中考数学压轴题集训之欧阳语创编

中考数学压轴题集训（八个类

型）

时间：2021.03.01 创作：欧阳语

一．面积与动点

1．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B 在轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：

当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直

角梯形？等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的

速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另

一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t

（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面

积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝

a(－2－1)2＋．

∴a＝－

································· 1分

∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋

即y＝－x2＋x＋

．······················· 3分

（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点

∴xD＝－＝1，yD＝－×12＋×1＋＝．

∴点D的坐标为(1，)．

如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．

∴∠DAO＝60°······························· 4分

∵OM∥AD

①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．

∴OP＝6

（s）························ 5分

②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．

过点O作OE⊥AD轴于E．

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．

（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）

∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．

∴t＝5（s）································ 6分

③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．

∴t＝4（s）

综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．······································ 7分

（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．

又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）

过点P作PF⊥x轴于F，

t．······························· 8分

∴S四边形BCPQ＝S△COB－S△POQ

＝×6×－×(6－2t)×t

＝(t－)2＋

··························· 9分

∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为

．················ 10分

此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．

∴PQ＝＝＝

················· 12分

二．几何图形与变换

2．（辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P 从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，

垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析

式；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），将A．B点坐标代入得出：，

解得：，

故经过O、A、B三点的抛物线解析式为：y=-x2+x．

（2）①当0＜t≤2时，重叠部分为△OPQ，过点A作AD⊥x 轴于点D，

如图1．

在Rt△AOD中，AD=OD=1，∠AOD=45°．

在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°．

∴OQ=PQ=t．

∴S=S△OPQ=OQ•PQ=×t×t=t2（0＜t≤2）；

②当2＜t≤3时，设PQ交AB于点E，重叠部分为梯形AOPE，

作EF⊥x轴于点F，如图2．∵∠OPQ=∠QOP=45°

∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2．

∴S=S梯形AOPE=（AE+OP）•AD=（t-2+t）×1=t-1（2＜t≤3）；③当3＜t＜4时，设PQ交AB于点E，交BC于点F，

重叠部分为五边形AOCFE，如图3．

∵B（3，1），OP=t，∴PC=CF=t-3．

∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形

∴BE=BF=1-（t-3）=4-t

∴S=S五边形AOCFE=S梯形OABC-S△BEF=（2+3）×1-（4-t）2=-t2+4t-（3＜t＜4）；

（4）存在，t1=1，t2=2．

将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O （t，t）

①当点Q在抛物线上时，=-×（t+）2+×（t+），

解得t=2；

②当点O在抛物线上时，t=-t2+t，

解得：t=1．

三．相似

3．（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．