113导数的几何意义1PPT教学课件
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1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
《1.1.3 导数的几何意义》PPT课件(辽宁省县级优课)
题型二：已知斜率，求切线方程
例2：已知曲线y = x3 + 3x, 它 在 点p处 的 切 线 的 斜 率 是15， 求 此 时 的 切 线 方 程 ？ 解变：由式已1：知求可这设切条线曲的切线点与为(直 m,m线y3 =+ 31m5)x, +则2平切行线的斜切率k线=方f′(程 m;),
变又式因 2：为求f′ (这x) 条= 3曲x2线+与3，直所线y以= -斜1率xk+=2垂3m直2 的+ 3切，线方程;
回顾知识点：
导数的几何意义：斜率k = f′(切点横坐标)
曲线y = f (x)在点(x0 ,f (x0 ))的切线的
斜率等于f′(x0 ).
L 切线
y
切点
求切线方程就是：
(x0 , f (x0 ))
找切点；求斜率;来自ox点 斜 式 写 方 程 ：y - f (x0 ) = k(x - x0 )
题型一：已知一点，求切线方程
条件带入，求出参数，再重新带入到切线方程中即可)
巩固练习：
练 习 1:(2017全 国 I卷 ，14)
曲
线
y=
x2
+
1
在
点
（1,
2）处的
切线 方 程
x-y+1=0
为：
x
练习2：(教材例题) 求 抛 物 线 f(x=) x2过 点 （5 ,6） 的 切 线 方 程 ；
2
4x-y-4=0，6x-y-9=0
1
L的斜率为2 ，若与直线x - 2y + 3 = 0 垂直，则直线L的斜率为-2 .
应用（一）：利用导数的几何意义
求曲线的切线方程问题
考纲解读
精选 《导数的概念及其几何意义》完整版教学课件PPT
的切线的斜率
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
高中数学 1.1.3导数的几何意义课件 新人教版必修1.ppt
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
练习:
例4.已知y x，求y.
解： y x x x
y
1
x x x x
x xxx
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
P9练习
练习
练习
P10 A组 第3、4、5题，，
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的导数 f (x0），得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0) f (x0)(x x0).
练习:如图已知曲线 y
1 3
x3上一点P(2, 8) 3
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
课件11：1.1.3 导数的几何意义
பைடு நூலகம்
又 P0 在 C 上，即 y0＝x20＋1， ∴l 为：y－x20－1＝2x0x－2x20. 又切线 l 过点 P(0，0)，故－x20－1＝－2x20，∴x20＝1， 即 x0＝±1， 当 x0＝－1 时，切线 l 的方程为 y－(－1)2－1＝－2x－2(－1)2， 即 y＝－2x. 当 x0＝1 时，切线 l 的方程为 y－12－1＝2x－2×12，即 y＝2x. 所以过点 P(0，0)且与曲线 C 相切的切线方程为 y＝－2x 或 y＝2x.
规律方法： 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)写出切线方程，即 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所
求的切线平行于 y 轴，所以直线的切线方程为 x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
1.1.3 导数的几何意义
学习目标 1．理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲 线切线方程的方法． 2．通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观 察、分析、比较和归纳的能力．并通过对问题的探究体会 逼近、类比、由己知探讨未知、从特殊到一般的数学思想 方法．
重点难点 重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意 义解决相关问题． 难点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程 的求解．
类型3：求函数的平均变化率
例3：已知曲线C：f(x)＝x2＋1，求过点P(0，0)且与 曲线C相切的切线l的方程．
解：设切点 P0(x0，y0)，则
f′(x0)＝
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
＝
（x0＋Δx）2＋1－（x20＋1） Δx
又 P0 在 C 上，即 y0＝x20＋1， ∴l 为：y－x20－1＝2x0x－2x20. 又切线 l 过点 P(0，0)，故－x20－1＝－2x20，∴x20＝1， 即 x0＝±1， 当 x0＝－1 时，切线 l 的方程为 y－(－1)2－1＝－2x－2(－1)2， 即 y＝－2x. 当 x0＝1 时，切线 l 的方程为 y－12－1＝2x－2×12，即 y＝2x. 所以过点 P(0，0)且与曲线 C 相切的切线方程为 y＝－2x 或 y＝2x.
