工程力学——圆轴的扭转
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M=0 M1-M2+Mn2=0
Mn2=M2-M1=60-110=-50N·m
图9.5
第9章 圆轴的扭转
(3) 求 3-3 截面上的内力 同理，以左边为研究对象，可得 3-3 截面上的内力为
M=0 M1-M2-M3+Mn3=0
Mn3=M2+M3-M1=60+20-110=-30 N·m 由扭矩的计算结果可得： (1) 扭矩的大小等于所研究部分所有外力偶矩的代数和，
(1) 先确定扭转 Mn 向。 (2) τ 矢量线与半径垂直。
(3) τ 指向与扭矩转向相同。
由 应 力 分布 图可 看 出， 在 圆截 面 的边 缘 上， 即 当
ρ=ρmax=R 时 ， τ=τmax ， 由 此 可 得 最大 切 应力 公 式 为
τma x=
Mn • Ip
R
式中，R
与
I
都是与截面尺寸有关的几何量，
第9章 圆轴的扭转
9.1.2 外力偶矩的计算
在工程实际中，一般不直接给出作用于轴上的外力偶
矩，而是根据所给定轴的传递功率和轴的转速，通过公式
计算，其计算公式为
M=9550 P
(9-1)
n
式中 M——外力偶矩，单位是 N·m；
P——轴传递的功率，单位是千瓦(kW)；
n——轴的转速，单位是每分钟转(r/min)。
AB 段：Mn1=-MA=-1910N·m BC 段：Mn2=-MA+MB=-955N·m CD 段：Mn3=-MD=-477.5N·m
第9章 圆轴的扭转
(3) 画扭矩图，如图 9.6(b)所示。由图可知，最大 扭矩(绝对值)发生在 AB 段，其值为
M n max =1910N·m (4) 讨论。若将轮 A 放在中间(见图 9.6(c))，再作 出扭矩图(见图 9.6(d))，则最大扭矩发生在 BA、AC 两段：
图9.4
第9章 圆轴的扭转
解：(1) 求1-1截面的内力
如图 9.5(a),9.5(b)所示。扭矩的大小可以用静力平衡方
程求得 M=0 M1+Mn1=0
Mn1=-M1=-110 N·m (2) 求 2-2 截面的内力 根据上边所用的方法，取左
边为研究对象(见图 9.4(c))， 可得 2-2 截面上的内力为
第9章 圆轴的扭转
其计算公式为
ρ
Mn •
Ip
(9-2)
式中 ρ ——横截面上任意一点的切应力；
Mn——横截面上的扭矩；
——所求应力点到圆心的距离；
Ip ——横截面对圆心的极惯性矩，它表示截面
的几何性质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何
量，反映了截面的抗扭能力，常用单位有 m4、mm4。
第9章 圆轴的扭转
令 Wn= Ip R
则有
τma x=
Mn Wn
(9-3)
图9.1
图9.2
第9章 圆轴的扭转
由此可看出，杆件产生扭转变形的受力特点是：在 杆件的两端受到大小相等、转向相反、作用面垂直于杆 的轴线的一对力偶作用。其变形特点是：各横截面绕杆 件轴线发生相对转动。我们称这种变形为扭转变形。杆 件任意两横截面相对转过的角度称为扭转角，用表示， 如图9.3所示。
图9.3
图9.6
第9章 圆轴的扭转
解：(1) 计算外力偶矩，由公式(9-1)得
MA=9550 PA 9550 40 1910 N·m
n
200
MB=9550 PB 9550 20 955 N·m
n
200
MC=MD=9550 PC 9550 10 477.5 N·m
n
200
(2) 计算各段截面扭矩值
即 Mn= Mi。
(2) 外力偶矩的正负号规定仍用右手螺旋法则：用右手 四指弯向表示外力偶矩的转向，大拇指的指向背离所求截面 时，外力偶矩规定为正，反之为负。与扭矩规定的正负相反。
第9章 圆轴的扭转
二、扭矩图 例9-1 传动轴如图9.6(a)所示，主动轮A输入功率 PA=40kW，从动轮B，C，D输出功率分别为PB=20kW， PC=PD=10kW，轴的转速n=200r/min。试绘制该轴的扭矩 图。
在确定外力偶转向时，输入与输出的转向恒相反。
Βιβλιοθήκη Baidu
第9章 圆轴的扭转
9.2 圆轴扭转时横截面上的内力
