第九章 线性电路动态过程的时域分析
自动控制原理课件:线性系统的动态时域分析

22
q
r
c(t) 1
Aie pit
D e knkt k
cos (nk t
1
2 k
1.过阻尼(>1) 的情况
闭环极点为 s1 ( 2 1)n
s2 ( 2 1)n
单位阶跃响应
C(s)
n2
R(s)
n2
1 a b c
s2 2ns n2
(s s1)(s s2 ) s s s s1 s s2
c(t) 1 bes1t ces2t t 0
2.欠阻尼( 0 1 )的情况
1
exp(nt 1 2
)
sin(n
1 2t arctan
1 2
)
将 t tp 代入上式,便得
M p e 1 2 100%
0
tr tp
ts
t
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
M p
0,M p 100% 1,M p 0
18
例4.1 已知二阶系统的单位阶跃响应如下图,其中最大超调量 M p 9.6% 、调整时间 ts 0.2 ,试求取系统的闭环传递函数。
系统的传递函数为 系统的输出响应为
C(s) 1
R(s) s 1
C(s) 1 R(s)
s 1
1.单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 s(s 1) s s 1
c(t)
1
t
e
,t
0
一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线.
电工基础第九章《线性电路过渡过程的时域分析》课件

V
IS IS iL (0 ) 20 mA
V 20103 500103 10000 V
注意:实际使用中要加保护措施
例3
2
K
R
1 2k +
E _
6V
R1 R2 2k 1k
已知: K 在“1”处停留已久,在t=0时合向
“2” 求:
i、i1、i2、uC、uL
的初始值,即 t=(0+)时刻的值。
解:
R'C
RC 电路 的计算举例
t=0 R1
+
E
-
R2
C
R' R1 // R2
+
- Ed
C
R'C
(2) 对于只含一个 L 的电路,将 L 以外的电 路,视
为有源二端网络,然后求其等效内阻 R'。则:
L
R
R、L 电路 的求解
K t =0 R
+
uR iL
_E
uL L
uL uR E
L
diL dt
大小为:
WC
t uidt 1 Cu2
0
2
因为能量的存储和释放需要一个过程,所以有电 容的电路存在过渡过程。
电感电路
KR
储能元件
+ t=0
E _
iL
iL
t
电感为储能元件,它储存的能量为磁场能量,
其大小为:
WL
t uidt 1 Li2
0
2
因为能量的存储和释放需要一个过程,所以有电 感的电路存在过渡过程。
R2
2A
uL
t=0+时等 效电路
uL (0 ) iL (0 )[R1 // R2 R3] 4V
第九章动态电路的时域分析

§9-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应
动态元件初始能量为零,由t>0电路中外
加激励作用所产生的响应。
1.RC电路的零状态响应
RC电路的零状态响应如图所示,分析过程如下:
t <0时,开关闭合,电容 通过R放电完毕 t =0时,打开开关 t ≥0时,电流源与RC电 路接通
电路的微分方程为
Cdduct
图9-1
电感支路的灯泡由暗逐渐变亮达到稳定。
电容支路的灯泡由立即发亮但很快变为不亮。 过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L、C,电路在换路时能量发生变
化,而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
换路
电路结构或参数发生变化引起的电路变化
一般认为换路是在t=0时刻进行的。 t=0 :换路时刻,换路经历的时间为0—到0+; t=0— :换路前的最终时刻; t=0+ :换路后的最初时刻。
10V 8V
-
-
0+等效电路
iC
电容 用电 压源 替代
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
iC(0)1010 80.2mA
例9-2 电路如图所示,t=0-时电路已处于稳态,t=0时闭合
开关S ,求 uL(0+)。
1 4
② 应用换路定律:
+ 10V
-
+
S L uL iL -
解 ① 先求 i L ( 0 )
i(t)CdC uU 0eR t C t0
dt R
特征方程 RCp+1=0
特征根
p 1 RC
时间常数 RC
① t 0 ,换路时,i(0) 0 ,但i(0 )
第9章 动态电路的时域分析