规律方法： 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)写出切线方程，即 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所
求的切线平行于 y 轴，所以直线的切线方程为 x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
1.1.3 导数的几何意义
学习目标 1．理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲 线切线方程的方法． 2．通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观 察、分析、比较和归纳的能力．并通过对问题的探究体会 逼近、类比、由己知探讨未知、从特殊到一般的数学思想 方法．
重点难点 重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意 义解决相关问题． 难点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程 的求解．
类型3：求函数的平均变化率
例3：已知曲线C：f(x)＝x2＋1，求过点P(0，0)且与 曲线C相切的切线l的方程．
解：设切点 P0(x0，y0)，则
f′(x0)＝
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
＝
（x0＋Δx）2＋1－（x20＋1） Δx
高中数学1.1.3 导数的几何意义 (1)优秀课件
继续观察图1.1 2,可以发现,
在点P附近, PP2比PP1更贴近曲线 f x, PP3 比 PP2 更贴近曲线 f x 过点P的切线 PT 最贴近点P附近的曲线 f x.因此,在点 P 附近,曲线 f x 就可以用过点P的切线
PT近似代替.
P1
P2 P3 P4
数学上常用简单的对象刻画复杂的对象 .例
导数的几何意义: 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义， 就是曲线y＝f(x)在点 P( x0, f ( x0 )) 处的切线的斜率． 也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率是
f '( x0 ) 相应地，切线方程为:
y y0 f '( x0 )(x x0 ) .
3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图1-1-9所示，则y＝f(x) 在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：
f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)． [解析] f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处 的切线斜率， 由图象可得f′(a)＞f′(b)． [答案] ＞
[规律方法] 利用导数的几何意义求切线方程的方法 求在点x0，y0处的切线方程，先求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数，然后 根据直线的点斜式方程，得切线方程 y－y0＝f′x0x－x0.
跟踪练习：求 y x2 x 在点 P（1,2）处的切线方程。
[解]
y
lim
x0
y x
lim
x0
f
x
[规律方法] 1.本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处 的导数，进而求出切点的横坐标
2.根据切线斜率求切点坐标的步骤 1设切点坐标x0，y0； 2求导函数f′x； 3求切线的斜率f′x0； 4由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； 5x0代入fx求y0得切点坐标.
第一章1.1.3导数的几何意义ppt课件
＋4＝0平行，求P点的坐标及切线方程．
上
页
导 数 及 其
【分析】 解答本题可先设切点坐标，再利用 切线斜率及切点在抛物线上列方程组求解．
下 页
应
用
规律方法总结 随堂即时巩固 课时活页训练
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【解】 设点 P(x0，y0)．由
第 一 章
y′＝li m Δx→ 0
Δy Δx
＝li m Δx→ 0
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课堂互动讲练
第 一
题型一 导数定义的应用
章
例1 设函数 f(x)在点 x0 处可导，试求下列各极限的值． 上
导 数
(1) lim Δx→0
fx0－Δx－fx0； Δx
及 其
(2)lim h→0
fx0＋h2－hfx0－h.
