概率论与数理统计第四版

第一章
概率论的基本概念
§3 频 率 与 概 率
(一) 频率的定义和性质
定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
目 录
前一页
后一页
退 出
第一章 概率论的基本概念
目 录 前一页 后一页 退 出
比较如下事件：
C={2,4,6} A1={1}
D={1,2,3} A2={2} A3={3}
考虑它们何时发生？有何区别？
基本事件 （相对于观察目的 事 件
不 可再分解的事件）
如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6

目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
常用
4) 积（交）事件 A B AB
B {2,4} D {1,2,3} B D BD {2}
事件 A B 发生当且仅当 A , B 同时发生.
A
B S
A 表示所有A同时发生.

目 录 前一页 后一页 退 出
前一页
后一页
退 出
第一章 概率论的基本概念
8) 随机事件的运算规律 幂等律: 交换律: 结合律: 分配律:
A A A, A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan（德摩根）定律: A A , A A
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
例3
在S4 中（测试灯泡寿命的试验） 事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品”
则 A与B是互为对立事件；
A与C 是互不相容事件； B C BC 表示 “产品是合格品但不是一级品”;
ABC AB C A BC ABC AB AC BC.
目 录 前一页 后一页 退 出
练习 1.甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情 况。设A＝{甲中}，B＝{乙中}，问 各 A B 与A B 表示什么事件? 是否是相等事件？
2.一射手向目标射击3发子弹，Ai表示第次射击打中
目 录
前一页
后一页
退 出
例1：从一批产品中任取两件，观察合格品 的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品} 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2 问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A B1 B2 B1 B2
B1B2 B1B2 B1B2
A B C A B C A BC
A A

A B AB A B
A B C ABC A B C
对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事 件，要清楚其具体含义是什么.
也就是说，要正确无误地“互译”出来.
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本 点在试验中出现。
目 录 前一页 后一页 退 出
两个特殊的事件： 即在试验中必定发生的事件，即样本空间 常用S或Ω表示;
即在一次试验中不可能发生的事件， 常用φ表示 . 例如，在掷骰子试验中， “ 掷出点数小于7”是必然事件; 而“ 掷出点数8”则是不可能事件.
A ABC ABC AB C AB C .
(2) A 发生，B 与 C 都不发生.
AB C .
(3) A ,B , C 都发生.
ABC.
(4) A ，B , C 至少有一个发生. A B C .
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
(5) A ，B , C 都不发生.


目 录 前一页 后一页 退 出
A B C A B A C
A B C A B C A B C A B C
A A ,

A B A B AB
概率论与数理统计 （56学时）
开课系：理学院数学系
教师：严彦文
ywen99@163.com（个人）
gltj2011@163.com(公共邮箱)
Password:123456
在生活当中，经常会接触到一些现象：
确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象。
随机现象： 在个别实验中其结果呈现出不确定性；
在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。 概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。
目 录 前一页 后一页 退 出
E5： 调查城市居民（以户为单位）烟、
酒的年支出，结果可以用（x，y）表示， x，y分别是烟、酒年支出的元数. 这时，样本空间由坐标平面第一象限 内一定区域内一切点构成 . 也可以按某种标准把支出分为高、 中、低三档. 这时，样本点有（高,高）, （高,中），…，(低,低）等9种，样本空 间就由这9个样本点构成 .
第一章 概率论的基本概念
这些试验具有以下特点：
1. 可以在相同的条件下重复进行；
2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 试验的所有可能结果； 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
我们把满足上述三个条件的试验称为随机 试验。记为E
目 录
前一页
后一页
退 出
第一章 概率论的基本概念
概率论与数理统计 已成为高等工科院校教学 计划中一门重要的公共基础课。 通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象 的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解 决实际问题的能力。
目 录
前一页
后一页
退 出
课程主要内容：



