河北省保定一中2020届高三数学上学期第二次阶段测试试题文【含答案】
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13.若对任意的 x R ,不等式 x 1 x 2 2a 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为
________. π
14.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 3 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2=________
15.已知 a, b, c 分别为 ABC 三个内角 A, B,C 的对边, a 2 ,且
f x 2 f x
y f x
且
,所以,
,所以,函数
的周期为
2,
y
由于函数
f
x 为奇函数,则
f
0 0 ,则
f
2
f
4 0 ,
y f x
y sin x
作出函数
与函数
的图象如
下图所示:
Q
f
1 2
log2
1 2
1
,
f
1 2
f
1 2
1
,
于是得出
f
7 2
f
3 2
f
1 2
6.执行如图所示的程序框图,则输出的 i ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
f (x) ln | x | 1
7.函数
x 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8.设函数 f x x3 a 1x2 ax .若
f
x
y
为奇函数,则曲线
f
x
在点
0,
0 处的切
线方程为( )
A. y 2x
B. y x
2x
0
上述不等式同解于
x 0 1 3x
0
,即
x
0
2 x 0
①,或
1
3x
0
,即
2
x
1 3
②,或
x 2 x 3 0
,即
x
≤
2
③,
由①②③得不等式的解集为
x x1 3或
x 0
g x
(2)
f
x
1 m
x
1 m
m
px x m x 1 m
m
x m x 1 m 2m 1
河北省保定一中 2020 届高三数学上学期第二次阶段测试试题 文
说明:
1.本试卷有选择题和非选择题两部分构成,其中选择题 60 分,非选择题 90 分,总分 150 分. 考试时间120 分钟.
2. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.
4 的值为(
)
2 A. 3
1 B. 3
2 C. 7
1 D. 7
11. 函数 f (x) ax1 2(a 0, a 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ny 1 0 上,
1 2 其中m > 0,n > 0,则 m n 的最小值为( )
A. 3 + 2 2
B.5
C.6
D.4
12.已知定义在
x1 x2
的最大值为
1 e
,求
x1
x2
的最小值.
保定一中 2019-2020 学年第一学期高三年级第二次阶段考试
理科数学试卷答案
ABBDB CADCD AD
,,12 , -6,
3, 1
3
f 2 x f x 0
y f x
1, 0
11. 由
可知函数
的图象关于点 成中心对称,
f 2 x f x f x
1
,
f
5 2
f
1 2
1
,
由图象可知,函数
y
f
x 与函数
y
sin
x
在区间
1,
m上从左到右10
个交点的横坐
1
1
3
5
7
标分别为 1、 2 、 0 、 2 、1、 2 、 2 、 2 、 3 、 2 ,第11个交点的横坐标为 4 ,
因此,实数 m 的取值范围是3.5, 4,故选:A。
12.
17.
19.试题解析:( )∵
,
,对称轴 ,开口向上,
当 时,取得最小值为 质.
,∴
,∴函数 在 上具有“ ”性
()
,
,其图象的对称轴方程为 .
① 当 ,即 时,
.
若函数 具有“ ”性质,则有 总成立,即 .
②当
,即
时,
.
若函数 具有“ ”性质,则有
总成立,解得 无解.
③当 则有
,即 时, ,解得 无解.
R
上的奇函数
f
(x)
,满足
f
(2
x)
f
(x)
0
,当
x 0,1 时,
f
(x)
log2
x ,若函数 F x
f
(x)
sin
x
,在区间
1,m上有
10 个零点,则 m 的
取值范围是( )
A. 5,5.5
B. 3.5, 4
C. 5,5.5
D. 3.5,4
第Ⅱ卷 非选择题(90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
C. y 2x
D. y x
9..已知在各项为正数的等比数列{an}中, a2 与 a8 的等比中项为 8,则 4a3 a7 取最小值时,
首项 a1 ( )
A.8
B.4
C.2
D.1
10.已知:
a
(cos
2 ,sin ) , b
(1, 2sin
1) ,
(
2
, )
a
b
,若
2 5
则
tan( )
1
1
3
18. (1)S 2 acsinB 2 ac• 2
3 ,∴ac=4,又 a2 c2 2b2 , b2 =
a2 c2 2accosB ,
∴ b2 ac 4 ,∴b=2,从而 a c2 = a2 c2 2ac 64 ⇒ a c 8 ∴ a c 2 ,
故可得:
a1 d
2 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.)