页
下 页
应
用
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第 一 章
解析：选 D.lim h→0
fa＋3h－fa－h 2h
＝lim h→0
fa＋3h－fa＋fa－fa－h 2h
上 页
导
数 及
＝lim h→0
f a＋33hh－fa·32＋f a－－hh－fa·12
其
下 页
应 用
＝32·f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．
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第
一 章
【点评】 求曲线的切线要注意“过点P的切线”
与“P点处的切线”的差异：过点P的切线中，点
上
页
导 P不一定是切点，点P也不一定在曲线上；而在点
《导数的几何意义》课件
热量与温度
在热传导问题中，导数的几何意义可以帮助 理解热量在物体中的传递和分布。温度是热 量的度量，而物体中的温度梯度（即温度随
位置的变化率）可以用导数来表示。
经济问题
要点一
供需关系
在经济学中，导数可以用来分析供需关系的变化。需求函 数或供给函数的导数可以描述价格与需求量或供给量之间 的变化率，帮助理解市场的均衡状态和价格调整机制。
隐函数求导
方法
通过对方程两边求导来求解隐函数的导数。
注意事项
在求导过程中，需要保持方程两边的等价关 系，并注意复合函数的求导法则。
04
导数在实际问题中的应用
物理问题
速度与加速度
在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的 运动状态。速度是位置函数的导数，表示物 体在单位时间内通过的距离；而加速度是速 度函数的导数，表示物体速度变化的快慢。
02 导数可以用来求解微分方程，通过对方程进行求 导和积分，可以得到微分方程的解。
03 微分方程是描述物理现象的重要工具，通过求解 微分方程，可以了解物理现象的变化规律。
THANKS
感谢观看
信号处理
在信号处理和图像处理中，导数起着关键作用。信号的强度随时间的变化率可以用导数 来描述，而图像的边缘和轮廓可以通过求导来检测。此外，导数还可以用于图像的锐化
和模糊处理等操作。
05
导数的扩展知识
高阶导数
01
定义
高阶导数是函数导数的连续函数 ，表示函数在某一点的n阶导数 。
02
03
应用
计算方法
导数的性质
总结词
导数具有一些基本的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有可加性、可乘性和链式法则等基本性质。这些性质是导数运算的基础，有助于理解和计算复杂的导数表 达式。
导数的几何意义课件.ppt
曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点 P可以是切点，也可以不是切点，且这样的直线可能有多条
三、曲线的切线的求法 若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点 P(x0，y0)是
切点和不是切点两种情况求解． (1)点 P(x0，y0)是切点的切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)当点 P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标 P′(x1，f(x1))． 第二步：写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)． 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1. 第四步：将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点 P(x0，y0)
考纲要求
1、了解导数概念的实际背景． 2、理解导数的几何意义． 3、能根据导数定义，求函数 y＝c(c)为常数，y＝x，y＝x2，y＝x3，
y＝1x，y＝ x的导数． 4、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求
简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复 合函数)的导数．
的切线方程．
（一）导数与斜率
例 1、曲线 y＝sinxs＋ inxcosx－12在点 M(π4，0)处的切线的斜率为___．
例 2、(2010 年辽宁)已知点 P 在曲线 y＝ex＋4 1上，α 为曲线在点 P 处 的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是( ) A．[0，π4) B．[π4，π2) C．(π2，34π] D．[34π，π)
位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
二、曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0) 的切线的区别：
三、曲线的切线的求法 若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点 P(x0，y0)是
切点和不是切点两种情况求解． (1)点 P(x0，y0)是切点的切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)当点 P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标 P′(x1，f(x1))． 第二步：写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)． 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1. 第四步：将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点 P(x0，y0)
考纲要求
1、了解导数概念的实际背景． 2、理解导数的几何意义． 3、能根据导数定义，求函数 y＝c(c)为常数，y＝x，y＝x2，y＝x3，
y＝1x，y＝ x的导数． 4、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求
简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复 合函数)的导数．
的切线方程．
（一）导数与斜率
例 1、曲线 y＝sinxs＋ inxcosx－12在点 M(π4，0)处的切线的斜率为___．
例 2、(2010 年辽宁)已知点 P 在曲线 y＝ex＋4 1上，α 为曲线在点 P 处 的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是( ) A．[0，π4) B．[π4，π2) C．(π2，34π] D．[34π，π)
位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
二、曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0) 的切线的区别：
课件1：3.1.3 导数的几何意义
12Δx2Δ＋xx·Δx＝Δlixm→0
x＋12Δx＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点 P1，－32处切线的斜率为 1，则切线的倾斜角为π4.
