113导数的几何意义77134

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
lim (1 x)2 1 (1 1)
x0
x
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 1、利用切线斜率的定义求出切线的斜率； 2、利用点斜式求切线方程.
2 1
x
y|x2224. 即点P处的切线的斜率等于4.
-2 -1 O -1
-2
12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
课本练习
课本练习
导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0 时,f/(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f/(x)便是
处的切线方程。
练习:如图已知曲线
y1x3上 3
一P(点 2,83),求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
解(： 1)y
1
x3,y
l
i
my
l
i
1(xx)3 m3
1 3
x3
3
x0 x x0
1 3x2x3x(x)2 (x)3
x
y y
1
x3
4
3
lim
3x0
x
3
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1 l i m[3x2 3xx(x)2] x2. 3x0
x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数（简称导数）.
即: f(x ) y lim y lim f(x x ) f(x )
x x 0 x 0
x
函 数 yf(x)在 点 x0处 的 导 数 f(x0) 等 于 函 数 f(x)的 导 (函 )数 f(x)在 点 x0处 的 函 数 值 .
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 线 f'(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
导数的几何意义： 函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k
这个概念给我们提供了求曲线上某点切线的 斜率的一种方法.
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
小结:
3.弄清“导数” 、“导函数”、“函数f(x)在点x0处 的导数” （1之）间函的数区在别一与点联处系的。导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f (x) 。
考点突破：导数的几何意义
（基础知识迁移） 求曲线y=x2+2x-1在点P（1,2） 处的切线方程。
解法一：联立方程后，用△=0
解法二：用导数的几何意义
答案：4x-y-2=0
（08浙江高考文T21）
已a知 是实数f， (x)函 x3数 a2x;
(1)若 f'(1)3,求 a的值及 y曲 f(x线 )在1（ ， f(1)）
y=f(x) Q
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
Δy
倾斜角.则:MPx,MQy,
Pβ
y tan.
Δx
x
O
M x
请 问 ： y是 割 线 PQ的 什 么 ?
斜
x
率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着
点P逐渐转动的情y 况.
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
(2 )求 平 均 变 化 率 y f(x 0 x ) f(x 0 );
x
x
(3 )取 极 限 ， 得 导 数 f(x 0) lixm 0 y x.
小结:
2.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
例：求y函 2x数 21的导函数
解 ： f(x ) y lim y lim f(x x ) f(x ) x x 0 x 0 x
lim 2(xx)212x21
x 0
x
lim4xx2x2
x0
x
f '(x)4x lim (4x2x)4x x0
小结：
1.要切实掌握求导数的三个步骤：
( 1 ) 求 函 数 的 增 量 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ;
思考一下，导数可以用下式表示吗？ f(x0)xl im x0 f(xx) xf0(x0)
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处 不可导.
导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) y 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线,
（3）函数f(x)在点x0处的导数 f (x0)就是导函数 f (x) 在x=x0处的函数值，即 f(x0)f(x)|xx0 ,这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
作业:
习题1.1 A组 4.
谢谢