概率论的基本概念 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律及中心极限定理 样本及抽样分布 参数估计 假设检验
A B A B, 且 B A.
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
3) 和（并）事件
A B
A B S
B {2,4} D {1,2,3} B D {1,2,3,4}
事件 A B
发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .
. A 源自文库示A 中至少发生一个
除要求A、B互斥( AB )外，还要求
A+B=S
思考：AB与A-B的关系？（互不相容）
A B
A B S
AB
AB AB A
AB
n个事件互斥与 两两互斥：
若n个事件A1，A2，… ，An中任意两 个事件都互斥,则称这n个事件互斥.
所以，若n个事件互斥，则其中任
意两个事件都互斥.
目 录
第一章
概率论的基本概念
§1
§2 §3 §4 §5
随机试验
样本空间，随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概率） 条件概率
§6
独立性
第一章 概率论的基本概念
§1 随机试验
§1 、 随 机 试 验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛，它包 括各种各样的科学实验，也包括对 事物的某一特征的观察。
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
考察下列事件间的包含关系：
AB AB AB
A
B
A B B B
AA B A
目 录
前一页
后一页
退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
常用
5) 差事件
A B A AB AB
A B
A
S B
A B
A A B
S
BC 表示 “产品是是一级品” ;
B C 表示 “产品是合格品”.
( BC ) ( BC )
( BC ) ( BC ) B
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
例4 设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. （1）A 发生.
目 录 前一页 后一页 退 出
例2 (1) A1
A3
A2
(2) A1
A2
A4
A3
A4
如图(1)、(2)两个系统中令Ai表示第i个元件 工作正常”, Bi表示“第i个系统工作正常”. 试用A1, A2 , A3 , A4表示B1, B2.
解: (1) B1 = A1A2∪A3 A4 (2) B2 = (A1∪A3)( A2∪A4)
§2 样本空间随机事件
§2 样本空间，随机事件
一 样本空间
二 随机事件
三
事件间的关系与运算
目 录
前一页
后一页
退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
一 样本空间(Space) 定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的元素， 即 E 的每个结果，称为样本点（ 也叫基本事件〕
ABC .
(6) A ，B , C 不多于一个发生.
A B C ABC ABC ABC . AB BC AC
(7) A ，B , C 不多于两个发生.
A B C AB C A BC A B C ABC AB C A BC
A B C
ABC
(8) A ，B , C 至少有两个发生.
复合事件
（两个或一些基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件） 事件 B={掷出奇数点}
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
三 、 事件间的关系与运算
1) 包含关系
A B
A
B={1,2,3}
如果A发生必导致B发生，则
A B
例如：
B S
A={1}
2）相等关系
目 录
前一页
后一页
退 出
其典型的例子有
E1：抛一枚硬币两次，观察正面H（Heads）、
反面T（Tails）出现的情况。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某一电子元件（如灯泡〕的寿命。 E5：观察某城市居民（以户为单位〕烟酒年支出。
目 录 前一页 后一页 退 出
要求：会写出随机试验的 样本空间。 E1： S1 ＝{ H H, HT，TH，TT }
E2 ：S2 ＝{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E3： S3 ＝{0,1,2,3……}
目 录
前一页
后一页
退 出
§2 样本空间随机事件
E4：如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的 上界，所以可以认为任一非负实数都是一个 可能结果， 故样本空间 S 4： = {t ：t ≥0｝
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
二 随机事件
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等；
基本事件 : 有一个样本点组成的单点集；
必然事件 : 样本空间 S 本身；
不可能事件 : 空集。
目 录
前一页
后一页
A B
发生 即： A 发生 B 不发生.
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
B
S
S
BA
请注意互不相容与对立事件的区别！
目 录 前一页 后一页 退 出
互斥与互逆的区别： 两事件A、B互斥： AB 即A与B不可能同时发生. 两事件A、B互逆或互为对立事件
退 出
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
例如：抛一颗骰子，观察出现的点数。
S2 ＝{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
事件 A={2,4,6} 表示 “ 出现偶数点”; 事件 B={1,2,3,4} 表示 “ 出现的点数不超过4”.
显然它们都是样本空间 的子集
事件发生的定义?
s 1， 2， 3， 4， 5， 6
目标（i＝1，2，3〕。试用A1，A2，A3及其运算表示下列 事件 （1〕 {三发子弹都打中目标}＝B
（2〕{第一发子弹打中目标而第二，第三发 子弹都未打中}＝C （3〕{三发子弹恰有一发打中目标}＝D （4〕{三发子弹至少一发打中目标}＝E （5〕{三发子弹至多一发打中目标}＝F
目 录 前一页 后一页 退 出