高中物理《不确定关系》课件选修

为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。 一维无限深势阱：
U
(x)
0
0 xa x 0, x a
o
a
x
保守力与势能之间的关系： F dU (x) dx
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0。
势阱内的一维定态薛定谔方程为：
解为：
2 2m
外 力 场
说明
的
势
(1)求解
E （粒子能量）
能
( r ) （定态波函数）
函
数
(2)势能函数 V 不随时间变化。
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
d
2Ψ( x) dx2
2m 2
E
V
Ψ
x
0
四.用薛定谔方程解一维无限深势阱
若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限
制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。
d21
d x2
k121
0
d22
d x2
k22 2
0
d23
d x2
k12 3
0
解为：
1(x) Aeik1x Aeik1x 2 (x) Bek2x Bek2x 3 (x) Ceik1x Ceik1x
三个区域中波函数的 情况如图所示：
在粒子总能量低于势 垒壁高的情况下,粒子有一 定的概率穿透势垒. 此现 象称为隧道效应。
入射电子束
照相底版
只考虑一级衍射:
电子可在缝宽 x范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不
确定量就是缝宽 x，电子在 x方向的动量不确定量:
px p sin
d sin xsin
p h
px
p
x
h x
xpx h
若考虑次级衍射: xpx h 一般有: x Px h
严格的理论给出的不确定性关系为：
德布罗意假设：
不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原 子、分子等)也都具有波粒二象性; 具有确定动量 P
和确定能量 E 的实物粒子相当于频率为 和ν波长为
的波, 二者之间的关系如同光子和光波的关系一样,
满足：
E mc2 hν
p mv h
这种和实物粒子相联系的波称为 德布罗意波 或 物质波 。
D K
U
G
M 镍单晶
2)、汤姆逊（1927） 电子衍射实验
多晶 铝 箔
3)、约恩逊（1960） 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象
单缝衍射 双缝衍射 三缝衍射 四缝衍射
例 计算m=0.01kg，V=300m/s的子弹的德 布罗意波长.
因V<<c ,故有
h h m 6.6310 34 2.211034
En
E要n小的多。这时，能
量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，
经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以
看作是量子物理中量子数 n 时的极限情况。
五.一维方势垒 隧道效应
一维方势阱如图
U
U
(
x)
U 0
0
0 xa x 0, x a
U0 E
粒子沿 x 方向运动,当 E 0
粒子可以通过势垒。
n2
h2 8ma 2
n2
得到两相邻能级的能量差
E
En1
En
(2n
1)
h2 8ma
2
可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而 增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。
当a=1cm时
E n (6.6334 J s)2
2
89.111031kg(102 m)2
3.37 1015 n2eV
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常 小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。 当a=10-10m时
出现概率大
二. 不确定关系
位置与动量的不确定性关系
在经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任何 时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。由于 微观粒子具有明显的波动性，以致于它的某些成 对物理量（如位置坐标和动量、时间和能量等） 不可能同时具有确定的量值。
下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题
P
x
狭缝
Px
第五节 不确定关系
回顾所学: 1. 物质波是一种什么波?
2. 什么是实物粒子的波粒二象性?
一. 物质波 实物粒子的波粒二象性
光的干涉、衍射等现象证实了光 的波动性；热辐射、光电效应和康普 顿效应等现象又证实了光的粒子性。 光具有波-粒二象性。
德布罗意
德布罗意波在光的二象性的启发下，提出 了与光的二象性完全对称的设想，即实物粒子 （如电子、质子等）也具有波-粒二象性的假 设。
就表示t时刻，粒子在空间r 处的单位体积中出现的
概率，又称为概率密度. 即波函数的物理意义：
|Ψ(r,t) |2 —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
单个粒子在哪一处出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统计规律。
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率小
电子数 N=71320000
x px 2
y py
2
z pz
2
首先由海森堡给出(1927) 海森堡不确定性关系 (海森堡测不准关系)
它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动
x 量。粒子位置的不确定量
越小，动量的不确定量 Ρx
就越大，反之亦然。因此不可能用某一时刻的位置和动量描
述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不
如果势阱不是 无限深，粒子的能 量又低于势璧，粒 子在阱外不远处出 现的概率不为零。
2
Ψ (x)
经典理论无法 解释，实验得到 证实。
0
a
例 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差。
解：
根据势阱中的能量公式
E
22 2ma 2
p mV 0.01300
极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量，
“宏观物体只表现出粒子性”
物质波波函数
波函数及其统计解释 1926年玻恩指出物质波是一种概率波，它描述了 粒子在各处出现的概率。
函与数经Ψ典(r波,t)用描波述物函质数波描，述则类波似函，数如振果幅用的一平个方时间|Ψ空(r间,t) |2
再适用。
----------微观粒子的“波粒二象” 性的具体体现
例 设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝。 试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。
解 ： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定
量 x。 由于 px mx
根据不确定性关系得
1.051034 J s
x 2mx 20.01kg0.5102 m
在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！
§12—3 波函数 薛定谔方程及简单应用
你知道吗？ 1. 物质波波函数的统计意义?
2. 一维定态薛定谔方程的物理意义?
