旋转与半角倍角证明及计算

1．阅读下面文字，解决下列问题
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．
他的方法是将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GE即是DF+BE．
请回答：在图2中，∠GAF的度数是、△AGE≌△．
（2）拓展研究如图3，若E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，要使（1）中线段BE，EF，FD的等量关系仍然成立，则∠EAF与∠BAD应满足的关系是．
（3）构造运用运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下面问题：如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，点E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于点E，若AE=，试求线段AD，BE的长．
2．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）在图1中，求证：DE=DF．
（2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=5，求BE的长．
3．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一
点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）在图1中，求证：DE=DF；
（2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，点E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
4．同学们，在初一学习正多边形和圆这节课时，我们就学习过四边形的内角和等于360°．下面我们就在四边形中来研究几个问题：
在四边形ABCD中，AC=AB，DC=BD，∠CAB=60°且∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明你的结论；
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α且∠CDB=180°﹣α，G 在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中的结论仍成立？（只写结果不要证明）
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
5．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
思考验证：
（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
归纳结论：
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G 在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
探究应用：
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
6．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G 在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
7．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下列两题：
①如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是
AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，则DE=．
②如图4，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，且BD=2，AD=6，求△ABC的面积．
8．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
分析：由BE=DF，∠EBC=∠CDF=90°，BC=CD可得△EBC≌△FDC，从而CE=CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCB=45°，请你利用（1）的思路证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求四边形ABCD的面积．
9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，探索GE、BE、GD之间的数量关系，并加以证明；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=10，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=3，求DE的长．
10．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG=45°，请你利用（1）的结论证明：S
=S△BCE+S△CDG．
△ECG
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC=6，E是AB 上一点，且∠ECG=45°，BE=2．求△ECG的面积．
11．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．易证：CE=CF．
（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：
①如图2，在四边形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，点E，点G分别是AB边，
AD边上的动点．若∠BCD=α，∠ECG=β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．
②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x
轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．。