§9.4[1]三重积分的概念和计算方法

其中积分区域 为由曲面 z x2 2 y2 及
z 2 x2 所围成的闭区域.
F ( x, y)d
D
D
z2( x, y) z1( x, y)
f ( x, y, z)dzd .
D : y1( x) y y2( x), a x b, 得
f (x,
y, z)dv
bdx y2( x) dy z2( x, y)
a y1( x ) z1( x, y)
f (x,
y, z)dz.
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三重积分化为三次积分的过程：
z
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。
(2) D向 x 轴投影，得到
a x b,
D
:
y1(
x
)
y
y2( x).
ao
(3) 过点 ( x, y) D 作直线,
b
得到 z1( x, y) z z2( x, y). x
z2
z1
D
y
(x, y)
dv 的体积.
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3
二、三重积分的计算
直角坐标系中将三重积分化为三次积
分．
如图，闭区域 在 xoy
z
面上的投影为闭区域 D,
z z2(x, y) z2S2
S1 : z z1( x, y), S2 : z z2( x, y),
z1 S1
z z1( x, y)
过点 ( x, y) D 作直线,
1dx
1 x 2
00
xz
1 0
x2
y来自百度文库
dy
1dx
1 x 2
00
(
x
x
2
2
xy)dy
01 ( x
x2)y
xy 2
1 x 2
0
dx
1 4
01( x 2x2
x3 )dx
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1 4
x2 2
2 3
x3
1 4
x
4
1 0
1 48
.
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例 2 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分，
a x b,
事实上，
:
y1( x) y y2( x),
z1( x, y) z z2( x, y).
f ( x, y, z)dv bdx y2( x) dy z2( x, y) f ( x, y, z)dz.
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a y1( x ) z1( x, y)
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(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。 z
o 1D x
y
12
于是，
x dxdydz
1dx
1 x
2 dy
1 x2 y xdz
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00
0
10
么么么么方面
• Sds绝对是假的
过点 ( x, y) D 作平行与 z 轴 的直线, 得到
0 z 1 x 2y.
于是，
x dxdydz
01dx
1 x
0 2
dy
01
x
2
y
xdz
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a z1( y) x1( y,z)
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例 1 计算三重积分 xdxdydz ，其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1所围成的闭区域.
解 向 xoy 面上投影，得到 D。
D
:
0
0 y
x 1,
1 2
x
.
z
1
过点 ( x, y) D 作平行与 z 轴 的直线, 得到
0 z 1 x 2y.
2
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面
来划分 , 则 vi x jykzl .
三重积记为
n
f
( x,
y, z)dxdydz
lim
0 i1
f
(i ,i ,
i
)vi .
其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
三重积分的性质与二重积分的类似。
特别地， 被积函数 f ( x, y, z) 1时，
一、三重积分的定义 二、三重积分的 三、小结
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一、三重积分的定义
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界函数，将闭
区域 任意分成n 个小闭区域v1 ，v2 ,,vn ，其
中vi 表示第i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每个
vi 上任取一点(i ,i , i )作乘积 f (i ,i , i ) vi ，
z z1( y b.
y),
(3) 过点 ( y, z) Dyz 作直线, 得到 x1( y, z) x x2( y, z).
o
a
b
y
事实上，
x1( y, z) x x1( y, z),
:
a y b,
z1( y) z z2( y).
x2
x1
( y,Dz)
z
f ( x, y, z)dv bdy z2( y) dz x2( y,z) f ( x, y, z)dx.
(2) D向 y 轴投影，得到
D
:
x1(
y) c
x y
x1( d.
y),
(3) 过点 ( x, y) D 作直线,
z2
z1
o
c
得到 z1( x, y) z z2( x, y). x
x1( y) x x1( y),
事实上，
:
c y d,
z1( x, y) z z2( x, y).
(i 1,2,, n)，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的
最大值 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限
为函数 f ( x, y, z)在闭区域 上的三重积分，记为
f ( x, y, z)dv ,即
其中 dv 叫做体积元素 .
n
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f
( x,
y, z)dv
lim
0 i1
f
(i ,i , i )vi .
( xD, y)
f ( x, y, z)dv d dy x2( y) dx z2( x, y) f ( x, y, z)dz.
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c x1( y) z1( x, y)
d
y
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x (1) 向 yoz 面上投影，得到 Dyz。
(2) Dyz向 y 轴投影，得到
D
:
z1(
y) a
o
a
从
z1
穿入，从
z2
穿出．
b
x
y
D
( x, y) y y2( x) y y1( x)
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先将 x, y 看作定值，将 f ( x, y, z)只看作 z 的函数，则
F ( x,
y)
z2( x, y)
z1( x, y)
f
( x,
y, z)dz
是 x、y 的函数。
计算 F(x, y) 在闭区间 D 上的二重积分
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f ( x, y, z)dv
bdx y2( x) dy z2( x, y)
a y1( x ) z1( x, y)
f (x,
y, z)dz.
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭 区域 的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
(2) 若平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与 闭区域 的边界曲面 S 相交多于两点时，把 分若干个小区域来讨论．