,R
1
6
,R
2
4 , C
0.5F
,
在 t 0 时打开开关S,试求 t 0 时的电流i。
R1
S(t 0)
.
i
i
+
US R2
C
+
uC
R2
+
C
uC
-
-
-
.
(a) 首先求
uC (0 )
(b)
。已知换路前电路已达稳态,则:
uC (0 ) R2 R1 R2 US 4 10 64 4V
电路基础
R1
S(t 0)
.
i
i
+
US R2
C
+
uC
R2
+
C
uC
-
-
-
.
换路后t 0 时的电路如图(b)所示,根据换路定则有:
uC ( 0 ) uC ( 0 ) 4 V
时间常数: 得:
R2C=4 0.5=2s
uC (t ) uC (0 ) e
t
4e
电路基础
第9章 动态电路的分析
9.1 动态电路的方程及初始条件
对于电容元件和电感元件,由于它们的VCR为微分
和积分关系,故称为动态元件,含有动态元件的电路称
为动态电路。
当动态电路状态发生改变时(换路)需要经历一个变 化过程才能达到新的稳定状态。因为电路能量的储存和释 放都需要一定的时间来完成, 这个过程称为电路的过渡过
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大→过渡过程时间长 小→过渡过程时间短
动态电路的时域分析-PPT精选

7.1 电路的瞬态过程与换路定律
7.1.1电路的瞬态过程
一阶电路可看成由两个单口网络组成,其一侧含所有的电源及电阻元 件,另一侧只含一个动态元件。以电容为例,电路如图7-1所示。含 源电阻网络部分N1用戴维南定理或诺顿定理化简后,电路如图7-1(b) 或(c)所示。
由图(b)或(c),我们可以求得单口网络的端口电压,亦即电容电 压 c。
或
LdiL dt
R0iL
u0C(t)
(7-5)
G0LdditL iL isc(t)
(7-6)
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7.1 电路的瞬态过程与换路定律
结合初始条件i L ( t 0 ) 求得。利用图7-1(b)、(c),设想用电感L代
替原来的电容C,并令图中的电流i 为i L 后得出上述微分方程。
因此,处理一阶电路最关键的步骤是求得 u C ( t ) 或 i L ( t ) ,我们将着重 分析如图7-1(b)、(c)所示的含电容(电感)的这类简单电路。
U L 则为 (7-16)
电流 i L 及电压 u L 的波形如图7-10所示。它们都是随时间衰减的指数曲
线。
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7.2 一阶电路的零输入响应
由式(7-15)及(7-16)可知,时间常数 越小,电流、电压衰减越 快;反之则越慢。这一结论和以上对RC电路分析所得结论相同。只 是具体对RL电路来说 =L/R,这就是说L越小,R越大则电流、电压 衰减越快。我们可以从物理概念上来理解这短。对 同样的初始电流,R越大,电阻的功率也越大,因而贮能也就较快地 被电阻消耗掉。
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7.2 一阶电路的零输入响应
从以上分析可知:零输入响应是在输入为零时,由非零初始状态产生
第九章 线性电路动态过程

例题 用微分性质求下列函数的象函数 (1) f (t ) = coswt (2) f (t ) = δ(t )
s F s = 2 s +w2
F s = 1
实例 已知 uC 0-)= U0 , ( R 和C 参数。 求 u C ( t) 。
S R
iC + C uC -
解: 微分方程 d u RC C + uC = 0 dt
则 lim f t = lim sF s
t 0 s
例题 已知象函数 F ( s) =
200s - 1000 s 2 + 10s
求其相应的原函数 f t 的终值和初值
f = -100
f 0 = 200
六、延迟定理 设有一个在 t = 0 瞬时出现的时间函数 f ( t ) t , 推迟到 t = t 0出现 (t0 0), 后者的函数变为
例题 求象函数
s +1 F (s) = 2 s + 3s
的原函数
1 2 - 3t f t = + e 3 3
Ds = 0 有重根时系数的求法 (以二重根为例)
D( s ) = 0
F ( s) =
A A An2 A1 A2 + + ...... n -1 + n1 + s - s1 s - s2 s - sn - 1 s - sn ( s - sn ) 2
s2 + s + 2 ( 2) F ( s ) = (s - 1)(s 2 + 3s + 2)
f t = -3e -2t + 7e -3t
2 t 4 - 2t -t f t = e - e + e 3 3
第9章 电路的时域分析解读

