全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师21(文)

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二十一)第二十一单元高中数学综合测试
(120分钟150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数(2-i)z=1+2i,是z的共轭复数,则等于
A.1
B.i
C.-1
D.-i
==i,所以=-i,故选D.
解析:z=
-
答案:D
2.若集合M={x|log2(x-1)<1},N={x|0<x<2},则M∩N等于
A.{x|1<x<2}
B.{x|1<x<3}
C.{x|0<x<3}
D.{x|0<x<2}
解析:由于M={x|log2(x-1)<1}={x|1<x<3},N={x|0<x<2},那么
M∩N={x|1<x<3}∩{x|0<x<2}={x|1<x<2}.
答案:A
3.抛物线y=-x2的焦点坐标是
A.(-,0)
B.(0,-)
C.(0,-)
D.(0,-)
解析:x2=-2y,故焦点为(0,-).
答案:B
4.设a=loπ,b=()-0.8,c=lgπ,则
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<a<c
解析:a<0,b>1,0<c<1,故选B.
答案:B
5.如图,在圆C:x2+y2=10内随机撒一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率是
A.1-
B.
C.
D.
解析:如图所示,阴影部分为正方形,面积为4,而圆C的面积为10π,
∴所求概率为P==.
答案:D
6.函数f(x)=mcos x+nsin x(mn≠0)的一条对称轴方程为x=,则以a=(m,n)为方向向
量的直线的倾斜角为
A.45°
B.60°
C.120°
D.135°
解析:由题可得f()=f(),即m+n=n,所以=,直线的斜率k==,倾斜角α=60°.
答案:B
7.已知函数f(x)=-
,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数-
列,则实数a的取值范围是
A.(,1)
B.(,)
C.(,)
D.(,1)
解析:由已知可知1-2a<0,0<a<1,且a12=17-24a>a13=1,所以<a<.
答案:C
8.如图是一个几何体的三视图,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为
A.12π
B.8π
C.16π
D.8π
解析:由三视图可知,底面是一个等腰直角三角形,高为2的三棱锥,可求得球半径R=,表面积
S=12π.
答案:A
9.下列命题正确的是
A.p:∀x∈R,x+≥2,q:∃x∈R,x2+x+1≤0,p∨q是真命题
B.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos A<cos B”的充要条件
C.若p:对任意x∈R,都有x2-x+1>0,则p:对任意x∈R,都有x2-x+1≤0
D.不存在x∈R,使得sin x+cos x=成立
解析:对于A项,p假q假,p∨q为假,A错;对于B项,根据三角形大角对大边,所以
a>b⇔A>B⇔cos A<cos B,故B正确;对于C项,p:存在x∈R,使x2-x+1≤0,故C错;对于D项,sin x+cos x=sin(x+)∈[-,],而∈[-,],故D错.
答案:B
10.已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是
A.(-1,+∞)
B.(+1,+∞)
C.(1+,+∞)
D.(1,1+)
解析:由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,只要∠AF2B为钝角即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,解得e>1+,选C.
答案:C
11.已知a,b,c都为正数,且满足-,则的最大值为
A.16
B.17
C.18
D.19
解析:由题可得·-
,令x=,y=,问题转化为在
-
内,求目标函数
z=2x+y的最大值,作出x,y的可行域,可得当x=3,y=10时,z有最大值16.
答案:A
12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且F⊆G.若对任意的x∈F,都有f(x)=g(x),则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知f(x)=e x(x≥0)(e为自然对数的底数),若
g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数,则下列可作为g(x)的解析式的个数为
①y=ln|x|;②y=e|x|;③y=-ln|x|;④y=-;⑤y=-x2+1;⑥y=()|x|.
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:因为f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),由延拓函数定义可知,
(1)延拓函数g(x)的定义域包含了f(x)定义域,
①③两个函数的定义域都不含0,所以不符合;
(2)延拓函数g(x)的值域也包含f(x)的值域,故⑤⑥不符合,②④符合.所以选A.
答案:A
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.曲线y=ln x上的点到直线y=ex-2(e为自然对数底数)的最短距离为.
解析:作y=ex-2的平行线,使其与曲线y=ln x相切,则k=(ln x)'==e,得切点(,-1),所以切线方程为ex-y-2=0,即直线y=ex-2恰为切线,最短距离为0.
答案:0
14.-
-
=.
解析:原式=--
--
=
-
-
=
-
=.
答案:
15.阅读如图所示的程序框图,若输入的n是30,则输出的变量S的值是.
解析:框图运算结果为S=30+29+…+3+2=464.
答案:464
16.已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为.
解析:考虑2x2+m=ln|x|有四个不同的根,即两正、两负根,当x>0时,设函数h(x)=2x2-ln x+m,则h'(x)=4x-=-,
则h()=-ln+m<0,即m<ln-.
答案:(-∞,ln-)
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在等差数列{a n}中,a2+a3=-2,a4+a5+a6=12,S n为{a n}的前n项和.
(1)求通项a n及S n;
(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.
解析:(1)设数列{a n}的公差为d,
由题可得2a1+3d=-2,3a1+12d=12,解得a1=-4,d=2.