对于微观粒子，牛顿方程已不适用。
微观粒子的运动状态
描述微观粒子运动基本方程
波函数
薛定谔方程
百度文库一 一维自由粒子波函数
一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:
d2i
d x2
E i
k2
2mE 2
i (x) C sin(kx )
由边界条件得： i (0) C sin 0
i (a) C sin ka 0 0
ka n , n 1,2,3
据归一化条件，得
a
0
(
x,
t)
2
d
x
0aC
sin
nx 2
a
d
x
1
C 2
a 得波函数表达式： i (x,t)
间就存在隧道电流，隧道电
流对针尖与表面的距离及其
敏感，如果控制隧道电流保
原理：
持恒定，针尖的在垂直于样 品方向的变化，就反映出样
利用电子的隧道效应。 品表面情况。
STM的横向分辨率已达0.1nm，纵向分辨达 0.0,1nm STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布
经典观点： 不受外力的粒子在0到 a 范围内
出现概率处处相等。
量子论观点： Ψ (x) 2 2 sin 2(n x)
aa
Ψ (x)
2
Ψ (x)
当 n很大
n =4
时， 量子 概率分布
n =3
就接近经
n =2
典分布
0
a n =1 0
a
（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布
1.05 1030 m s
和子弹飞行速度每秒几百米相比 ,这速度的不确定 性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。
例 原子线度为10-10m , 计算原子中电子速度的不确定度。
解： P = m V
x 1010 m
x Px 2
V Px 5.8105 m s m 2mx
按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度 V ~106 ms-1 。 物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！
玻尔氢原子量子化条件与驻波条件是等效的。
2r n
将德布罗意关系式 h
r
mV
代入即得
mvr n h
2
玻尔理论中的角动量量子化条件
德布罗意假设的实验证明
1) 戴维孙-革末实验（1927）
电子束在晶体表面散射实验时，观察到了和X射线 在晶体表面衍射相类似的衍射现象，从而证实了电 子具有波动性。
B
隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在x a处透射波的强度与入
射波的强度之比：
T
3(a) 2
A2
e
2a
2m(U0 E )
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM)
金属样品外表面有一层电
子云，电子云的密度随着与
表面距离的增大呈指数形式
衰减，将原子线度的极细的
金属探针靠近样品，并在它
们之间加上微小的电压，其
Ψ (x,t) Ψ0e h
p h
量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式
这里的和0一般都为复数。
波函数的统计意义 电子双缝衍射
波的强度---------振幅的平方
亮波强 电子到达多
暗波弱 电子到达少
玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV 中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。
2 2m
2 x2
2 y2
z 2
V
(r,t)
(r,t)
i (r,t)
t
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时
间变化，粒子处于定态，定态波函数写为
Ψ(r,t)
Ψ(r)ei
Et
由上两式得
定态薛定谔方程
粒子能量
描
述
2 x2
2 y2
2 z 2
Ψ(r)
2m 2
E
V
Ψ(r)
0
即：
Ψ 2 dV 1
波函数归一化条件
波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一
波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息
哥本哈根学派
爱因斯坦
三. 薛定谔方程 (1926年)
描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。
质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，
薛定谔方程为
E 37.7 n2eV
E (2n 1) 37.7eV
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常 大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出 来。
当n>>1 时 ,能级的相对间隔近似为
En
2
n
8
h2 ma
2
2
En
n
2
8
h2 ma
2
n
可见能级的相对间隔 En随着n的增加成反比地减
n 小。当
时 ， E较n 之
p mv h
m m0
1 2
如果v c,
h h h 1 2
p m V m0V
德布罗意公式
则：
h
m0 v
例：电子在电场里加速所获得 的能量
E
1 2
m0V
2
eU
电子的德布罗意波长 h h h
p moV 2emoU
V 150V
0.1nm
X射线范围
V 10000 V 0.01225 nm
2 sin
n
i Et
xe
aa
讨 论：
(1)粒子能量不能取连续值
由
K 2＝2mEn , K n
2
a
得
En
22
2ma2
n2,
n 1,2,3
能量取分立值（能级），能量量子化是 粒子处于束缚态的所具有的性质。
（2）粒子的最小能量不等于零
最小能量
E1
n22 2ma2
也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。
y Acos2 (vt x )
i2 (vt x )
用指数形式表示： y Ae
取复数实部
波的强度
I A2
对于动量为P 、能量为 E 的一维自由微观粒
子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相
当于单色平面波，类比可写成：
i2 (vt x )
Ψ (x,t) Ψ0e
E hν
i 2 ( Et px)
出现在 dV 内概率：dW Ψ (r,t) 2 dV
dV=dx dy dz
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ *
单位体积内粒子出现的概率 波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反 映粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波， 电磁波。
二. 波函数的标准化条件和归一化条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
Ⅰ ⅡⅢ
oa x
当 E 0 ，实验证明粒子也能通过势垒,这只有
由量子力学得到解释。
设三个区域的波函数分别为 1, 2,3
在各区域薛定谔方程分别为
2 2m
d21
d x2
E1
2 2m
d22
d x2
U0 2
E 2
2 2m
d23
d x2
E 3
令
k12
2mE 2
, k2
2m(U 0 2
E)
E U0, k2 为实数