9.3 一阶电路的零输入响应 电工技术课程多媒体课件
t 0
t
uc U0e U0 U0 e -1
2
U0 e -2
3
U0 e -3
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0
5
U0 e -5 0.007 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
t
uC U0e RC t 0
0
t
i
i uC R
U0
e
t RC
R
t
I0e RC
I0
t0
0
t
9.3 一阶电路的零输入响应 电工技术课程多媒体课件 电压、电流以同一指数规律衰减, 衰减快慢取决于RC乘积。
令 =RC , 称为一阶电路的时间常数。
RC
欧法
9.3 一阶电路的零输入响应 电工技术课程多媒体课件
uc
某点切距的长度 t2-t1 =
0 t1 t2
t
t2
t1
uC (t1 )
tan
uC (t2 ) 0.368uC (t1 )
t1
uC (t1 ) U0e
duC (t) dt
t t1
1
U
0e
t1
0
9.2 换路定理及初始值的确定 电工技术课程多媒体课件
当i()为有限值时
uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
0 i( )d 0
线性电路动态过程的时域分析7冲激响应

一阶电路
线性电路动态过程的时域分析
5.三要素:一阶暂态的初始值、稳态值、时间常数
一阶暂态的响应表达 )]e y p
y(0 ) —初始值
y p —稳态值
—时间常数
若输入为直流激励,则:
t
y [ y(0 ) y()]e y()
一阶电路
线性电路动态过程的时域分析
1.一阶电路:用一阶微分方程描述的动态电路, 称为一阶电路。
2.零输入响应:电路在没有独立电源作用的情况下, 仅由初始储能引起的响应,称为零输入响应。
3.零状态响应:电路在初始储能为零,仅由独立 电源引起的响应,称为零状态响应。
4.全响应:电路在初始储能和独立电源共同作用引 起的响应,称为全响应。
一阶电路
线性电路动态过程的时域分析
6.阶跃响应:一阶电路在阶跃函数激励下的零状态 响应。
7.冲激响应:一阶电路在冲激函数激励下的零状态 响应。
二阶电路
线性电路动态过程的时域分析
1.二阶电路:用二阶微分方程描述的动态电路, 称为一阶电路。
2.RLC串联零输入响应:
非振荡过程(过阻尼): R 2 L
C
uC
U0 p2 p1
( p2e p1t
p1e p2t )
i
U0
(e p1t e p2t )
L( p1 p2 )
uL
U0 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
特征根:p1, p2 —两个不相等的负实根
二阶电路
线性电路动态过程的时域分析
1.二阶电路:用二阶微分方程描述的动态电路, 称为一阶电路。
2.动态电路:指含有动态元件(L和C元件)的电 路。
电工基础课程教学教案——第九章线性电路过渡过程的时域分析01(中职教育).docx

第八章非正弦周期电流电路(不讲。
略)第九章线性电路过渡过程的时域分析第一节电路的动态过程及初始值的确定学习目标:1・掌握动态过程的基本概念及换路定律2 .理解电感中的电流不能发生突变和电容两端电压不能发生突变的原因重点:动态过程的基木概念及换路定律难点:换路定律一、电路的动态过程:1、“稳态”与“暂态”的概念:电路处于新稳态电路处于旧稳态稳态是指电路的稳定状态。
电路rti —种稳态转变到另一种稳态过程为过渡过程或瞬态过程。
电路在瞬态过程中所处的状态称为瞬态,乂称暂态。
2、产生过渡过程的电路及原因(1).电阻电路rr Z= 0J—o-电阻是耗能元件,其上电流随电压成比例变化,不存在过渡过程。
(2)电容电路电容为储能元件,它储存的能呆为电场能量,其人小为:因为能最的存储和释放需要一个过程,所以有电容的电路存在过渡过程。
c端电压=0充电C端电压Ko(3)电感电路U~R电感为储能元件,它储存的能量为磁场能量,其大小为:护”因为能量的存储和释放需要一个过程,所以有电感的电路存在过渡过程。
二、换路定理及初始值的确定1.换路概念换路就是电路的结构或参数发牛变化或则连接方式的突然改变以及电源的突然变动称为换路。
2・换路定理:在换路瞬间(t=0 + ),电感中的电流、电容上的电压均为有限值时,则u C、订不都应保持换路前(t二0 -)的数值不能突变,该数值称为初始值。
这一规律称为换路定理。
即换路前后L的电流不发牛跃变:;L (0 + ) = / L (0 - ) , C端电压不发生.跃变:〃c(0 + )=〃c(0 -)图9-1例9-1 :如图9-1所示,求开关闭合后,电容上的电压和电流的初始值,当电路达到稳态后,电容上的电压和电流的稳态值。
解:在t=0 +时,电容相当于短路,在t= ¥时,电容和当于断路。
设:%则根据换路定理:%(4)K Q)M OV,= 27J(<x^ =0电路稳定后,电容相当于开路,iCPJ =图9-2例9-2 :如图9-2 所示,己知U二12V , R 1 =2k W , R 2 =4k W , C= 1 m F ,求开关断开后,电容上的电压和电流的初始值,当电路达到稳态后,电容上的电压和电流的稳态值。
电工基础第九章 线性电路过渡过程的时域分析 (2)