一、内力—扭矩 如图 9.4(a)所示，四 个皮带轮上分别作用主动 力偶矩M1=110N·m和从 动力偶矩M2=60N·m， M3=20 N·m，M4=30 N·m。求1-1、2-2、3-3 截面上的内力。
第9章 圆轴的扭转
第9章 圆轴的扭转
9.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 9.2 圆轴扭转时横截面上的内力 9.3 圆轴扭转时横截面上的应力 9.4 圆轴扭转时的强度计算 9.5 圆轴扭转时的变形 9.6 圆轴扭转时的刚度计算
第9章 圆轴的扭转
9.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
9.1.1 扭转的概念
由式(9-2)可看出，当横截面一定时，Mn、I p 为常量，
所以切应力的大小与所求点到圆心的距离成正比，即呈线 性分布。切应力的方向与横截面扭矩的转向一致，切应力 的作用线与半径垂直，切应力在横截面上的分布规律，如 图9.8所示。
图9.8
第9章 圆轴的扭转
圆轴扭转时，图示横截面切应力时，步骤如下：
M n max =955N·m 由计算结果看出，图 9.6(c)所示轮子分布比较合理。
第9章 圆轴的扭转
9.3 圆轴扭转时横截面上的应力
一、平面假设 取一等截面圆轴，在其表面上画两条圆周线和两条与 轴线平行的纵向线(见图9.7)。然后在其圆轴两端分别作用 一外力偶矩M，使圆轴产生扭转变形。观察其现象发现： (1) 圆周线的形状、大小以及两圆周间的距离均保持 不变，但绕轴线发生了相对的转动。 (2) 纵向线近似为直线，只是倾斜了同一角度γ，原来 的小矩形变成了平行四边形。
图9.7
第9章 圆轴的扭转
由上述变形现象可看出，圆轴扭转时，各横截面像刚 性圆盘一样绕轴线发生不同角度的转动，由此得出平面假 设：圆轴扭转前的横截面变形后仍保持为平面，且形状与 大小及间距不变，仅横截面之间绕轴线发生相对转动。
二、圆轴扭抟时横截面上的应力 由前所研究得，由于横截面间的距离不变，Δl=0， ε=0，所以横截面上没有正应力。由于横截面间产生绕轴 线的相对转动，使小矩形沿圆周方向的两侧面发生相对错 动，出现了剪切变形，故横截面上必有切应力存在；又因 圆截面半径长度不变，切应力方向必与半径垂直。
Mn2=M2-M1=60-110=-50N·m
图9.5
第9章 圆轴的扭转
(3) 求 3-3 截面上的内力 同理，以左边为研究对象，可得 3-3 截面上的内力为
M=0 M1-M2-M3+Mn3=0
Mn3=M2+M3-M1=60+20-110=-30 N·m 由扭矩的计算结果可得： (1) 扭矩的大小等于所研究部分所有外力偶矩的代数和，
(1) 先确定扭转 Mn 向。 (2) τ 矢量线与半径垂直。
(3) τ 指向与扭矩转向相同。
由 应 力 分布 图可 看 出， 在 圆截 面 的边 缘 上， 即 当
ρ=ρmax=R 时 ， τ=τmax ， 由 此 可 得 最大 切 应力 公 式 为
τma x=
Mn • Ip
R
式中，R
与
I
都是与截面尺寸有关的几何量，
第9章 圆轴的扭转
9.1.2 外力偶矩的计算
在工程实际中，一般不直接给出作用于轴上的外力偶
矩，而是根据所给定轴的传递功率和轴的转速，通过公式
计算，其计算公式为
M=9550 P
(9-1)
n
式中 M——外力偶矩，单位是 N·m；
P——轴传递的功率，单位是千瓦(kW)；
n——轴的转速，单位是每分钟转(r/min)。
AB 段：Mn1=-MA=-1910N·m BC 段：Mn2=-MA+MB=-955N·m CD 段：Mn3=-MD=-477.5N·m
第9章 圆轴的扭转
(3) 画扭矩图，如图 9.6(b)所示。由图可知，最大 扭矩(绝对值)发生在 AB 段，其值为
M n max =1910N·m (4) 讨论。若将轮 A 放在中间(见图 9.6(c))，再作 出扭矩图(见图 9.6(d))，则最大扭矩发生在 BA、AC 两段：
图9.4
第9章 圆轴的扭转
解：(1) 求1-1截面的内力
如图 9.5(a),9.5(b)所示。扭矩的大小可以用静力平衡方
程求得 M=0 M1+Mn1=0
Mn1=-M1=-110 N·m (2) 求 2-2 截面的内力 根据上边所用的方法，取左
边为研究对象(见图 9.4(c))， 可得 2-2 截面上的内力为
第9章 圆轴的扭转