2．(2012～2013 学年度云南玉溪一中高二期末测试)函数
f(x)＝x2－2x＋1 在点(1,0)处的切线方程是( )
A．y＝x
B．y＝1
C．x＝0
D．y＝0
2．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率． 导数的物理意义：物体的运动方程 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体在 t0 时刻的瞬时速度．
3．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系
[答案] D
[解析] ∵f′(x)
＝ lim Δx→0
x＋Δx2－2x＋Δx＋1－x2＋2x－1 Δx
＝ lim Δx→0
Δx2＋2Δxx－1 Δx Nhomakorabea＝lim (Δx＋2x－2) Δx→0
＝2x－2，
∴f′(1)＝0，
∴切线的斜率 k＝0，即切线方程为 y＝0，故选 D.
3．曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为
[解析] (1)∵f′(x)
＝ lim Δx→0
x＋ΔΔxx3－x3＝Δlixm→0
Δx3＋3x2·Δx＋3x·Δx2 Δx
＝ lim [(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2， Δx→0
∴f′(1)＝3×12＝3，又 f(1)＝13＝1， ∴切线方程为 y－1＝3(x－1)， 即 3x－y－2＝0. (2)设切点为 P(x0，x20)， 由(1)知切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x02， 故切线方程为 y－x20＝3x02(x－x0)． 又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1－x20＝3x20(1－ x0)， 即 2x03－3x20＋1＝0，
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
正式)113导数的几何意义
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线下降,即函数ht在t t1附近也
t
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f 't 0.4 0 0.7 1.4
15
三、函数的导函数：
16
作业：如图,已知曲线
y
1 3
x 3上 一 点P (2,
83,)求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
17
1.1.3导数的 几何意义1
1
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时,割线PPn的 变化 趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
1
y
y fx
P2 T
O
x
2
y
y fx
y
y fx
P3
P O
3
T
x
O
图1.1 2
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y
|x1
lim
x0
[(1
x)2
1] x
(12
1)
lim 2x x2 2 x0 x
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线下降,即函数ht在t t1附近也
t
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f 't 0.4 0 0.7 1.4
15
三、函数的导函数：
16
作业：如图,已知曲线
y
1 3
x 3上 一 点P (2,
83,)求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
17
1.1.3导数的 几何意义1
1
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时,割线PPn的 变化 趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
1
y
y fx
P2 T
O
x
2
y
y fx
y
y fx
P3
P O
3
T
x
O
图1.1 2
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y
|x1
lim
x0
[(1
x)2
1] x
(12
1)
lim 2x x2 2 x0 x
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
高中数学 113 导数的几何意义课件 新人教版选修22
得方程k＝f′(x0)＝4.解方程得x0.代入y＝x2，得y0，从而得切线 方程．
第二十一页，共35页。
【解】 设P点的坐标为(x0，y0)，
∵y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝Δlixm→0
(2x＋Δx)＝2x，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴y′|x＝x0＝2x0.
由切线与直线4x－y＋2＝0平行，
∴f′(3)＝lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(6＋Δx)＝6.
∴点(3,9)处的切线方程为y－9＝6(x－3)，
即y＝6x－9.
切线与两坐标轴的交点分别为(32，0)，(0，－9)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为
S＝12×32×9＝247.
第二十五页，共35页。
规律技巧 曲线y＝f(x)的导数与切线的关系．若曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行 或重合；若f′(x0)>0，则切线与x轴正方向夹角是锐角；若 f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；若f′(x0)＝0，则 切线与x轴平行或重合.
【例1】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点． 【分析】 先求出函数y＝x3在x＝1处的导数，即切线的 斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
第十二页，共35页。
【解】 (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴时(此 时导数不存在)，切线方程为x＝x0.
第二十一页，共35页。
【解】 设P点的坐标为(x0，y0)，
∵y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝Δlixm→0
(2x＋Δx)＝2x，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴y′|x＝x0＝2x0.
由切线与直线4x－y＋2＝0平行，
∴f′(3)＝lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(6＋Δx)＝6.
∴点(3,9)处的切线方程为y－9＝6(x－3)，
即y＝6x－9.
切线与两坐标轴的交点分别为(32，0)，(0，－9)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为
S＝12×32×9＝247.