第一节 电路的动态过程及初始值的确定
(2)其它相关初始值的确定:
画t=0+时刻的等效电路:将电路中的电容元件用电压为uC(0+) 的电压源替代,电感元件用电流为iL(0+)的电流源替代。在0+
等效电路中根据KCL、KVL求得各相关初始值.
第一节 电路的动态过程及初始值的确定
例9-2 图a所示电路中,已知US=48V,R1=2Ω ,R2=2Ω ,R3=3Ω ,L=0.5H, C=4.7F,开关S在t=0时合上,设S合上前电路已进入稳态。求:i10+)、 i2(0+)、 i3(0+)、 uL(0+)、 uC(0+)。
所以方程的解为
t
t
t
uC ( t ) Ae RC U0e RC U0e
2.时间常数
i( t ) C duC
U0
t
e RC
U0
t
e
dt R
R
t 0
上式中的〔RC〕具有时间的量纲,单位为秒(s),称为时间常
数。记作 RC
第二节 一阶电路的零输入响应
时间常数的大小影响电压电流衰减的快慢, 零输入响应曲线如图示
18
12
e
t 4
t
(12 6e 4 )V
第七节 二阶电路的响应
一 .RLC串联电路及其电路方程
根据KVL及各元件的伏安关系可得图示RLC串联电路的 方程为
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
这是一个线性二阶常
系数齐次微分方程.解的
形式由其特征方程根的性
电路及磁路第09章-PPT课件

+
相关初始值:用独立初始值及KCL,KVL和欧姆定律来 确定的其它初始值。
第九章
线性电路过渡过程的时域分析
◆ 0 + 等效电路画法:
电容元件用值为 uC (0 ) 的电压源代替 电感元件用值为 iL (0 ) 的电流源代替
5 0 V , R R Ω , R 2 0 Ω 例:如图,直流电压源电压 U 。 S 1 25 3 电路原已达到稳态。在 t 0 时断开开关S。求 t 0 + 时的 i L u R3 、 uR2、 u L 、 uC 、 、 iC 。
第九章
线性电路过渡过程的时域分析
内容提要
1.初始值、换路定律、时间常数等概念。 2.一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响 应、一阶电路全响应的三要素法。 3.一阶电路阶跃响应和冲激响应 。 4.简介二阶电路的零输入响应。
第九章
线性电路过渡过程的时域分析
序 言 一.电路的过渡过程
任何系统的状态都有相对稳定和不稳定两种状态.在电路中, 稳定状态是指在给定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。不稳 定状态是指动态。例如:电容C 的充电过程。
的大小反映了电路过渡过程 称 为电路的时间常数。 的进展速度,它是反映过渡过程特征的一个重要的量。
第九章
线性电路过渡过程的时域分析
原因是:储能元件中能量的改变是需要时间的。即 动态电路在换路后一般不能由原来的稳定状态立刻到达 新的稳定状态 。 电场能量为:
磁场能量为: ◆ 换路定律 在换路瞬间,当电容元件的电流为有限值时,电容 电压一般不能跃变;当电感元件的电压为有限值时,电 感电流一般不能跃变。
A U0
李裕能_第九章一阶电路和二阶电路习题及解答