其计算公式为
ρ
Mn •
Ip
(9-2)
式中 ρ ——横截面上任意一点的切应力；
Mn——横截面上的扭矩；
——所求应力点到圆心的距离；
Ip ——横截面对圆心的极惯性矩，它表示截面
的几何性质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何
量，反映了截面的抗扭能力，常用单位有 m4、mm4。
第9章 圆轴的扭转
令 Wn= Ip R
则有
τma x=
Mn Wn
(9-3)
图9.1
图9.2
第9章 圆轴的扭转
由此可看出，杆件产生扭转变形的受力特点是：在 杆件的两端受到大小相等、转向相反、作用面垂直于杆 的轴线的一对力偶作用。其变形特点是：各横截面绕杆 件轴线发生相对转动。我们称这种变形为扭转变形。杆 件任意两横截面相对转过的角度称为扭转角，用表示， 如图9.3所示。
图9.3
图9.6
第9章 圆轴的扭转
解：(1) 计算外力偶矩，由公式(9-1)得
MA=9550 PA 9550 40 1910 N·m
n
200
MB=9550 PB 9550 20 955 N·m
n
200
MC=MD=9550 PC 9550 10 477.5 N·m
n
200
(2) 计算各段截面扭矩值
即 Mn= Mi。
(2) 外力偶矩的正负号规定仍用右手螺旋法则：用右手 四指弯向表示外力偶矩的转向，大拇指的指向背离所求截面 时，外力偶矩规定为正，反之为负。与扭矩规定的正负相反。
第9章 圆轴的扭转
二、扭矩图 例9-1 传动轴如图9.6(a)所示，主动轮A输入功率 PA=40kW，从动轮B，C，D输出功率分别为PB=20kW， PC=PD=10kW，轴的转速n=200r/min。试绘制该轴的扭矩 图。
在确定外力偶转向时，输入与输出的转向恒相反。
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第9章 圆轴的扭转
9.2 圆轴扭转时横截面上的内力
一、内力—扭矩 如图 9.4(a)所示，四 个皮带轮上分别作用主动 力偶矩M1=110N·m和从 动力偶矩M2=60N·m， M3=20 N·m，M4=30 N·m。求1-1、2-2、3-3 截面上的内力。
第9章 圆轴的扭转
第9章 圆轴的扭转
9.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 9.2 圆轴扭转时横截面上的内力 9.3 圆轴扭转时横截面上的应力 9.4 圆轴扭转时的强度计算 9.5 圆轴扭转时的变形 9.6 圆轴扭转时的刚度计算
第9章 圆轴的扭转
9.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
9.1.1 扭转的概念
由式(9-2)可看出，当横截面一定时，Mn、I p 为常量，
所以切应力的大小与所求点到圆心的距离成正比，即呈线 性分布。切应力的方向与横截面扭矩的转向一致，切应力 的作用线与半径垂直，切应力在横截面上的分布规律，如 图9.8所示。
图9.8
第9章 圆轴的扭转
圆轴扭转时，图示横截面切应力时，步骤如下：
M n max =955N·m 由计算结果看出，图 9.6(c)所示轮子分布比较合理。
第9章 圆轴的扭转
9.3 圆轴扭转时横截面上的应力
一、平面假设 取一等截面圆轴，在其表面上画两条圆周线和两条与 轴线平行的纵向线(见图9.7)。然后在其圆轴两端分别作用 一外力偶矩M，使圆轴产生扭转变形。观察其现象发现： (1) 圆周线的形状、大小以及两圆周间的距离均保持 不变，但绕轴线发生了相对的转动。 (2) 纵向线近似为直线，只是倾斜了同一角度γ，原来 的小矩形变成了平行四边形。
图9.7
第9章 圆轴的扭转
由上述变形现象可看出，圆轴扭转时，各横截面像刚 性圆盘一样绕轴线发生不同角度的转动，由此得出平面假 设：圆轴扭转前的横截面变形后仍保持为平面，且形状与 大小及间距不变，仅横截面之间绕轴线发生相对转动。
二、圆轴扭抟时横截面上的应力 由前所研究得，由于横截面间的距离不变，Δl=0， ε=0，所以横截面上没有正应力。由于横截面间产生绕轴 线的相对转动，使小矩形沿圆周方向的两侧面发生相对错 动，出现了剪切变形，故横截面上必有切应力存在；又因 圆截面半径长度不变，切应力方向必与半径垂直。