高中数学第二轮专题复习——分类讨论思想

1 a 0 总上所述，所求函数的最小值 m 4(a 2) a 1
a 1 1 a 2 7 2a 3 7 a 3
问题 4 由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论
x 0 y 0 例 4（2006 年广东卷）在约束条件 下， y x s y 2x 4
3 an+1， ｛bn｝的前 n 项和为 Tn，试比较 Sn 与 Tn 的大小． 2
【解】 （1）因为｛an｝是等比数列，Sn＞0，可得 a1=S1＞0，q≠0， 当 q=1 时，Sn=na1＞0， 当 q≠1 时，Sn=
a1 (1 q n ) ＞0， 1 q
即
1 qn ＞0（n=1，2，3，„） ， 1 q
（
）
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 5． （2005 湖北卷）以平行六面体 ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形， 从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率 p 为 （ ）
18 385 6． （2 0 0 6 年 上海卷）如图，平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O，对于平面上任意一点 M， 若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离，则称有序非负实数对（ p ， q ）是点 M 的“距 l1 离坐标” ．已知常数 p ≥0， q ≥0，给出下列命题： ①若 p ＝ q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 M（ p ， q ） 有且仅有 1 个； l 2 ②若 pq ＝0，且 p ＋ q ≠0，则“距离坐标”为
10． （2006 年湖北卷）关于 x 的方程 x 1 x 1 k 0 ，给出下列四个命题：
2 2


2
①存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根； ②存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根； ③存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根； ④存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2
1. 若 A x| x 2 ( p 2) x 1 0，x R ， 且 A R ， 则实数中的取值范围是 （
）
A. p 2
2
B. p 2
C. p 2
D. p 4
2. 函数 f ( x ) mx (m 3) x 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数 m 的取值范围为（ A. 0， ） B.
2．一条直线过点（5，2） ，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ C A. x y 7 0 C. x y 7 0或 2 x 5 y 0 B. 2 x 5 y 0
D. x y 7 0或 2 y 5x 0
3．(2005 全国卷Ⅲ)不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有（ D ） A．3 个 B．4 个 C ．6 个 D．7 个 4． （2006 辽宁卷）5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新 队员的排法有___48____种.(以数作答) 【重点 难点 热点】 问题 1 由概念的定义引起的分类讨论 例 1 (2006 辽宁)已知函数 f ( x) (A) 1,1 (B)
②当 1 a 2 时，在区间[1，2]上， f ( x) x 2 | x a | 0 ，由 f (a ) 0 知
m f ( a) 0
王新敞
奎屯
新疆
③当 a 2 时，在区间[1，2]上， f ( x) ax2 x 3
2 f ' ( x) 2ax 3 x 2 3 x( a x) 3
）
7． （2006 年全国卷 I）设集合 I 1,2,3,4,5 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最 D． 47种 （ ）
9． （2006 年湖北卷）已知平面区域 D 由以 A1,3 、 B5,2 、 C 3,1 为顶点的三角形内部和 边界组成 . 若在区域 D 上有无穷多个点 x, y 可使目标函数 z x my 取得最小值，则 m （ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 4
分类讨论的思想
【考点聚焦】 在研究和解决数学问题时， 当问题所给对象不能进行统一研究， 我们就需要根据数学对 象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而 达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称它为“分类讨论的思想” ．分类讨论本质 上是“化整为零，积零为整”的解题策略． 引起分类讨论原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义， P 点分线段的比等） ；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中 点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；⑤数学 问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果． 分类讨论的一般步骤是： （1）确定讨论对象和确定研究的全域； （2）进行科学分类（按 照某一确定的标准在比较的基础上分类） ， “比较”是分类的前提， “分类”是比较的结果． 分 类时，应不重复，不遗漏； （3）逐类讨论； （4）归纳小结，整合得出结论． 【自我检测】 1. 设 A= x| x a 0，B x| ax 1 0，且A B B，则实数a的值为 （D A. 1 B. 1 C. 1或 1 D. 1， 1或 0 ） ）
当 3 s 5 时， z 3x 2 y 的最大值的变化范围是( A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] )
y
y 2x 4
x ys
x y s x 4 s 解：由 交点为 y 2 x 4 y 2s 4 A(2,0), B(4 s, 2s 4), C (0, s), C(0, 4) ， (1)当 3 s 4 时可行域是四边形 OABC， 此时， 7 z 8 (2)当 4 s 5 时可行域是△OA C 此时， z max 8
1-q>0， 1-ห้องสมุดไป่ตู้<0， 则有 n ①或 ② n 1-q <0. 1-q >0，
由②得 q＞1，由①得－1＜q＜1． 故 q 的取值范围是（－1，0）∪（0，+∞） ． （2）由 bn=an+2－ ∴Tn=（q2－
3 3 an+1=an（q2－ q） ， 2 2
3 q）Sn， 2 3 1 于是 Tn－Sn=Sn（q2－ q－1）=Sn（q+ ） （q－2） ， 2 2


