《基于MATLAB的高等数学问题求解》学习笔记

第六章：函数，极限与连续的MATLAB

1 映射与函数。

（1）集合（更多的是用于数组间的运算）：ismember（一个个元素判断是否是子集，返回一个数组）；intersect（求交集，返回结果数组）；setdiff(a,b)（求差集，属于a不属于b的数组）；union （求并集）。

（2）函数：定义方法：y=@(x)f(x)；syms x y=f(x)；y=sym(‘f(x)’);

求反函数：finverse(f,t)；求复合函数f(g(x))：y=compose(f,g)；

2 求极限。

（1）求数列极限：limit(xn, n, inf)；limit(xn, inf)。

（2）求函数极限：limit(fx, x, x0(, ‘left’) )；limit(fx, x, inf)。

3 函数的连续性与间断点。

（1）判断连续性的函数代码：P144。

（2）判断x0是否是函数f(x)的间断点的函数代码：（P146，文件夹MATLAB学习中的程序储存里）。

实际应用中，可以根据绘图来判定是否是间断点。

（3）求函数区间的方法：P215。

第七章：导数与微分的MATLAB求解

1 导数求解：

diff(fx,x,n)后面2个可以省略，则是求导函数；

隐函数的导数求解见P156的2个例子；稍微总结就是把y定义为y=sym(‘y(x)’)，然后定义隐函数的表达式为F=…，把表达式等号右侧置为0，左侧为F函数表达式，之后：diff(F,x)。

参数方程确定的函数的导数P157。

2 洛必达法则：P168.

3 泰勒公式：

P172.另外，MATLAB有taylor(fx,x,n,a)。MATLAB提供了泰勒级数逼近分析界面：taylortool，

4 函数的凹凸性与曲线的单调性：

求函数单调区间及各个区间单调性的判定：P175。

求凹凸性与拐点的程序：P179。

求方程实根从而可以进行一些特殊数值表达式的求解（比如（-8）

^(1/3)的求解）的函数代码：P176。

5 函数的极值与最值：

求极值点与极值：P182。MATLAB自带求极小值的函数：[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options,p1,p2,……)求在（x1，x2）范围内fun函数的极值，后面几项内容可以不填，那么输出的也只有前面两项了。余下的参数都是与优化有关的参数。在求极值的基础上可以进行最值的求取。

6 曲线的渐近线：

求曲线渐近线的代码：P186。

7 曲线的曲率：

求一般函数和由参数方程确定的函数的曲率的代码：curvature.m

绘制一般函数或者由参数方程决定的函数的渐屈线（曲率圆圆心形成坐标点形成的曲线）的代码：Evolute_Draw.m

8 求方程的近似解（待学习《数值分析》）：

（1）逐步扫描法求根所有可能存在的区间代码：RootInterval.m。（2）二分法在MATLAB上的实现：bisect.m。（EZPLOT即：Easy to use function plotter。它是一个易用的一元函数绘图函数。特别是在绘制含有符号变量的函数的图像时，ezplot要比plot更方便。因为plot绘制图形时要指定自变量的范围，而ezplot无

需数据准备[1]，直接绘出图形。）

（3）牛顿法及其在MATLAB上的实现：newton.m。

（4）MATLAB自带求解函数，求解一元函数的零点：[x, fval, exitflag, output]=fzero(fun, x0, options, p1, p2, ……)；

求fun函数的零点，x0是初始值，可以是标量也可以是长度为2的向量，options是设置的过程参数，p1，p2是附加参数，x 是返回的根，fval是根x处的目标函数值，exitflag表明解存在的情况。注：xlim的代指功能，可以直接代指上次使用的取值范围。

9 导数的数值求解（待学习《数值分析》）：

（1）插值型求导公式：polyfit函数：

Polyder函数：

k = polyder(p)返回多项式p的导数表达式的系数。

k = polyder(a,b)返回多项式a和b乘积的导数表达式系数。

[q,d] = polyder(b,a)返回多项式b/a的分子q和分母d。

求出插值函数并求在xi处n阶导的程序：poly_str.m。

（2）中心差分公式：仍用diff公式来求。自编函数：diff_ctr.m。

第八章：积分的MATLAB求解

1 不定积分与定积分求解与一部分应用：

（1）MATLAB：int(fx, x)。MATLAB自带求定积分函数：int(fx, x, a, b)。在[a，b]区间上的定积分。

（2）自编求解定积分的函数：int_geo.m。

（3）使用定积分求平面图形面积（平面坐标与极坐标）：

GraphicArea.m。

（4）求两个函数交点从而确定区间的方法：CrossPoint.m。

（5）求立体体积并绘制出来：SolidVolume.m（求立体体积，其中包含子函数DrawSolid用来绘制图形）。

（6）平面曲线弧长计算（由参数方程表示的函数曲线，在直角坐标与曲线坐标下实现）：ArcLength.m。

2 反常积分：

（1）积分区间涉及到无穷大的积分称为反常积分，可以收敛也可以发散：int(fx, x, -inf, a)；int(fx, x, a, inf)。

（2）无界函数（存在瑕点）的反常积分：任然使用int函数。

（3）Γ函数（意义以及用途？）求积分：gamma(x)，x为自变量的值，必须是实数。

3 积分的数值求解（待学习《数值分析》）：

（1）定积分的数值求解：a.插值型求积方法Newton-Cotes公式（存在原理上的不理解，待学习《数值分析》）：InterpolatoryQuad.m。

polyfit函数是matlab中用于进行曲线拟合的一个函数。其数

学基础是最小二乘法曲线拟合原理。曲线拟合：已知离散点上

的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其

图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值。调用方