113导数的几何意义1PPT教学课件
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第10页/共25页
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
解：y
|x1
lim
x0
3(1
x)2 x
3 12
lim 3x2 6x
x0
x
lim 3(x 2) 6 x0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y |x1
lim [(1 x)2
较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线第下13页降/共,即25页函数h t 在t t1附近也
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,
称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来第9页判/共断25页与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.
题型三：导数的几何意义的应用
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f (x0 ) f (x0)( x x0 )
O
x
2
y
y fx
y
y fx
P3
T
P 第2页/共25页
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
一、曲线上一点的切线的定义
y=f(x)
割
y
线 Q
T 切线
P
o
结论:当Q点无限第3页逼/共2近5页 P点时,此时 直点线P处PQ的就割是线与P点切处线存的在切什线么P关T系. ？
x
动画演示割线变化趋势.
x0
1] (12 1) x第11页/共25页
lim 2x x2 x0 x
2
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
例2 如图1.1 3,它表 h 示Hale Waihona Puke Baidu水运动中高度随
时间变化的函数 h t
4.9t2 6.5 t 10的 图象.根 据图象,请描
O
述、比较曲线ht在t0 ,
t1 , t2附近的变化情况.
单调递减. 从图1.1 3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜
程度, 这说明曲线ht在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
根据图像，请描述、比
较曲线
ht
在t
3、t
附近的变化情况。
4
函数在t
3、t
处的切线的
4
斜率均大于0，所以在两 h
点附近曲线上升，即函
数在两点附近单调递增。
o t 3t 4
t
第14页/共25页
数学上常用简单的对象刻画复杂的对象.例
如 ,用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里,
我们用曲线上某点处的切线 近似代替 这 点 附 近 的 曲 线, 这 是 微 积 分 中 重 要 的 思想 方 法
以直代曲.
第8页/共25页
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
l0 l1
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
利用曲线在动点的切线,刻画曲线在动点附近
的变化情况. 第12页/共25页
解 我们用曲线hx在t0 ,t1,t2 处的切线,刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
h
1当t t0时,曲线ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点
及邻近一
y
Q
点P(Qx0(,xy00+)△x,y0+△y) ,过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
P △x o
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
x 限位第置4页P/共T2,5页那么直线PT叫做曲线在 点P处的切线。
观察图像，可以发现，在点P附近，
Q1
Q2
Q3 Q4
PQ2比PQ1更贴紧曲线f x，
PQ3比PQ2更贴紧曲线f x，
PQ
4比PQ
更
3
贴
紧曲线f
x
，
T 过点P的切线PT最贴紧点P
附近的曲线f x。因此，在点P附近，
曲线f x就可以用过点P的切线PT
近似代替。这是微积分中的重要思
第x7页/共想25方页 法－－以直代曲！
x
在x＝x
处的瞬时变化率，
0
反映了函数在x＝x
附近的变化情况。
0
其几何意义是？
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时, 割 线PPn的 变化 趋势是
什 么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
1
y
y fx
P2 T
f (x)
y=f(x)
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
PQ的斜率的极限，就是曲线
△y
在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
第x 6页/共25页
lim lim 所以：k＝ y
f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
继续观察图像的运动过程，还有什么发现？
y
P o
y=f(x)
一、复习
导数的定义
函数y＝f x在x＝x0处的导数，记作：f x0 或y x＝x0
即：f
x
0
＝ lim x0
y x
＝ lim x0
f
x０＋x－f
x
x０
其中：⑴
y ＝ｆｘ０＋ｘ－ｆｘ０ 表示“平均变化率”
x
ｘ
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
2 f
x
0
＝ lim x0
第y 1表页示/共函25页数f x
此处切线定义与以前的定义有何不同？
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
第种5页/曲共25线页 。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y ＝ x
f ( x x) x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
解：y
|x1
lim
x0
3(1
x)2 x
3 12
lim 3x2 6x
x0
x
lim 3(x 2) 6 x0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y |x1
lim [(1 x)2
较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线第下13页降/共,即25页函数h t 在t t1附近也
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,
称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来第9页判/共断25页与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.
题型三：导数的几何意义的应用
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f (x0 ) f (x0)( x x0 )
O
x
2
y
y fx
y
y fx
P3
T
P 第2页/共25页
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
一、曲线上一点的切线的定义
y=f(x)
割
y
线 Q
T 切线
P
o
结论:当Q点无限第3页逼/共2近5页 P点时,此时 直点线P处PQ的就割是线与P点切处线存的在切什线么P关T系. ？
x
动画演示割线变化趋势.
x0
1] (12 1) x第11页/共25页
lim 2x x2 x0 x
2
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
例2 如图1.1 3,它表 h 示Hale Waihona Puke Baidu水运动中高度随
时间变化的函数 h t
4.9t2 6.5 t 10的 图象.根 据图象,请描
O
述、比较曲线ht在t0 ,
t1 , t2附近的变化情况.
单调递减. 从图1.1 3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜
程度, 这说明曲线ht在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
根据图像，请描述、比
较曲线
ht
在t
3、t
附近的变化情况。
4
函数在t
3、t
处的切线的
4
斜率均大于0，所以在两 h
点附近曲线上升，即函
数在两点附近单调递增。
o t 3t 4
t
第14页/共25页
数学上常用简单的对象刻画复杂的对象.例
如 ,用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里,
我们用曲线上某点处的切线 近似代替 这 点 附 近 的 曲 线, 这 是 微 积 分 中 重 要 的 思想 方 法
以直代曲.
第8页/共25页
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
l0 l1
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
利用曲线在动点的切线,刻画曲线在动点附近
的变化情况. 第12页/共25页
解 我们用曲线hx在t0 ,t1,t2 处的切线,刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
h
1当t t0时,曲线ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点
及邻近一
y
Q
点P(Qx0(,xy00+)△x,y0+△y) ,过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
P △x o
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
x 限位第置4页P/共T2,5页那么直线PT叫做曲线在 点P处的切线。
观察图像，可以发现，在点P附近，
Q1
Q2
Q3 Q4
PQ2比PQ1更贴紧曲线f x，
PQ3比PQ2更贴紧曲线f x，
PQ
4比PQ
更
3
贴
紧曲线f
x
，
T 过点P的切线PT最贴紧点P
附近的曲线f x。因此，在点P附近，
曲线f x就可以用过点P的切线PT
近似代替。这是微积分中的重要思
第x7页/共想25方页 法－－以直代曲！
x
在x＝x
处的瞬时变化率，
0
反映了函数在x＝x
附近的变化情况。
0
其几何意义是？
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时, 割 线PPn的 变化 趋势是
什 么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
1
y
y fx
P2 T
f (x)
y=f(x)
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
PQ的斜率的极限，就是曲线
△y
在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
第x 6页/共25页
lim lim 所以：k＝ y
f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
继续观察图像的运动过程，还有什么发现？
y
P o
y=f(x)
一、复习
导数的定义
函数y＝f x在x＝x0处的导数，记作：f x0 或y x＝x0
即：f
x
0
＝ lim x0
y x
＝ lim x0
f
x０＋x－f
x
x０
其中：⑴
y ＝ｆｘ０＋ｘ－ｆｘ０ 表示“平均变化率”
x
ｘ
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
2 f
x
0
＝ lim x0
第y 1表页示/共函25页数f x
此处切线定义与以前的定义有何不同？
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
第种5页/曲共25线页 。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y ＝ x
f ( x x) x