第九章一阶电路和二阶电路本章意图本章主要介绍动态电路的时域分析法。
主要内容有动态电路及其方程,动态电路的换路定则及初始条件的计算,一阶电路的时间常数,一阶电路的零输入响应,一阶电路的零状态响应,一阶电路的全响应,一阶电路的阶跃响应,一阶电路的冲激响应,二阶电路的零输入响应,二阶电路的零状态响应及阶跃响应,二阶电路的冲激响应和卷积积分。
第一节内容提要一、动态电路电路有两种工作状态——稳态和动态。
描述直流稳态电路的方程是代数方程;用相量法分析交流电路时,描述交流稳态电路的方程也是代数方程。
描述动态电路的方程则是微分方程。
描述一阶电路的方程是一阶微分方程,描述二阶电路的方程是二阶微分方程。
二、动态电路的初始条件1 . 换路当电路中的开关被断开或闭合,使电路的接线方式或元件参数发生变化,我们称此过程为换路。
2 . 换路定则在一般情况下,在换路前后瞬间,电容电流i C为有限值,故有u C(0+) = u C(0 - )在一般情况下,在换路前后瞬间,电感电压u L为有限值,故有i L(0+) = i L(0 - )3 . 如何计算电路的初始条件对于一个动态电路,其独立的初始条件是u C( 0+ )和i L( 0+ ),其余的是非独立初始条件。
如果要计算电路的初始条件,可以由换路前的电路计算出u C( 0 - )和i L( 0 - ),然后令其相等即可求得u C( 0+ )和i L( 0+ )。
最后由换路后的等效电路就可以求出所需要的非独立初始条件。
三、一阶电路的响应1 . 一阶电路的时间常数在换路之后电路中,令独立电源为零,将电路化简成为一个等效电阻与储能元件的并连电路。
对于RC、RL电路的时间常数分别为:τ= RC、τ=L / R。
2 . 一阶电路的零输入响应在换路之后电路中无独立电源,由换路之前储能元件储存的能量在电路中产生响应,称为零输入响应。
3 . 一阶电路的零状态响应在换路之前储能元件没有储存能量,由换路之后电路中独立电源的能量在电路中产生响应,称为零状态响应。
线性系统时域分析

线性系统时域分析一、简述线性系统时域分析,简单来说就是研究线性系统在时间变化下的表现。
你可能会觉得,这听起来有点抽象,但其实它在我们日常生活中无处不在。
想象一下你调节家里的水龙头,水流的强弱、温度的变化其实就是一个线性系统在时间上的表现。
这就是我们研究这个领域的初衷——理解现实世界中的变化。
1. 介绍线性系统时域分析的重要性及其应用领域线性系统时域分析,听起来好像很高大上,但其实它在我们生活中无处不在。
你知道吗它就像是给电子世界的“大脑”做体检。
咱们先来聊聊它的重要性吧,想象一下当你用手机播放音乐时,音质是否清晰、流畅,很大程度上就依赖于这背后的线性系统时域分析。
再如汽车的安全系统、家电的控制电路,都需要线性系统来保证稳定可靠的工作状态。
咱们生活中的许多电子设备,离开了线性系统时域分析,可能就无法正常运行了。
那么线性系统时域分析到底应用在哪些领域呢?简单来说凡是涉及到电子信号传输、控制的地方,几乎都有它的身影。
比如通信领域,手机信号、网络信号的传输都离不开它。
还有自动化控制领域,机器的运行、调整都需要线性系统来保证精准控制。
再比如音频处理、图像处理等领域,也需要线性系统来确保信号的完整性和质量。
可以说线性系统时域分析是电子技术中不可或缺的一环,它的影响无处不在,咱们的生活都离不开它呢!2. 概述线性系统时域分析的基本概念和主要任务线性系统时域分析,听起来好像很复杂,但其实它是研究线性系统对输入信号响应的一种方法。
简单来说就是看看系统对输入的反应是怎样的,这里的“时域”,就是时间的领域,我们关心的是随着时间的推移,系统是如何响应的。
那么咱们就一起了解下这个分析的基本概念以及主要任务吧。
首先它的基本概念就是要理解一个线性系统是如何接受输入并产生输出的。
就像是你在给音响输入音乐,音响就会放出声音一样。
这里的音响系统,就是一个线性系统。
我们要探究的是,不同的输入会得到什么样的输出。
接下来主要任务是什么呢?我们要分析线性系统的特性,看看它是如何对不同的输入做出反应的。
动态电路的时域分析

