北京市西城区35中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

北京市第三十五中学2016-2017年度第一学期 期中试卷
高一数学
I 卷
一、选择题（共 12个小题，每题 4分，共48分•每小题只有一个正确选项，请选择正确 答案填在机读卡相应的题号处）
1 设集合 U 止1,2,3,4
M ・1,2,3二 N =「2,3,4?，则 eJM^N ）二（ ）.
A •乩2?
B • [2,3?
C . 「2,4?
D . 3,4]
【答案】D
【解析】••• M n N =「2,3?,
••• e u （M PIN ）」1,4?，选择 D . 2.
下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是
（
）.
3. 三个数(0.3)2 , 20'3，log 2 0.3的大小顺序是(
A . (0.3)2 <20'3 dog 2 0.3
2
0 3
C . log 2 0.3 :： (0.3) ：：2.
【答案】C
【解析】••• 0 <(0.3)2 <1 , 203 20 =1 , log 20.3 ：：0 , •显然有 log 2 0.3 ：：：(0.3)2 ：：：20.3，选择 C .
1
4.
函数f （x ）二-X 的图象（ ）
.
)•
2
0 3
B . (0.3)2 ：：log 2 0.3 ：：2
【答案】C
【解析】•••函数中同一个向变量只能对应一个函数值,
C
x
A.关于原点对称
B.关于直线y = x对称
c .关于x 轴对称
D •关于y 轴对称
【答案】A
【解析】T f （x ）的定义域为（-：：,0） U （0，•：：），关于原点对称，
r
1
且 f （ -x ） =x
f （x ）, x
••• f （x ）为奇函数，关于原点对称，选择 A •
1
5.
36
_iog 2 6 2 的值是（
）•
49 g
2 A .
【答案】
【解析】
二 6 ‘
7
=1 .
•选择B .
6•下列函数中值域是（0,；）的是（
）.
x
L
2 A . y=2x1（x 0） B . y=3
C . y=x
D . y =-
x
【答案】B
【解析】••• A 的值域为（1,；） , C 的值域为R , D 的值域为（-匚：，0
）U （0, ■：，选择B .
y （枝）与时间t （月）的散点图，那么此种豆类生长枝
数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（
）.
012345 6 78 9101112131415161718
2
A . y =2t
B . y
C . -1
7.如图给出了某种豆类生长枝数
C . y =t 3
D .厂2七
•••原式
1
-iog 2(2巧
【答案】B
【解析】•••由图像知模型越来越平滑，
•••只有B 符合条件, •••选择B •
8已知函数f (x) =(x —a)(x —b)(其中a ::: b )，若f(x)的图象如图所示，贝U 函数g(x)=a x 的图像是(
)•
【答案】A
【解析】T 由图像易知： b ：：： -1 , 0 ::: a ：：：1;
• g(x) =a x b 为减函数，
9•函数f(x) -x 3 2x 1 一定存在零点的区间是(
)•
1 -1 2
,1
A
•
a 0,4
『1 1
B
• 4,2
C
【答案】 B
【解析】 ••• f (x) -x 3
2x -1在(0,；)上单调递增，
D • (1,2)
A
•
又••• x =0时，g(x)=1 b < 0，与y 轴加点在x 轴下方; •选择A •
以上集合均属于(0,=)，根据零点存在定理,
••• f(a) f(b) <0,
易知B 选项符合条件， •选择B •
10. 在R 上运算：x ：y=x(1—y)，若不等式(x —a) ： (x • a) ：：： 1对任意实数
x
成立，则(
【解析】不等式(x —a) ： (x • a) ：：:1化简为:
(x -a)(1 -x - a) ：：：1 ,
即：x 2 -x a - a 2 1 . 0对任意
x
成立，
2
••• 1 -(a -a 1) 4 <0 ,
解得—1 :：: a :::-，选择 B .
2 2
x
11.
函数f(x) , (a ・R )，若函数f(x)在(1,；)上为减函数，则实数 a 的取值范围是
x -a
( ).
A .(」：,1]
B .(一匚1)
C . (0,1]
D . (0,1)
【答案】C
x
【解析】••• f(x)二 - ，若f (x)在(1,；)上为减函数，
x —a
a 0
二 ,
x _a 0
••• 0 ::: a < 1，选择 C . 12.
如
图，函数f(x)的图象为折线ACB ，则不等式f(x) > log 2(x 1)的解集是(
).