所以a n=2n-6,S n=--
·n=n2-5n.5分
(2)由(1)可知b n-a n=3n-1,所以b n=2n-6+3n-1,
T n=n2-5n+-
-
=n2-5n+-.10分
18.(本小题满分12分)
已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.·=m(m为正常数),∠BAC=θ,且a=2.
(1)若bc有最大值4,求m的值及θ的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求函数f(θ)=2cos2(θ+)+2sin2θ-的最大值及相应的θ的值.
解析:(1)由余弦定理可得
b2+c2-2bccosθ=4,即b2+c2-2m=4,又bc≤(b2+c2)=m+2=4,所以m=2.
所以有bccosθ=2,cosθ=≥,所以θ∈(0,].5分
(2)因为f(θ)=1+cos(2θ+)+(1-cos2θ)-
=-sin2θ-cos2θ+1=-2sin(2θ+)+1.
由(1)可知θ∈(0,],所以2θ+∈(,π],sin(2θ+)∈[0,1],故f(θ)max=1,此时θ=.12分19.(本小题满分12分)
某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数;
(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;
(3)若要从分数在[80,100]之间的所有试卷中抽样2份试卷来进行试卷分析,求这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的概率.
解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,全班人数为=25,所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.3分
(2)(法一)分数在[50,60)之间的总分为56+58=114,
分数在[60,70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456,
分数在[70,80)之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747,
分数在[80,90)之间的总分约为85×4=340,
分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193,
所以,该班的平均分数约为=74.6分
(法二)分数在[50,60)之间的频率为=0.08,
分数在[60,70)之间的频率为=0.28,
分数在[70,80)之间的频率为=0.40,
分数在[80,90)之间的频率为=0.16,
分数在[90,100]之间的频率为=0.08,
所以,该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8,6分
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016.8分
(3)分数在[80,90)之间的频数为4,分别设为a,b,c,d,分数在[90,100]之间的频数为2,分别设为A,B,要从分数在[80,100]之间的试卷中抽样2份试卷共有15种不同抽
法:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),其中这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的有8种,所求概率为.12分
20.(本小题满分12分)
如图,已知△PAD是边长为2的等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,其中四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,点M为PB中点,N点在PC上,且CN=3PN.
(1)求证:PB⊥面ADM;
(2)求三棱锥N—ADM的体积.
解析:(1)取AD中点为Q,连结PQ,BQ.由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三角形,所以有AD⊥PQ,AD⊥BQ,又PQ∩BQ=Q⇒AD⊥面PQB.
又PB⊂面PQB,∴PB⊥AD.
又PA=AB,PM=BM,所以有PB⊥AM,又AM∩AD=A,∴PB⊥面ADM.6分
(2)取PC中点为E,连结ME,则ME∥BC.
又BC∥AD,所以ME∥AD,故A,D,E,M四点共面,
又CN=3PN,所以N为PE中点,∴V N-ADM=V P-ADM=V M-PAD
=V B-PAD=×××4×=.12分
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=,x∈[0,2].
(1)求使方程f(x)-k=0(k∈R)存在两个不同实数解时k的取值范围;
(2)设函数g(x)=ln x+x2-2x-m(x∈[1,3]),若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[1,3],使f(x1)-g(x0)=0,求实数m的取值范围.
解析:(1)f'(x)=
-,所以f(x)在区间[0,1]上递增,在[1,2]递减.
且f(0)=0,f(1)=,f(2)=,所以≤k<.4分
(2)由(1)可知f(x1)∈[0,],要使f(x1)-g(x0)=0成立,则g(x0)的值必须包含[0,].
又g'(x)=+x-2=-=-
≥0,所以函数g(x)=ln x+x2-2x-m在上单调递增,g(1)=-
-m,g(3)=ln3--m,
由g(1)=--m≤0,g(3)=ln3--m≥,得-≤m≤ln3-.12分
22.(本小题满分12分)
已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4.
(1)求椭圆M的方程;
(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC 面积的最大值.
解析:(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4,所以2a+2c=6+4,又椭圆的离心率为,即=,所以c=a,
所以a=3,c=2,
所以b=1,椭圆M的方程为+y2=1.4分
(2)(法一)由(1)得,C(3,0),
不妨设BC的方程y=n(x-3)(n>0),
则AC的方程为y=-(x-3),
由-
得(+n2)x2-6n2x+9n2-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2=-,所以x
2
=-,同理可得x1=-,
所以|BC|=,|AC|=,
S△ABC=|BC||AC|=,
设t=n+≥2,则S==≤,当且仅当t=时取等号,
所以△ABC面积的最大值为.12分
(法二)显然直线l与x轴不平行,不妨设直线l的方程为x=ky+m,由消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有y1+y2=-,y1y2=
-,①
因为以AB为直径的圆过点C,所以·=0,
由=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),
得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0,
将x1=ky1+m,x2=ky2+m代入上式,
得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0,
将①代入上式,解得m=或m=3(舍),
所以m=,此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点,
所以S△ABC=|DC||y1-y2|=×-=-
,
设t=,0<t≤,
则S△ABC=-,
所以当t=∈(0,)时,S△ABC取得最大值.12分。