动态电路的时域分析
动态电路分析的基本方法是建立电路的微分方程,利用电路中的基尔
霍夫定律和伏安定律,推导出描述电路元件电压和电流变化关系的微分方程。
然后,通过求解微分方程,得到电路的时间响应,即电压和电流随时
间的变化规律。
动态电路的分析过程中需要考虑电路元件的动态特性,包括电容元件
和电感元件的存储能量和存储效应。
对于电容元件,其电压和电流之间的
关系可以用电容的充放电方程来描述。
而对于电感元件,其电压和电流之
间的关系可以用电感的变化率来描述。
在时域分析中,最常用的方法是Laplace变换法。
通过将电路中的微
分方程转化为复频域中的代数方程,可以大大简化电路的分析过程。
利用Laplace变换后的电路方程,可以通过进行代数运算和逆变换,得到电路
的时间响应。
动态电路的时域分析还需要考虑电路的初始条件。
对于包含存储元件
的电路,初始条件是指电容电压和电感电流在初始时刻的取值。
有时候,
电路的初始条件会影响电路的稳定性和响应速度,因此在进行时域分析时,需要充分考虑初始条件的影响。
此外,动态电路的时域分析还可以通过脉冲响应法进行。
该方法利用
电路的单位阶跃响应和冲击响应的线性叠加原理,可以将任意输入信号分
解为一系列单位阶跃函数和冲击函数,并通过对各个分量的处理来得到电
路的时间响应。
总之,动态电路的时域分析是电路理论中的重要内容。
通过对电路中各个元件的电压和电流随时间的变化进行分析,可以揭示电路的动态行为和响应过程,为电路设计和故障诊断提供重要的理论依据。
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用经典法求解常微分方程时,必须给定初始条件才能确定通解中的待定系数。假设电路在 时换路,若描述电路动态过程的微分方程为 阶,则其初始条件就是指所求电路变量(电压或电流)及其 阶导数在 时刻的值,这就是电路变量的初始值。电路变量在 时刻的值一般都是给定的,或者可由换路前的稳态电路求得,而在换路的瞬间即从 到 ,有些变量是连续变化的,有些变量则会发生跃变。
分析动态电路过渡过程的方法之一是根据网络的KCL、KVL和元件的VCR建立描述电路的微分方程,对于线性时不变电路,建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程,求解此常微分方程,即可得到所求电路变量在过渡过程中的变化规律,这种方法称为经典法。因为它是在时间域中进行分析的,所以又称为时域分析法。
现以图9.1所示电路为例说明时域分析法的求解过程。图中开关S在 时刻闭合,换路前电路处于稳态,即电容电压为常数。
第九章
内容提要:本章介绍线性电路的时域分析方法,包括一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应、冲激响应的分析,二阶电路的动态过程分析和高阶电路的状态变量分析。学习本章的重点在于对以上基本概念的理解和掌握。
经过对第一章的学习,我们知道储能元件电容、电感的电压和电流的约束关系是微分关系,因此当电路中含有电容元件和电感元件时,描述该电路的方程将是微分方程。储能元件又称为动态元件,这种含有储能元件的电路叫做动态电路。
换路瞬间电容电压和电感电流不能跃变是因为储能元件上的能量一般不能跃变。电容中储存的电场能量 、电感中储存的磁场能量 ,如果 和 跃变,则意味着电容中的电场能量和电感中的磁场能量发生跃变,而能量的跃变又意味着功率为无限大 ,在一般情况下这是不可能的。只有某些特定的条件下,如含有C-E回路或L-J割集的电路, 和 才可能跃变。
式中特解 的函数形式取决于电源 ,通解 的函数形式取决于电路参数。式(9-1)所对应的齐次微分方程的特征方程为
由此求得方程的特征根 ,因此该齐次微分方程的通解为
即电路换路后的电容电压为
(9-2)
根据电路的激励及初始条件即可求得上式中的待定系数A,从而确定一阶电路的过渡过程的性态。
