动 态 规 划 算 法

每天一道算法题(四) （动态规划算法）01背包问题Java 实现动态规划动态规划在wiki上的定义：dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions - ideally, using a memory-based data structure. The next time the same subproblem occurs, instead of recomputing its solution, one simply looks up the previously computed solution。

昨天接触到了动态规划的概念，研究了昨天一晚上以及今天一上午，总算对这个问题有些收获。

动态规划背后的基本思想非常简单。

大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。

从空集合开始，每增加一个元素就求它的最优解，直到所有元素加进来，就得到了总的最优解。

01背包问题01背包问题即的01即每件物品最多放1件，否则不放入。

让我真正了解动态规划概念的是mu399的博客问题：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？重新定义问题：有承重分别为1-10的背包10个编号分别为a,b,c,d,e的物品各一个3. 从e物品开始依次放入1-10个背包，分别得到最大的价值总和4. 把d物品放入依次放入存在e物品的1-10个背包，如果价值更高，替换掉e（）5. c,b,a同理。

1. 01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{f[i-1,j-Wi]+Pi( j = Wi ), f[i-1,j] }f[i,j]：在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗？2. 以a8（行为a，列为的8的单元格）举例f[i,j] = a8 = 15f[i-1,j] = b8 = 9f[i-1,j-Wi] 表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi] +Pi =b(8 - 2) + 6 = b6 + 6 = 15 背包的java代码实现public class getPgAnswer{public void testPackage() {Package[] pg = {new Package("e",4,6),new Package("d",5,4),new Package("c",6,5),new Package("b",2,3),new Package("a",2,6)-- 第一个参数表示从pg[0]开始依次放入的物品， -- 第二个参数代表背包的承重,放弃第0列数组int[][] state = new int[pg.length][11];int newValue = 0;* 01背包的状态转换方程* f[i,j] = Max{* f[i-1,j-Wi]+Pi( j = Wi ),* f[i-1,j] }for (int i = 0; i pg.length; i++) {-- 背包的承重量for (int j = 1; j state[i].length; j++) {if (i == 0) {if (pg[i].getWeight() = j) {state[i][j] = pg[i].getValue();state[i][j] = state[i - 1][j];if (j pg[i].getWeight()) {continue;newValue = state[i - 1][j - pg[i].getWeight()]+ pg[i].getValue();-* if (newValue = state[i - 1][j]) {state[i][j] = newValue;state[i][j] = state[i - 1][j];state[i][j] = Math.max(newValue, state[i - 1][j]);for (int i = 0; i state.length; i++) {System.out.println(Arrays.toString(state[state.length - 1 - i]));class Package {private String name;private int weight;private int value;public Package(String name,int weight,int value){ = name;this.weight = weight;this.value = value;public String getName() {return name;public int getWeight() {return weight;public int getValue() {return value;背包的Python实现问题：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？思路：dynamic programming即把整个问题分解成一系列子问题，所有子问题只计算一次并存起来，下一次相同问题出现，直接从数据结构中取出结果，而不是再次计算 K(i, j) = max(K(i - 1, j), K(i - 1, j - Wi) + Pi)其中 j = Wif[i,j]：在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗def package(n, c, weight, values):构建背包问题二维表:param n: 物品数量:param c: 背包重量容积:param weight: 物品重量列表:param values: 物品价值列表:return:# 初始化二维列表res = [[-1 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]res[0] = [0 for i in range(1, c + 1)]# 完善背包for i in range(1, n + 1):for j in range(1, c + 1):res[1][j] = values[1] if j = weights[1] else 0res[i][j] = res[i - 1][j]if weights[i] j and res[i - 1][j - weights[i]] + values[i] res[i][j]:res[i][j] = res[i - 1][j - weights[i]] + values[i]# @Note：如果没有上面的res[0] = [0 for i in range(1, c + 1)] 需要增加下面的判定# elif weights[i] == j and values[i] res[i][j]:# res[i][j] = values[i]return resif __name__ == '__main__':# 物品数量# 背包重量容积# 物品重量列表 weights[0] 无效和blog有区别博客是倒着放入商品weights = [-1, 2, 2, 6, 5, 4]# 物品价值列表 values[0] 无效values = [-1, 6, 3, 5, 4, 6]res = package(n, c, weights, values)如果枚举的和总量大于等于选择物品，则需要判断是否选择当前物品*-d[i][j] = min{ d[i+1][j], d[i][j-1] } + 1; (每次状态转移，区间长度增加1)描述阶段的变量称为阶段变量k。

阶段的划分，一般是根据时间和空间的自然特征来进行的，但要便于问题转化为多阶段决策。

最后一个元素相同：求X[1…m-1]和Y[1…n-1]两个子序列的最长公共子序列。

void Trace(int i, int capacity)从表中可以看出一些规律，除了第一行以外，每个格子都是前一行的一个或两个格子推导而来。

比如3金矿8工人的结果，就来自2金矿5工人和2金矿8工人，MAX（500,500+200）=700.if (arr.length == 0) {min_sum[i][j] = min_sum[i - 1][j - 1] + triangle[i][j];本介绍用python解决TSP问题的第二个方法——动态规划法if (ratings[i] ratings[i - 1]) {。