，1
C.
0，1
D. （ 0，1）
3． （2006 年江苏卷）圆 ( x 1) 2 ( y 3 ) 2 1 的切线方程中有一个是( ) （A）x－y＝0 （B）x＋y＝0 （C）x＝0 （D）y＝0 4．曲线
x2 y2 x2 y2 1(m 6) 与曲线 1(5 m 9) 的 10 m 6 m 5m 9m
若 a 3 ，在区间（1，2）上， f ' ( x) 0 ，则 f ( x) 是区间[1，2]上的增函数， 所以 m f (1) a 1 若 2 a 3 ，则 1 当1 x
王新敞
奎屯
新疆
2 a2 3
2 2 a 时， f ' ( x) 0 ，则 f ( x) 是区间[1， a ]上的增函数， 3 3 2 2 当 a x 2 时， f ' ( x) 0 ，则 f ( x) 是区间[ a ，2]上的减函数， 3 3
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
①当 a 1 时，在区间[1，2]上， f ( x) x 3 ax2 ， 因为 f ' ( x) 3x 2ax 3x( x
2
2 a) 0 ， x (1,2) ， 3
王新敞
奎屯 新疆
则 f ( x) 是区间[1，2]上的增函数，所以 m f (1) 1 a
又 Sn＞0 且－1＜q＜0 或 q＞0， 则当－1＜q＜－ 当－
1 或 q＞2 时，Tn－Sn＞0，即 Tn＞Sn， 2
1 ＜q＜2 且 q≠0 时，Tn－Sn＜0，即 Tn＜Sn， 2 1 当 q=－ 或 q=2 时，Tn－Sn=0， 即 Tn=Sn． 2
【评析】考查数列基本知识，考查分析问题能力和推理能力，重点考查了分类讨论的思想。 问题 3 由参数的取值引起的分类讨论 例 3． （2005 江苏）已知 a R, 函数 f ( x) x x a .
即等价于 {sin x,cos x}min ，故选择答案 C。
【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和 估算能力。 问题 2 由公式、定理的应用条件引起的分类讨论 例 2 设等比数列｛an｝的公比为 q，前 n 项和 Sn＞0（n=1，2，3„） ． （1）求 q 的取值范围； （2）设 bn=an+2－
2
（Ⅰ）当 a=2 时，求使 f（x）＝x 成立的 x 的集合； （Ⅱ）求函数 y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值. 解： （Ⅰ）由题意， f ( x) x | x 2 |
2
当 x 2 时，由 f ( x) x 2 (2 x) x ，解得 x 0 或 x 1 ； 当 x 2 时，由 f ( x) x 2 ( x 2) x ，解得 x 1 2 综上，所求解集为 {0,1,1 2} (Ⅱ)设此最小值为 m
A．
367 385
B．
376 385
C．
192 385
D．
O （ p ， q ）的点有且仅有 2 个； ③若 pq ≠0，则“距离坐标”为（ p ， q ）的点有且仅有 4 个． 上述命题中，正确命题的个数是 （ （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有( ) A． 50种 B． 49种 C． 48种 8. （2005 湖北卷）函数 y = e|lnx| - | x-1| 的图象大致是
故选 D. 专题小结
O
x
y
y 2x 4
x ys
x
O
分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论， 则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些 结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况 未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类 讨论。 【临阵磨枪】
1 1 (sin x cos x) sin x cos x ,则 f ( x) 的值域是 2 2
(C) 1,

2 ,1 2

2 2
(D) 1,

2 2
【解析】 f ( x)
cos x(sin x cos x) 1 1 (sin x cos x) sin x cos x 2 2 sin x(sin x cos x)
因此当 2 a 3 时， m f (1) a 1或 m f (2) 4(a 2) 当2 a 当
王新敞
奎屯 新疆
7 时， 4(a 2) a 1 ，故 m f (2) 4(a 2) ， 3
王新敞
奎屯 新疆
7 a 3 时， 4(a 2) a 1 ，故 m f (1) a 1 3