17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的 2
图象与
x
轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
2
,且图象上一个最低点为
M
2 3
,
2
(1)求函数 f(x)的解析式.(2)写出函数 f(x)的单调递增区间.
5 4
a
3
时,
g
x 在(0,1)有一个零
点;
综上可得,a<
3 4
时,
g
x 在(0,1)无零点;当
a=
3 4
或
a≥
5 4
时,
g
x 在(0,1)有一
个零点;当
3 4
<a<
5 4
时,
g
x
在(0,1)有两个零点.
21,(1) m 2
f
x
x2
不等式
f
x1
2x
1
即为
x 2 1 1
2x
,即
x
2 1 2x
的解集为
D,有下面四个命题:
p1:∀(x,y) ∈ D,x + 2y ≥ −2,p2:∃(x,y) ∈ D,x + 2y ≥ 2, p3:∀(x,y) ∈ D,x + 2y ≤ 3 p4:∃(x,y) ∈ D,x + 2y ≤ −1,
D.c < b < a
其中的真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p3 D.p1,p4
2 b(sin A sin B) (c b) sin C ,则 ABC 面积的最大值为____________.
16.已知函数
f
(x)
x2
2x 3a, g(x)
2 , 若对任意 x 1
x1 [0, 3] ,总存在
x2
[2,3] ,使
得 f (x1) g(x2 ) 成立,则实数 a 的值为____.
.
上单调递增.
(Ⅱ)
.
∵ 有三个极值点
∴ 有三个零点,1 为一个零点,其他两个则为 的零点,由(Ⅰ)知 .
∵
∴ 的两个零点即为 的最小和最大极值点 , ,即
.
∴
令 ,由题知
.
∴
,
,
∴
令
,
,则
则
.
∴ 在 上单调递增∴
,令
,
∴ 在 上单调递减
∴
故
的最小值为 .
m
m
p x 2m 1
m
p x 2m 1
m 1
m
h
m
2m
1 m
在区间
1,
上是增函数
px 3
hm 3
22.解:(Ⅰ)
,
令
,,
∵ 有两个极值点
∴
有两个不等的正实根
∵ ∴当 时, 当 时,当
,在 时,
上单调递增,不符合题意.
,当
时,
,
∴在
上单调递减,在
又∵
,当 → 时, →
∴
∴
综上, 的取值范围是
(2)
4
,
当
a
3
时,
g
x
3x2
a>0
,
g
x
在(0,1)递增,可得
g
0
1 4
<0
,
g
1
a
5 4
>0
,
g
x 有一个零点;
当
a
0
时,
g
x
<0
,
g
x
在(0,1)递减,
g
0<0,<g 1
0
,
g x 在(0,1)无零点;
a
a
当 0<a<
3 时,
g
x 在(0,
3 )递增,在(
3 ,1)递减,
可得
g
x 在(0,1)的最大值为
,若函数 具有“ ”性质,
综上所述,若
在
上具有“ ”性质,则 .
20.(1)
f
(x)
x2
a
1 4x
的导数为
f
( x)
2x
1 4x2
,
设切点为 x0,0,可得
f
x0 0,f x0 0 ,即 x02
a
1 4 x0
0,
2x0
1 4 x02
0
,
解得
x0
1 2
,
a3 4;
g(x) xf (x) x3 ax 1 , g '(x) 3x2 a, 0 x 1
y1 A. x
y x 1
B.