从以上示例可见,时域分析的方法就是数学中的一阶微分方程的经典求解方法,关键是如何利用我们所学过的电路知识确定初始条件、特解、特征根等。
对含有直流、交流电源的动态电路,若电路已经接通了相当长的时间,电路中各元件的工作状态已趋于稳定,则称电路达到了稳定状态,简称为稳态。在直流电路中,电容相当于开路,电感相当于短路,电路方程简化为代数方程组。在正弦电路中,我们利用相量的概念将问题归结为复数形式的代数方程组。如果电路发生某些变动,例如电路参数的改变、电路结构的变动、电源的改变等,这些统称为换路,电路的原有状态就会被破坏,电路中的电容器可能出现充电与放电现象,电感线圈可能出现磁化与去磁现象。储能元件上的电场或磁场能量所发生的变化一般都不可能瞬间完成,而必须经历一定的过程才能达到新的稳态。这种介于两种稳态之间的变化过程叫做过渡过程,简称为瞬态或暂态。电路的过渡过程的特性广泛地应用于通讯、计算机、自动控制等许多工程实际中。同时,在电路的过渡过程中由于储能元件状态发生变化而使电路中可能会出现过电压、过电流等特殊现象,在设计电气设备时必须予以考虑,以确保其安全运行。因此,研究动态电路的过渡过程具有十分重要的理论意义和现实意义。
A
V
A
例9-2图9.3(a)所示的电路中已知 , , V,C=0.5F,L=3H, 时将开关打开。求 、 、 、 、 和 。
例9-1在图9.2(a)所示的电路中,已知 , , V, 时开关闭合。求 、 、 、 和 。
解换路前电路为稳定的直流电路,电容相当于开路,电感相当于短路,故有
V
A
换路后 和 都不会跃变,所以
V
A
根据替代定理,把电容用电压为 的电压源等效代替,把电感用电流为 的电流源等效代替,得到 时的等效电路如图9.2(b)所示,进而可求得
电路的瞬态过程是一个时变过程,在分析动态电路的瞬态过程时,必须严格界定时间的概念。通常我们将零时刻作为换路的计时起点,即 ,相应的,用 表示换路前的最终时刻,用 表示换路后的最初时刻。 时刻的电路变量一般可由换路前的稳态电路确定。本章的任务就是研究电路变量从 时刻到 刻时其量值所发生的变化,继而求出 后的变动规律。电路发生换路后,电路变量从 到 的整个时间段内的变化规律称为电路的动态响应。如果电路中发生多次换路,可将第二次换路时刻计为 ,将第三次换路时刻计为 ,等等,依此类推。
对线性电容,在任意时刻 ,它的电荷 、电压 与电流 在关联参考方向下的关系为
设 时刻换路,令 , ,则有
(9-3a)
(9-3b)
从上面二式可以看出,如果换路瞬间电容电流 为有限值,则式中积分项将为零,于是有
(9-4a)
(9-4b)
这一结果说明,如果换路瞬间流经电容的电流为有限值,则电容上的电荷和电压在换路前后保持不变,即电容的电荷和电压在换路瞬间不发生跃变。
按图示电压电流参考方向,根据KVL列出回路的电压方程为
由元件的VCR,有
代入电压方程,得
(9-1)
对线性时不变电路,上式是一个以电容电压 为未知量的一阶线性非齐次常微分方程。我们把用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。方程(9-1)的通解 等于该方程的任一特解 和与该方程相对应的齐次微分方程的通解 之和,即
对线性电感可做类似的分析。在任意时刻 ,它的磁链 、电压 与电流 在关联参考方向下的关系为
令 , ,则有
(9-5a)
(9-5b)
从上面二式可以看出,如果换路瞬间电感电压 为有限值,则式中积分项将为零,于是有
(9-6a)
(9-6b)
这一结果说明,如果换路瞬间电感电压为有限值,则电感中的磁链和电感电流在换路瞬间不发生跃变。
由于电容电压 和电感电流 换路后的初始值与它们换路前的储能状态密切相关,因此称 和 为独立初始值,一般情况下,若换路后不出现C-E回路或L-J割集则二者的值可由(9-4)、(9-6)式求出。而其它电压和电流(如电阻的电压或电流、电容电流、电感电压等)的初始值称为非独立初始值。非独立初始值由独立初始值 和 结合电路中的电源并运用KCL、KVL等进一步确定。