A . lx | -1 ：： x < 0f
B . 1x| -1 w x w 1 / D . lx | —1 ：：x w 2;
【答案】B
【解析】作出函数 y =log 2(x 1)的图像：
A .
【答案】 3 1
a -
1 2
B
C . _1 ：：： a ：：：1
D . 0 ：：： a ：：： 2
).
C . lx | -1 ：：： x w 1 /
•••易知 f(x)与 y=log 2(x 1)相交于 P(1,1), •••由图可知解集为〔-
1,1
1,选择B .
二、填空题(共6个小题，每题4分，共24分•请将正确答案填在答题纸相应的题号处)
13•映射f : x 「匸，2的象为 _________________ ，2的原象为 ____________ •
【答案】,2 , 4
【解析】2的象为,2 , 2的原象为22 =4 •
14.已知关于x 的不等式-x 2亠ax 亠b 0 , (a,b 二R )的解集为A = | 一1 ：：： x ：：： 3,x
•- R J •则
a +
b = _________ •
【答案】5
【解析】易知 人=-1和x 2 =3是x 2 -ax -b =0的两个根，
x<^x 2 =a
•••根据韦达定理可知
-,
X t X 2 _ -b
a - -1 3 =2 ,
b - -x^ T 3 =3 ,
二 a b =5 •
ig(-x),(xc0)
15.函数f(x)二 1
的零点为 ____________ ，单调减区间为
x +_,(x >0) L x
【答案】, (-：：,0)和(0,1)
【解析I ： lg (冈=0时，x =-1，合题,
••零点为x =1 •
1 f 1 t
T f (X )二X 时，f (x) =1
2 ,
x =1 时 f (x) =0 ,
x
x
•••当0 <x .1时，f (x) ：：：0 , f (x)为单调减函数, 又T f(x0=lg(-x)在(-：：,0)上为单调减函数， 综上所述：f (x)在(-二,0)和(0,1)上为单调减函数
.
当x 0时,
16•函数f(x)=log2X在区间12,2a ］上的最大值与最小值之差为-，则a =
2
【答案】..2
【解析】••• f(x) =log2X在区间2,2 a I上为单调增函数,
由题可得：
1 Iog2（2a） _log
2 2 二
/• lOg2
1
17. 函数f(x)= 的定义域为全体实数，则实数__ a的取值范围为
ax +2ax +3
【答案】[0,3)
1
【解析】①a =0时，f(x)=-，符合条件；
3
②••• a 0时，等价于ax2 2ax 3 0恒成立，•—：：0 ,
二有4a2 -12a ：：：0 ,解得0：：：a ：：：3;
③••• a <0 时，等价于ax2 2ax 3 ：：：0 恒成立,：：0 ,
••有4a2 -12a ：：：0 ,无解，故不符合条件.
综上所述a的取值范围为[0,3).
18. 对于函数f(X)，若f(X。

)=x)，则称x0为f (x)的不动点”若f〔f(X0)]=X°，则称X。

为f(x)的稳定点”函数f (x)的不动点”和稳定点”的集合分别记为A和B，即
A = {x|f(x)=x},
B ={x | f [f (x) ]=x}.
(1 )设函数f(x)=3x+4，则集合A=________________ , B= ____________ .
(2) A __________ B •(用=二，二填空)
【答案】(1)1②,；、-2? ； ( 2 )
【解析】(1) 3x二x，解得x—2 ,
3 (3x 4) ^x，解得x =-2 ,
••• B - —2?.
(2 )若A 」，显然A B成立；若A -仓，设t A,
则f(t)二t, f f (t) I - f(t) =t ,
• t B ,
••• A - B .
三、解答题(共3个小题，共28分•请将正确答案填在答题纸相应的题号处)
19. ( 8 分)已知集合A = 'x|x2 -4x • 3 ：：：0』，集合BJ.x|x2'.
(1 )化简集合A并求AP1B , A U B .
(2)若全集U =R，求B PI GA).
【答案】见解析
【解析】(1)：A=：x|x2-4x 3：：0』,
A =：x 卩：：：x :：: 3 },
•/ B =「x|x .2?,
••• AflB J x|2 ：：：x ：：：3?, A U B・]X|X 1,.
(2 )T e u A ={ x |x w 1 或x > 3},
BD(eu A) = \x| x > 3}.
1
20. ( 0分)已知函数f(x) =1 —r .
x
(I)证明函数f(x)为偶函数.
(n)用函数的单调性定义证明f(x)在(0,；)上为增函数.