C. y lg x
D.
y
1 2
x
4.已知函数
f
(x)
x
1 x
,若 a
f
(log
2 6)
b
,
f
(log2
2 9
)
,
c
f
(30.5 ) ,则a,b,c的
大小关系为( )
A.a < b < c
B.b < a < c
C.c < a < b
x y 1
5.不等式组
x
2
y
4
,∴
an
=2+2(n﹣1)=2n;∵ Tn
2bn
1
0
,∴当
n=1
时,
b1
1,
当 n≥2 时, Tn1 2bn1 1 0 ,两式相减,得 bn 2bn1 ,(n≥2)∴数列{ bn }为等比数列,
∴ bn 2n1 . (2)由(1)得 cn 2n 2n1 n 2n ,∴ Sn = a1 • b1 + a2 • b2 +…+ an • bn =1×21+2×21+3×21+…+ n 2n ,∴2 Sn =1×22+2×23+3×24+…+n2n+1, ∴﹣ Sn =1×21+(22+23+…+2n)﹣n2n+1, 即:﹣ Sn =(1-n)2n+1-2, ∴ Sn =(n﹣1)2n+1+2.
p(x) 3.
f (x) ln x m 1 (m R)
22. (本小题满分 12 分)已知函数
ex
,其中无理数e = 2.718⋯.
(1)若函数 f (x) 有两个极值点,求m的取值范围;
(2)若函数
g(
x)
(
x
2)ex
1 3
mx3
1 2
mx2
的极值点有三个,最小的记为
x1
,最大的记为
x2
,若
(1)求数列
an
,bn
的通项公式;
(2)若 cn anbn ,求数列 cn 的前 n 项和 Sn .
19.(本小题满分 12 分)定义:已知函数 f (x) 在m, n (m n) 上的最小值为 t,若 t m 恒
成立,则称函数 f (x) 在m, n (m n) 上具有“DK”性质.
(2)设函数 g x xf x,讨论 g x在区间(0,1)上零点的个数.
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) | x m | (m 1) .
f (x) 1 1
(1)当 m 2 时,求不等式 2x
的解集;
g(x)
(2)设
f (x
1 )
m ,记
p(x)
f
(x) g(x) ,证明:
(1)判断函数 f (x) x2 2x 2 在1, 2上是否具有“DK”性质?说明理由.
(2)若 f (x) x2 ax 2 在a, a 1上具有“DK”性质,求a的取值范围.
f x x2 a 1
20.(本小题满分 12 分)已知函数
4x .
(1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y f x的切线;
3.考试过程中考生答题必须使用 0.5 毫米黑色水笔作答,答案必须写在指定的答题区域,
在其它区域作答无效.
第Ⅰ卷 Hale Waihona Puke Baidu择题(60 分)
一、选择题(本大题有 12 个小题,每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合要求)
A
1.1.设集合
x
x2 2
,B
x x2 3x 2 0
.则 A CR B =(
)
A.(0,1] ∪ [2,4)
B.(1,2)
C.∅
D.(−∞,0) ∪ (4, + ∞)
1 i 2.复数 i3 ( i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
g
a 3
2a 3
a 1 34
,
①若 g
a 3 <0,即 0<a<
3
4
,
g
x
在(0,1)无零点;
②若 g
a 3
=0,即
a
3 4
,
g
x 在(0,1)有一个零点;
③若 g
a 3
>0,即
3 4
a
3,
g (0)
0,
g (1)
a
5 4
,
当
3 4
a
5 4
时,
g
x 在(0,1)有两个零点;当
(3)当
x∈
12
,
2
时,求
f(x)的值域.
18.(本小题满分 12 分)已知 a,, b c 分别为△ABC 的三内角 A,B,C 的对边,其面积
S
3,B, 60
a2
c2
2b2
,在等差数列
an
中,
a1
a
,公差
d
b
.数列
bn
的
前 n 项和为 Tn ,且 Tn 2bn 1 0,n N* .