第二十五页，共35页。
规律技巧 曲线y＝f(x)的导数与切线的关系．若曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行 或重合；若f′(x0)>0，则切线与x轴正方向夹角是锐角；若 f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；若f′(x0)＝0，则 切线与x轴平行或重合.
【例1】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点． 【分析】 先求出函数y＝x3在x＝1处的导数，即切线的 斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
第十二页，共35页。
【解】 (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴时(此 时导数不存在)，切线方程为x＝x0.
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O
x
2
y
y fx
y
y fx
P3
T
P 第2页/共25页
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
一、曲线上一点的切线的定义
y=f(x)
割
y
线 Q
T 切线
P
o
结论:当Q点无限第3页逼/共2近5页 P点时,此时 直点线P处PQ的就割是线与P点切处线存的在切什线么P关T系. ？
x
动画演示割线变化趋势.
x
在x＝x
处的瞬时变化率，
0
反映了函数在x＝x
附近的变化情况。
0
其几何意义是？
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时, 割 线PPn的 变化 趋势是
什 么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
1
y
y fx
P2 T
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,
称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来第9页判/共断25页与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.
观察图像，可以发现，在点P附近，
Q1
Q2
Q3 Q4
PQ2比PQ1更贴紧曲线f x，
PQ3比PQ2更贴紧曲线f x，
PQ
4比PQ
更
3
贴
紧曲线f
x
，
T 过点P的切线PT最贴紧点P
附近的曲线f x。因此，在点P附近，
曲线f x就可以用过点P的切线PT
近似代替。这是微积分中的重要思
第x7页/共想25方页 法－－以直代曲！
题型三：导数的几何意义的应用
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f (x0 ) f (x0)( x x0 )
数学上常用简单的对象刻画复杂的对象.例
如 ,用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里,
我们用曲线上某点处的切线 近似代替 这 点 附 近 的 曲 线, 这 是 微 积 分 中 重 要 的 思想 方 法
以直代曲.
第8页/共25页
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
第10页/共25页
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
解：y
|x1
lim
x0
3(1
x)2 x
3 12
lim 3x2 6x
x0
x
lim 3(x 2) 6 x0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y |x1
lim [(1 x)2
较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线第下13页降/共,即25页函数h t 在t t1附近也
此处切线定义与以前的定义有何不同？
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
第种5页/曲共25线页 。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y ＝ x
f ( x x) x
一、复习
导数的定义
函数y＝f x在x＝x0处的导数，记作：f x0 或y x＝x0
即：f
x
0
＝ lim x0
y x
＝ lim x0
f
x０＋x－f
x
x０
其中：⑴
y ＝ｆｘ０＋ｘ－ｆｘ０ 表示“平均变化率”
x
ｘ
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
2 f
x
0
＝ lim x0
第y 1表页示/共函25页数f x
x0
1] (12 1) x第11页/共25页
lim 2x x2 x0 x
2
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
例2 如图1.1 3,它表 h 示跳水运动中高度随
时间变化的函数 h t
4.9t2 6.5 t 10的 图象.根 据图象,请描
O
述、比较曲线ht在t0 ,
t1 , t2附近的变化情况.
l0 l1
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
利用曲线在动点的切线,刻画曲线在动点附近
的变化情况. 第12页/共25页
解 我们用曲线hx在t0 ,t1,t2 处的切线,刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
h
1当t t0时,曲线ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
单调递减. 从图1.1 3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜
程度, 这说明曲线ht在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
根据图像，请描述、比
较曲线
ht
在t
3、t
附近的变化情况。
4
函数在t
3、t
处的切线的
4
斜率均大于0，所以在两 h
点附近曲线上升，即函
数在两点附近单调递增。
o t 3t 4
t
第14页/共25页
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点
及邻近一
y
Q
点P(Qx0(,xy00+)△x,y0+△y) ,过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
P △x o
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
x 限位第置4页P/共T2,5页那么直线PT叫做曲线在 点P处的切线。
f (x)
y=f(x)
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
PQ的斜率的极限，就是曲线
△y
在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
第x 6页/共25页
lim lim 所以：k＝ y
f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
继续观察图像的运动过程，还有什么发现？
y
P o
y=f(x)