【答案】见解析
【解析】(I)：f(x)定义域为(-：：,0)U(0,；)，关于原点对称,
1 1
又••• f (_x) =1 2 =1 2 二f(x),
(—x) x
•f (x)为偶函数.
(n)证明：取人,冷•(0,；)，且人x?,
1 1
f(为)-f(X2)巳--2
X2 X1
(为X2)(X1「X2) c
2―2••严0 .
X1 X2 ••• f (x)
在(0,：：)上
为增函数.
2
21. ( 0 分)函数f(x) =x -2x .
(I)若x • 0,3 ],求函数f (x)的最小值和最大值.
(n)讨论方程f(x)二m, (m R)的根的情况(只需写出结果) (川)当t,t 3 ],「R时，求函数f (x)的最小值. 【答案】见解析
2
【解析】(I)T f(x) =x -2x，关于X =1对称，开口向上，
•f ma! = f ⑶=9 一6 =3 , f nS n f (1)=1-2=「1 .
(n)作出| f(x)|的图像如图：易得当m：：：0时，方程无根；当m =0时，方程有两个根；当0 ::
m ：:: 1时，方程有四个根；当m =1时，方程有三个根；当m 1时，方程有两个根.
(川)当t < K t 3 时，f(X)min 二f(1)=—1，此时-2 < t < 1 ,
当t > 1 时，fmS = f (t)二『-2t ；
当t +3 < 1 时，即t < -2 时，梯讣=f (t +3) =t2 +4t +3 .
n卷
一、填空题(共5个小题，每题4分，共20分，请将正确答案填写在答题纸相应题号处)
©x X < 1
22. 已知函数f(x)=§ ' 若f(a)=2，则a= _____________________ .
严XA1,
【答案】lOg32
【解析】••• 3a=2时，a=log32：：：1，符合题意；
又••• £=2时，a - -2 ：：：1，不合题，舍去；
a =log 32.
23. ___________________________________________________________________________ 已知函数f(x) =3x2—mx+1在(-^,-2］上递减，在［-2,畑)上递增，则m= ____________________________ 【答案】-12
【解析】已知f(x)等于x 』对称，
6
m =—12 .
24. ____________________________________________________ 若函数符合条件f(x)f (y^f(x y)，贝卩f (x)二___________________________________________________ (写出一个即可).
【答案】2x
【解析】易知2x2y =2xy,
• - f(x) =2x符合条件.
25. 设f (x)是定义在R上的奇函数，若f (x)在(0,；)上是减函数，且2是函数f(x)的一个
零点，则满足xf(x)>0的x的取值范围是_________________ .
【答案】(-2,0)U(0,2)
【解析】T x 0时，f(x) 0时xf (x) 0成立，
又••• f(x)在(0,；)上是减函数，f( 2)=0 ,
0 ：：x ：：2 ,
又••• x <0时，f(-2) =-f(2) =0, f (x)在(-：：,0)上单调减，•- -2 ：：x ：：0.
综上所述X. (_2,0儿(0,2) •
26. 已知集合U “1,2,
川,n], n・N*，设集合A同时满足下列三个条件：
① A U ；
②若x三A，则2x A ；
③若x • e u A，贝y 2x -e u A .
(1 )当n =4时，一个满足条件的集合A是_________________ .(写出一个即可)
(2 )当n =7时，满足条件的集合A的个数为_________________ .
【答案】(1) ；2 :或认，或「2,3?或「1,3,4：；( 2 ) 16
【解析】(1)易知n=4时，U二1,2,3,4匕
由条件易知：当1 -A，则2，A,
••• 2€e u A，贝y 4更e u A ,
即4 A，元素3与集合的关系无法确定.
故A =
：1,4』，或A = !1,3,4 I ,
当2 A，则4 A , VA，但元素3与集合关系无法确定，
故A」2?，或A」.2,3?.
(2 ) n =7 时，U - \1,2,3,4,5,6,7 /,
由条件易知1 , 4必需属于A，此时2属于A的补集；
或1 , 4必须同时属于e u A，此时2属于A ;
3属于A时，e u A；
3属于e u A时，6 A ;
而元素5 , 7没有限制，故满足条件的集合A共有24 =16个.
二、解答题(共3个小题，共30分•请将正确答案填在答题纸相应的题号处)
27. (满分10分)设函数f(x)=a X十—2 ( a》0，且aH1)，若y = f(x)的图象过点(1,7). (1 )求a的值及y = f(X)的零点.