________. π
14.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 3 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2=________
15.已知 a, b, c 分别为 ABC 三个内角 A, B,C 的对边, a 2 ,且
f x 2 f x
y f x
且
,所以,
,所以,函数
的周期为
2,
y
由于函数
f
x 为奇函数,则
f
0 0 ,则
f
2
f
4 0 ,
y f x
y sin x
作出函数
与函数
的图象如
下图所示:
Q
f
1 2
log2
1 2
1
,
f
1 2
f
1 2
1
,
于是得出
f
7 2
f
3 2
f
1 2
6.执行如图所示的程序框图,则输出的 i ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
f (x) ln | x | 1
7.函数
x 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8.设函数 f x x3 a 1x2 ax .若
f
x
y
为奇函数,则曲线
f
x
在点
0,
0 处的切
线方程为( )
A. y 2x
B. y x
2x
0
上述不等式同解于
x 0 1 3x
0
,即
x
0
2 x 0
①,或
1
3x
0
,即
2
x
1 3
②,或
x 2 x 3 0
,即
x
≤
2
③,
由①②③得不等式的解集为
x x1 3或
x 0
g x
(2)
f
x
1 m
x
1 m
m
px x m x 1 m
m
x m x 1 m 2m 1
河北省保定一中 2020 届高三数学上学期第二次阶段测试试题 文
说明:
1.本试卷有选择题和非选择题两部分构成,其中选择题 60 分,非选择题 90 分,总分 150 分. 考试时间120 分钟.
2. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.
4 的值为(
)
2 A. 3
1 B. 3
2 C. 7
1 D. 7
11. 函数 f (x) ax1 2(a 0, a 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ny 1 0 上,
1 2 其中m > 0,n > 0,则 m n 的最小值为( )
A. 3 + 2 2
B.5
C.6
D.4
12.已知定义在
x1 x2
的最大值为
1 e
,求
x1
x2
的最小值.
保定一中 2019-2020 学年第一学期高三年级第二次阶段考试
理科数学试卷答案
ABBDB CADCD AD
,,12 , -6,
3, 1
3
f 2 x f x 0
y f x
1, 0
11. 由
可知函数
的图象关于点 成中心对称,
f 2 x f x f x
1
,
f
5 2
f
1 2
1
,
由图象可知,函数
y
f
x 与函数
y
sin
x
在区间
1,
m上从左到右10
个交点的横坐
1
1
3
5
7
标分别为 1、 2 、 0 、 2 、1、 2 、 2 、 2 、 3 、 2 ,第11个交点的横坐标为 4 ,
因此,实数 m 的取值范围是3.5, 4,故选:A。
12.
17.
19.试题解析:( )∵
,
,对称轴 ,开口向上,
当 时,取得最小值为 质.
,∴
,∴函数 在 上具有“ ”性
()
,
,其图象的对称轴方程为 .
① 当 ,即 时,
.
若函数 具有“ ”性质,则有 总成立,即 .
②当
,即
时,
.
若函数 具有“ ”性质,则有
总成立,解得 无解.
③当 则有
,即 时, ,解得 无解.
R
上的奇函数
f
(x)
,满足
f
(2
x)
f
(x)
0
,当
x 0,1 时,
f
(x)
log2
x ,若函数 F x
f
(x)
sin
x
,在区间
1,m上有
10 个零点,则 m 的
取值范围是( )
A. 5,5.5
B. 3.5, 4
C. 5,5.5
D. 3.5,4
第Ⅱ卷 非选择题(90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
C. y 2x
D. y x
9..已知在各项为正数的等比数列{an}中, a2 与 a8 的等比中项为 8,则 4a3 a7 取最小值时,
首项 a1 ( )
A.8
B.4
C.2
D.1
10.已知:
a
(cos
2 ,sin ) , b
(1, 2sin
1) ,
(
2
, )
a
b
,若
2 5
则
tan( )
1
1
3
18. (1)S 2 acsinB 2 ac• 2
3 ,∴ac=4,又 a2 c2 2b2 , b2 =
a2 c2 2accosB ,
∴ b2 ac 4 ,∴b=2,从而 a c2 = a2 c2 2ac 64 ⇒ a c 8 ∴ a c 2 ,
故可得:
a1 d
2 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.)
