点到直线距离公式
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d C1 C2 . A2 B2
例题分析
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求
AB的C 面积
解 : 如图, 设AB边上的高为h, 则
SABC
1 2
|
AB | h
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
y
A
h
AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为
O
B
x
y-3 x 1 1-3 31
求出 | P0R |
y S
求出 | P0S |
利用勾股定理求出 | RS |
面积法求出 | P0Q |
O
Q
R
l
x
点到直线距离公式
y
S
x0,
Ax0 B
C
Q l : Ax By C 0
y0 O
d P0 (x0,y0) x0
R
By0 A
C
,
y0
x
1
2 | P0S || P0R |
1 d | SR | 2
点到直线距离公式
点 P0 x0 , y0 到直线 l : Ax By C 0 的距离
：
yl
Q
O
x
注意： 化为一般式．
例1 求点P(-1,2)到直线
①2x+y-10=0； ②3x=2 的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2)
d 2 (1) 5
3
3
O
x 思考：还有其他解法吗？ l:3x=2
练习1
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离. 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是. 5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
P0 x0 ,
y0
P到l1的距离等于l1与l2的距离
d | Ax0 By0 C1 | A2 B2
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
l1:2x-7y+8=0
O
l2: P(l2上任取一点，例如P(3,0)
2
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
3、求直线2x+11y+16=0关于点P（0,1）对称 的直线方程.
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
d Ax0 By0 C A2 B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立. 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
l1:2x-7y+8=0
O
l2:
2x-7y-6=0 x
d
8-(-6)
14 14 53
22 (7)2
53 53
练习2
1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______ 2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____.
练习3
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
O
x0
x1
x
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间
的公垂线段的长.
y
P l1
两条平行线
l2
l1:Ax+By+C1=0与 l2:Ax+By+C2=0
Q
o
x
的距离是？
两平行线间的
y
距离处处相等
l1:Ax+By+C1=0
l2:Ax+By+C2=0
O
P0 x0 , y0 x
在l2上任取一点，例如
思路一：直接法
y Q
思路简单 运算繁琐
直线 l 的方程 直线 l 的斜率
l
l P0Q
O
x
点P0的坐标 直线P0Q的斜率
直线 l 的方程 直线P0Q的方程
交点
点P0的坐标
点Q 的坐标
两点间距离公式
点P0、Q 之间的距离 P0Q（ P0 到l 的距离）
点到直线的距离
思路二：间接法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
垂线段
P0Q的长度，y 其中
Q是垂足． l
Q
O
x
点到直线距离公式
y y0
O
|x0|
P0 (x0,y0)
|y0|
x0
x
点到直线距离公式
y
|y1-y0|
y y1
y1
|x1-x0|
y0 O
P0 (x0,y0)
x x1
x0
x1
x
点到直线的距离
试一试，你能求出 P0Q 吗？ yl
Q
O
x
点到直线的距离
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
y P
l1
任意两条平行直线都 可以写成如下形式：
l2 l1 :Ax+By+C1=0
OQ x
l2 :Ax+By+C2=0
两条平行直线间的距离：
d C1 - C2 A2 B2
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
即x y 4 0
h | 1 0 4 | 5
12 12
2
因此, SABC
12 2
2
5 5 2
小结
• 1.点到直线距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B2
注意： 化为一般式．
▪ 2.特殊情况
y
y y1 y1
x x1
|y1-y0|
y0 P0 (x0,y0)
|x1-x0|
点到直线的距离
复习回顾
两点间的距离公式是什么？
已知点 P1x1, y1 ，P2 x2, y2 ，则 P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
y
O
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
例题分析
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求
AB的C 面积
解 : 如图, 设AB边上的高为h, 则
SABC
1 2
|
AB | h
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
y
A
h
AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为
O
B
x
y-3 x 1 1-3 31
求出 | P0R |
y S
求出 | P0S |
利用勾股定理求出 | RS |
面积法求出 | P0Q |
O
Q
R
l
x
点到直线距离公式
y
S
x0,
Ax0 B
C
Q l : Ax By C 0
y0 O
d P0 (x0,y0) x0
R
By0 A
C
,
y0
x
1
2 | P0S || P0R |
1 d | SR | 2
点到直线距离公式
点 P0 x0 , y0 到直线 l : Ax By C 0 的距离
：
yl
Q
O
x
注意： 化为一般式．
例1 求点P(-1,2)到直线
①2x+y-10=0； ②3x=2 的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2)
d 2 (1) 5
3
3
O
x 思考：还有其他解法吗？ l:3x=2
练习1
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离. 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是. 5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
P0 x0 ,
y0
P到l1的距离等于l1与l2的距离
d | Ax0 By0 C1 | A2 B2
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
l1:2x-7y+8=0
O
l2: P(l2上任取一点，例如P(3,0)
2
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
3、求直线2x+11y+16=0关于点P（0,1）对称 的直线方程.
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
d Ax0 By0 C A2 B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立. 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
l1:2x-7y+8=0
O
l2:
2x-7y-6=0 x
d
8-(-6)
14 14 53
22 (7)2
53 53
练习2
1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______ 2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____.
练习3
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
O
x0
x1
x
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间
的公垂线段的长.
y
P l1
两条平行线
l2
l1:Ax+By+C1=0与 l2:Ax+By+C2=0
Q
o
x
的距离是？
两平行线间的
y
距离处处相等
l1:Ax+By+C1=0
l2:Ax+By+C2=0
O
P0 x0 , y0 x
在l2上任取一点，例如
思路一：直接法
y Q
思路简单 运算繁琐
直线 l 的方程 直线 l 的斜率
l
l P0Q
O
x
点P0的坐标 直线P0Q的斜率
直线 l 的方程 直线P0Q的方程
交点
点P0的坐标
点Q 的坐标
两点间距离公式
点P0、Q 之间的距离 P0Q（ P0 到l 的距离）
点到直线的距离
思路二：间接法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
垂线段
P0Q的长度，y 其中
Q是垂足． l
Q
O
x
点到直线距离公式
y y0
O
|x0|
P0 (x0,y0)
|y0|
x0
x
点到直线距离公式
y
|y1-y0|
y y1
y1
|x1-x0|
y0 O
P0 (x0,y0)
x x1
x0
x1
x
点到直线的距离
试一试，你能求出 P0Q 吗？ yl
Q
O
x
点到直线的距离
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
y P
l1
任意两条平行直线都 可以写成如下形式：
l2 l1 :Ax+By+C1=0
OQ x
l2 :Ax+By+C2=0
两条平行直线间的距离：
d C1 - C2 A2 B2
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
即x y 4 0
h | 1 0 4 | 5
12 12
2
因此, SABC
12 2
2
5 5 2
小结
• 1.点到直线距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B2
注意： 化为一般式．
▪ 2.特殊情况
y
y y1 y1
x x1
|y1-y0|
y0 P0 (x0,y0)
|x1-x0|
点到直线的距离
复习回顾
两点间的距离公式是什么？
已知点 P1x1, y1 ，P2 x2, y2 ，则 P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
y
O
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的