°,最短位移为

s =

2

1

60

cos =

αd m=120 m

［例2］1999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船对北极地区海域进行了全方位的卓有成效的科学考察.“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的条件，以对付北极地区的冰块和冰层.它靠自身的重力压碎周围的冰块，同时又将碎冰挤向船底，如图1-4-2所示.倘若碎冰块仍挤在冰层与船体之间，船体由于受巨大的侧压力而可能解体.为此，船壁与竖直平面之间必须有一个恰当的倾斜角θ.设船壁与冰块间的动摩擦因数为μ，试问使压碎的冰块能被挤向船底，θ角应满足什么条件.

图1-4-2

【解析】如图1-4-3所示，碎冰块受到船体对它的垂直于船壁向外的弹力F N，冰层对它的水平方向的挤压力F，船体与碎冰块间的摩擦力F f.此外，碎冰块还受到自身重力和水对它的浮力作用，但这两个力的合力与前面分析的三个力相比很小，可忽略不计.

图1-4-3

由碎冰块的受力图可知，对于一定大小的挤压力F而言，θ越大，其沿船壁向下的分力就越大，同时垂直船壁向里的分力就越小，碎冰与船体间的压力越小，滑动摩擦力也就越小，从而碎冰块越容易被挤向船底.所以，θ角一定要大于某一临界值θ0，才能使压碎的冰块被挤向船底.

将冰块所受的力分解到沿船壁方向与垂直于船壁方向，当碎冰块处于将被挤向船底的临界状态时，由物体的平衡条件有

F cosθ0-F N=0,

F sinθ0-F f=0,又F f=μF N,

解得 tanθ0=μ.

从而，为使压碎的冰块能被挤向船底，船壁与竖直平面间的倾斜角θ必须满足θ>θ0，即θ>arctanμ.

小结：在处理实际问题时，往往忽视一些次要因素（如本题中冰块所受的重力和浮力），进行理想化的分析，而使问题的讨论得以合理简化.

本题的求解需要将定性分析与定量计算相结合，确定冰块所受冰层水平挤压力F的分解方向，研究冰块被挤向船底的临界状态，需要较强的分析推理能力.

［例3］在光滑水平面上有一质量m=1.0×10-3 kg，电量q=1.0×10-10 C的带正电小球，静止在O点.以O点为原点，在该水平面内建立直角坐标系Oxy.现突然加一沿x轴正方向、场强大小E=2.0×106 V/m的匀强电场，使小球开始运动.经过1.0 s，所加电场突然变为沿y轴正方向，场强大小仍为E=2.0×106 V/m的匀强电场.再经过1.0 s，所加电场又突然变为另一个匀强电场，使小球在此电场作用下经1.0 s速度变为零.求此电场的方向及速度为零时小球的位置.

【解析】小球的运动分为三个过程：第一过程为小球在电场力作用下沿x轴做匀加速直线运动；第二过程为小球做“类平抛运动”，其运动可分解为沿x轴方向的匀速直线运动和沿y轴方向的匀加速直线运动；第三过程小球做匀减速直线运动.

qE

由牛顿定律得知，在匀强电场中小球加速度的大小为a=

m

代入数值得

a =3

61010

0.1100.2100.1--⨯⨯⨯⨯ m/s 2=0.20 m/s 2 当场强沿x 轴正方向时，经过1 s 小球的速度大小为 v x =at =0.20×1.0 m/s=0.20 m/s

速度的方向沿x 轴正方向.小球沿x 轴方向移动的距离 Δx 1=

2

1×0.20×1.02

m=0.10 m 在第2 s 内，电场方向沿y 轴正方向，故小球在x 方向做速度为vx 的匀速运动，在y 方向做初速为零的匀加速运动.沿x 方向移动的距离

Δx 2=v x t =0.20 m 沿y 方向移动的距离

Δy =

21at 2=2

1

×0.20×1.02 m=0.10 m 故在第2 s 末小球到达的位置坐标 x 2=Δx 1+Δx 2=0.30 m y 2=Δy =0.10 m

在第2 s 末小球在x 方向的分速度仍为v x ,在y 方向的分速度 v y =at =0.20×1.0 m/s=0.20 m/s

由上可知，此时运动方向与x 轴成45°角.要使小球速度能变为零，则在第3 s 内所加匀强电场的方向必须与此方向相反，即指向第三象限，与x 轴成135°角.

在第3 s 内，设在电场作用下小球加速度的x 分量和y 分量分别为a x 、a y ，则

a x =

t

v x =0.20 m/s 2

a y =

t

v y =0.20 m/s 2

在第3 s 末小球到达的位置坐标为

x 3=x 2+v x t -21a x t 2

=0.40 m y 3=y 2+v y t -2

1

a y t 2=0.20 m

小结：该题考查了学生描绘物理过程细节，还原物理模型的能力，这是今后在高考中出题的方向，注重了分析判断能力的考查.考生需在审题的基础上，弄清各个子过程的运动特点，建立清晰的物理图景，在第1 s 内，带电质点沿x 轴正向做初速度为零的匀加速直线运动；在第2 s 内做匀减速直线运动，直到速度为零，运用运动的独立性，分别在x 、y 两个方向建立方程.

●应用强化训练

1.如图1-4-4所示，甲、乙两运动员同时从水流湍急的河流两岸下水游泳，甲在乙的下游且游速大于乙.欲使两人尽快在河中相遇，则应选择的游泳方向是

图1-4-4