17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的 2
图象与
x
轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
2
,且图象上一个最低点为
M
2 3
,
2
(1)求函数 f(x)的解析式.(2)写出函数 f(x)的单调递增区间.
5 4
a
3
时,
g
x 在(0,1)有一个零
点;
综上可得,a<
3 4
时,
g
x 在(0,1)无零点;当
a=
3 4
或
a≥
5 4
时,
g
x 在(0,1)有一
个零点;当
3 4
<a<
5 4
时,
g
x
在(0,1)有两个零点.
21,(1) m 2
f
x
x2
不等式
f
x1
2x
1
即为
x 2 1 1
2x
,即
x
2 1 2x
的解集为
D,有下面四个命题:
p1:∀(x,y) ∈ D,x + 2y ≥ −2,p2:∃(x,y) ∈ D,x + 2y ≥ 2, p3:∀(x,y) ∈ D,x + 2y ≤ 3 p4:∃(x,y) ∈ D,x + 2y ≤ −1,
D.c < b < a
其中的真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p3 D.p1,p4
2 b(sin A sin B) (c b) sin C ,则 ABC 面积的最大值为____________.
16.已知函数
f
(x)
x2
2x 3a, g(x)
2 , 若对任意 x 1
x1 [0, 3] ,总存在
x2
[2,3] ,使
得 f (x1) g(x2 ) 成立,则实数 a 的值为____.
.
上单调递增.
(Ⅱ)
.
∵ 有三个极值点
∴ 有三个零点,1 为一个零点,其他两个则为 的零点,由(Ⅰ)知 .
∵
∴ 的两个零点即为 的最小和最大极值点 , ,即
.
∴
令 ,由题知
.
∴
,
,
∴
令
,
,则
则
.
∴ 在 上单调递增∴
,令
,
∴ 在 上单调递减
∴
故
的最小值为 .
m
m
p x 2m 1
m
p x 2m 1
m 1
m
h
m
2m
1 m
在区间
1,
上是增函数
px 3
hm 3
22.解:(Ⅰ)
,
令
,,
∵ 有两个极值点
∴
有两个不等的正实根
∵ ∴当 时, 当 时,当
,在 时,
上单调递增,不符合题意.
,当
时,
,
∴在
上单调递减,在
又∵
,当 → 时, →
∴
∴
综上, 的取值范围是
(2)
4
,
当
a
3
时,
g
x
3x2
a>0
,
g
x
在(0,1)递增,可得
g
0
1 4
<0
,
g
1
a
5 4
>0
,
g
x 有一个零点;
当
a
0
时,
g
x
<0
,
g
x
在(0,1)递减,
g
0<0,<g 1
0
,
g x 在(0,1)无零点;
a
a
当 0<a<
3 时,
g
x 在(0,
3 )递增,在(
3 ,1)递减,
可得
g
x 在(0,1)的最大值为
,若函数 具有“ ”性质,
综上所述,若
在
上具有“ ”性质,则 .
20.(1)
f
(x)
x2
a
1 4x
的导数为
f
( x)
2x
1 4x2
,
设切点为 x0,0,可得
f
x0 0,f x0 0 ,即 x02
a
1 4 x0
0,
2x0
1 4 x02
0
,
解得
x0
1 2
,
a3 4;
g(x) xf (x) x3 ax 1 , g '(x) 3x2 a, 0 x 1
y1 A. x
y x 1
B.