5
(2 )求不等式f (x) > —的解集.
【答案】见解析
【解析】(1)v f(x)经过点(1,7), 即f(1) =a2 -2 =7 ,
又••• a 0 ,
•a =3,
•f(x) =3x 1 -2 =0 时，
(2 )••• f(x) > -5 即 3x ^-2 > -5 ,
3 3
--3 > 3_,
••• x 1> -1,
••• x> -2 ,
•不等式解集为［-2,；).
28. (满分10分)
已知函数f(x)二X (x ・a)(a ・R )的奇函数.
(I)求a 的值.
(H)设b 0，若函数f (x)在区间〔』,b 上最大值与最小值的差为 b ，求b 的值.
【答案】见解析
【解析】(I)： f(x)为奇函数，
• f( —x) =| -x| (a —x) =-f(x) =-|x| (x a),
…a =0 .
I x 2,x > 0
(n)： f(x )二 2 门，
—X ,X £0
• f(x)在R 上为单调增函数，又：
b 0 , • f(b) -f (-b) =b ,
• - 2 f (b) =b ，即 2b 2
=b , 1 --b =—. 2
29. (1分)设f (x)是定义在〔-1,11上的奇函数，且f(1)=1，若a , b ：=「1,1], a 5 = 0有 丄亠0恒成立.
a b
(I)求证：函数 f(x)在1-1,11上是增函数.
(n)解不等式 f(2x 2 -3x) ：：0 .
(川)若f(x) < m 2-2am 1，对所有的〔-1,11, a 1-1,1成立，求m 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(I)证明：任取 为,X 2打1,11,且X 1：：X ,
：f(x)是奇函数，
则有 f (X 1)- f (X 2)=f (xj f(-X 2)
x 1 -^x 2 :: 0 , f(X ,) -f (X 2) ：：0 .
f(X 1)f(-X 2)
X 1 (-X 2)
(x —X 2), f(a) f(b)
a b
•0,即 f (xj f (-X 2) X 1 (-X 2)
则f(x)在1-1,1 ］上是增函数.
(□)••• f(x)定义域关于原点对称的奇函数，••• f(0) =0.
又•/ f(x)在1-1,1上单调增,
1-1 < 2x -3x w 1
•••有 2 ,
2x _3x ：：：0
1 3
解得0 :: x w 或1 w X .
2 2
不等式的解集为0,2 u 1,| . (川)••• f (x)是I-1,11上的增函数，
• f max 二f⑴ i,
二m2—2am T》1对于所有x・丨-1
,
11, a I-1,1恒成立，
即m2 -2am》0恒成立，
- ~ F <*■
①当m=0时，0 > 0成立，垃.$ d \：~V_
②m=0时，令g(a)--2ma，m2, g(a)是关于a I-1,11的一次函数,
!g(1)= _2m +m2> 0
仅需 2 ,
、g(_1)=2m +m > 0
解得m w -2或m > 2或m=0 ,
综上所述m=0 ,或m w -2或m\ 2 .
选做.(满分10分，但总分不超过150分)
般地，我们把函数h(x) =a n x n•缶丄x n」Jl| *低工(N)称为多项式函数，其中系数a。

, a1, , a「R .
设f(x) , g(x)为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f lg(x^=g lf(x) 1恒成立.
(I)若f (x) =x2 3 , g(x)二kx b(k =0).
①求g(x)的表达式.
②解不等式f (x)「g(x) • 5 .
(H)若方程f(x)二g(x)无实数解，证明方程 f [f (x).l-g〔g(x)]也无实数解.
【答案】见解析
【解析】(I)①••• f Lg(x^-g lf(x)],
即有(kx b)2 3=k2x2 2kbx b2 3 =k(x2 3) b ,
即有k2x2 2kbx b2 3 二kx2 3k b ,
k =k2
2kb =0
2
b 3 =3k b
k
b =0
g(x) =x .
② f(x) -g(x) 5，即x^x 3 5 , 解得x 2或x ：：： _1 .
(n)反证法：设F (x)二f (x)「g (x), 则F [f (x) ] = f [f (x) ] - g If (x)], F lg(x^ - f [g(x) ]_g lg(x)], 若结论成立，则F [f(x)l：：；F [g(x)]-0 , 即F If (x) ] - _F lg(x)]，
说明存在一点a介于f (x)与g(x)之间，
满足F (a) =0 .
•/ f(x) =g(x)无实数解，则F(x) =0永远不成立, •••假设不成立，
.原命题成立.。