数值分析 第二章 学习小结

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������
(������ = ������ + 1, ������ + 2, … , ������)
������
������������ (������ +1) = ������������ (������ ) − ������������������ ������������ 回代过程: ������������ = ������������ (������ ) ������������������ (������ )
二、本章知识梳理
针对解线性方程组,求解线性方程组的方法可分为两大类:直接法和迭代法 ,直接法 (精确法) :指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。迭代法(逐次逼 近法) :从一个初始向量出发,按照一定的计算格式,构造一个向量的无穷序列,其极限才 是所求问题的精确解,只经过有限次运算得不到精确解。 我们以前用的是克莱姆法则,对于计算机来说,这种方法运算量比较大,因此我们学习 了几种减少运算次数的方法,有高斯消去法、直接三角分解法,同时针对病态方程组,也提 出了几种不同的解法。 2.1 Gauss 消去法 Gauss 消去法由消元和回代两个过程组成,消元过程是指针对方程组的增广矩阵,做有 限次初等行变化,使它系数矩阵变为上三角矩阵。
������������������ = ������������������ −
������ =1
������������������ ������������������
������������������ (������ = ������ + 1, ������ + 2, … , ������; ������ < ������)
经验证,列主元 Gauss 消元法有很好的数值稳定性。 2.2 直接三角分解法 三角分解法的思想: 系数矩阵 A=UL, 其中 L 为下三角矩阵, U 是上三角矩阵, 为求 AX=b 的解,则引进 Ly=b,Ux=y 两个方程,以求 X 得解向量。 2.2.1Doolittle(杜利特尔)分解
2
L 为单位下三角矩阵,U 为上三角矩阵 定理:矩阵 A= aij
������ = ������, ������ + 1, … , ������
选行号 ik,使得
3
������������������ = ������������������������≤������≤������ ������������ ,令 Mk=il
若 ik=k,则转下一步, 否则交换������������������ 与������������������ ������ (t=1,2,…k-1)、 ������������������ 与������������������ ������ (t=k,k+1,…n)以及������������ 与������������������ 所含的数值,转下一步 计算 ������kk = sk
������
������������ = ������������ −
������ =������ +1
������������������ ������������
������������������ (������ = ������ − 1, ������ − 2, … ,1)
2.2.2Crout(克劳特)分解 L 为下三角矩阵,U 为单位上三角矩阵 推论:矩阵 A= aij
������
������������ = ������������ −
������ =������ +1
������������������ ������������
������������������ (������ = ������ − 1, ������ − 2, … ,1)
(2)选主元的 Doolitte 分解法: 定理: 若矩阵 A∈ Rn×n 非奇异, 则存在置换矩阵 Q, 使得 QA 可做 Doolitte 分解, QA=LU, 其中 L 是单位下三角矩阵,U 是上三角矩阵。 只有矩阵 A 非奇异,则通过对 A 做适当的行变换就可以进行 Doolitte 分解,而不必要 求 A 的前 n-1 个顺序主子式不为 0.
k
(j = k, k + 1, … , n)以及bk (k) 与bik (k)所含的数值。
(3) 对于������ = ������ + 1, ������ + 2, … , ������计算 ������������������ = ������������������ (������ ) ������������������ (������ ) ������������������ (������ +1) = ������������������ (������ ) − ������������������ ������������������
综上:顺序 Gauss 消去法的数值稳定性是没有保证的。 2.1.2 列主元 Gauss 消去法 1.消元过程 对于 K=1,2,3…,n-1 执行 (1) 选行号������������ ,使得 ������������������ (������ ) = ������������������������≪������≪������ ������������������ (������ ) (2) 交换akj (k) 与ai k
������
������������ = ������������
(������ )

������ =������ +1
������������������ (������ ) ������������
������������������ (������ ) (������ = ������ − 1, ������ − 2, … ,1)
������������������ (������ = ������ + 1, ������ + 2, … , ������; ������ < ������)
解的计算公ห้องสมุดไป่ตู้: y1 = b1
������−1
������������ = ������������ −
������ =1
������������������ ������������ (������ = 2,3, … , ������) ������������ = ������������ ������������������
������ =1 ������−1
������������������ ������������������
(������ = ������, ������ + 1, … , ������)
������������������ = ������������������ −
������ =1
������������������ ������������������
������
(������ = ������ + 1, ������ + 2, … , ������)
������
������������ (������ +1) = ������������ (������ ) − ������������������ ������������ 回代过程: ������������ = ������������ (������ ) ������������������ (������ )
������
������������ = ������������
(������ )

������ =������ +1
������������������ (������ ) ������������
������������������ (������ ) (������ = ������ − 1, ������ − 2, … ,1)
2.1.1 顺序 Gauss 消去法
1
消元过程:对于 K=1,2,3…,n-1 执行 (1) 如果������������������ (������ ) = 0,则算法失效,停止计算;否则转(2) (2) 对于������ = ������ + 1, ������ + 2, … , ������计算 ������������������ = ������������������ (������ ) ������������������ (������ ) ������������������ (������ +1) = ������������������ (������ ) − ������������������ ������������������
进行选主元的 Doolitte 分解法具体算法如下: 1)做分解 QA=LU 对于 K=1,2,…,n 执行 2)计算中间量
������−1
������������ = ������������������ −
������ =1
������������������ ������������������
������−1
������������������ = ������������������ −
������ =1 ������−1
������������������ ������������������
(������ = ������ + 1, … , ������; ������ < ������)
������������������ ������������������
(������ = ������, ������ + 1, … , ������)
4
������−1
������������������ = ������������������ −
第 2 章 线性方程组的解法 --------学习小结
一、 本章学习体会
本章主要学习的是线性方程组的解法。而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分 解法以及迭代法三种方法。这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。 高斯消去法中,我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。顺序高斯消 去法可以得到方程组的精确解, 但要求系数矩阵的主对角线元素不为零, 而且该方法的数值 稳定性没有保证。但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整,其有较好的数值稳定性。 直接三角分解法中,我们主要学习了 Doolitte 分解法与 Crout 分解法。其思想主要是: 令系数矩阵 A=UL, 其中 L 为下三角矩阵, U 是上三角矩阵, 为求 AX=b 的解, 则引进 Ly=b,Ux=y 两个方程,以求 X 得解向量。这种方法计算量较小,但是条件苛刻,且不具有数值稳定性。 迭代法(逐次逼近法)是从一个初始向量出发,按照一定的计算格式,构造一个向量 的无穷序列,其极限才是所求问题的精确解,只经过有限次运算得不到精确解。该方法要求 迭代收敛, 而且只经过有限次迭代, 减少了运算次数, 但是该方法无法得到方程组的精确解。
n×n
(n ≫ 2)有唯一的能进行 Crout(克劳特)分解
分解的充分必要条件是:A 的前 n-1 个顺序主子式不等于 0 A 的 Crout(克劳特)分解的计算公式 对于 k=1,2,…n 计算
������−1
������������������ = ������������������ −
������ =1
n×n
(n ≫ 2)有唯一的能进行 Doolittle(杜利特尔)分解的充分必要条件
是:A 的前 n-1 个顺序主子式不等于 0 (1)A 的 Doolitte 分解的计算公式 对于 k=1,2,…,n 计算
������−1
������������������ = ������������������ −
3)求 Qb 对于 K=1,2,…,n-1 执行 t=Mk 交换 bk 与 bt 所含的数值 4)求解 Ly=Qb 和 Ux=y y1 = b1
������−1
������������ = ������������ −
������ =1
������������������ ������������ (������ = 2,3, … , ������) ������������ = ������������ ������������������
相关文档
最新文档