C. y lg x
D.
y
1 2
x
4.已知函数
f
(x)
x
1 x
,若 a
f
(log
2 6)
b
,
f
(log2
2 9
)
,
c
f
(30.5 ) ,则a,b,c的
大小关系为( )
A.a < b < c
B.b < a < c
C.c < a < b
x y 1
5.不等式组
x
2
y
4
,∴
an
=2+2(n﹣1)=2n;∵ Tn
2bn
1
0
,∴当
n=1
时,
b1
1,
当 n≥2 时, Tn1 2bn1 1 0 ,两式相减,得 bn 2bn1 ,(n≥2)∴数列{ bn }为等比数列,
∴ bn 2n1 . (2)由(1)得 cn 2n 2n1 n 2n ,∴ Sn = a1 • b1 + a2 • b2 +…+ an • bn =1×21+2×21+3×21+…+ n 2n ,∴2 Sn =1×22+2×23+3×24+…+n2n+1, ∴﹣ Sn =1×21+(22+23+…+2n)﹣n2n+1, 即:﹣ Sn =(1-n)2n+1-2, ∴ Sn =(n﹣1)2n+1+2.
p(x) 3.
f (x) ln x m 1 (m R)
22. (本小题满分 12 分)已知函数
ex
,其中无理数e = 2.718⋯.
(1)若函数 f (x) 有两个极值点,求m的取值范围;
(2)若函数
g(
x)
(
x
2)ex
1 3
mx3
1 2
mx2
的极值点有三个,最小的记为
x1
,最大的记为
x2
,若
(1)求数列
an
,bn
的通项公式;
(2)若 cn anbn ,求数列 cn 的前 n 项和 Sn .
19.(本小题满分 12 分)定义:已知函数 f (x) 在m, n (m n) 上的最小值为 t,若 t m 恒
成立,则称函数 f (x) 在m, n (m n) 上具有“DK”性质.
(2)设函数 g x xf x,讨论 g x在区间(0,1)上零点的个数.
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) | x m | (m 1) .
f (x) 1 1
(1)当 m 2 时,求不等式 2x
的解集;
g(x)
(2)设
f (x
1 )
m ,记
p(x)
f
(x) g(x) ,证明:
(1)判断函数 f (x) x2 2x 2 在1, 2上是否具有“DK”性质?说明理由.
(2)若 f (x) x2 ax 2 在a, a 1上具有“DK”性质,求a的取值范围.
f x x2 a 1
20.(本小题满分 12 分)已知函数
4x .
(1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y f x的切线;
3.考试过程中考生答题必须使用 0.5 毫米黑色水笔作答,答案必须写在指定的答题区域,
在其它区域作答无效.
第Ⅰ卷 Hale Waihona Puke Baidu择题(60 分)
一、选择题(本大题有 12 个小题,每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合要求)
A
1.1.设集合
x
x2 2
,B
x x2 3x 2 0
.则 A CR B =(
)
A.(0,1] ∪ [2,4)
B.(1,2)
C.∅
D.(−∞,0) ∪ (4, + ∞)
1 i 2.复数 i3 ( i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
g
a 3
2a 3
a 1 34
,
①若 g
a 3 <0,即 0<a<
3
4
,
g
x
在(0,1)无零点;
②若 g
a 3
=0,即
a
3 4
,
g
x 在(0,1)有一个零点;
③若 g
a 3
>0,即
3 4
a
3,
g (0)
0,
g (1)
a
5 4
,
当
3 4
a
5 4
时,
g
x 在(0,1)有两个零点;当
(3)当
x∈
12
,
2
时,求
f(x)的值域.
18.(本小题满分 12 分)已知 a,, b c 分别为△ABC 的三内角 A,B,C 的对边,其面积
S
3,B, 60
a2
c2
2b2
,在等差数列
an
中,
a1
a
,公差
d
b
.数列
bn
的
前 n 项和为 Tn ,且 Tn 2bn 1 0,n N* .