考研 数学 笔记

隐函数求导
1. 隐函数显式化，再用显函数的求导方法
2. 设函数
是由方程
确定的可导函数，则在方程
，所以最后可得到一个关于 的方程，解方程便可求出
3. 同上，两边微分
4. 多元隐函数求导方法
两边对 求导，其中
对数求导法
1. 设
，等式两边取对数，得
，两边对 求导，得
幂指函数求导法
1. 设函数
，先化成指数函数
导数运算法则
导数
设
微分
设
在 处可导，则 ， ，
在 处可微，则 ， ，
基本求导公式
， ，
， ，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
特殊函数的求导
， ，
，
分段函数的求导
1. 设
，则
，
2. 最后根据左右导数来确定该点导数的情况，其他分段方式同理
3. 分段函数中，在同一分界点处，两函数的单侧导数(靠近分界点)相同且函数值也相同，则分段函数在该点的导数与
3. 是 的等价无穷小
4.若
，且
存在，则
5.0是最高阶的无穷小
4. 无穷小的运算( 为正整数)
在自变量的同一变化过程中
有限个无穷小的和是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
两无穷小相加减，低阶“吸收”高阶，
两无穷小相乘，阶数“累加”，
，
非零常数与一无穷小相乘，不影响阶数，
5. 常用等价无穷小（
数列极限
1. 本质
数列的通项的极限
2. 定义
组成：数列 ，常数
条件：
或
，实数
，正整数
记号及相关概念 数列 的极限： 数列 收敛：极限存在 数列 发散：极限不存在
，
,当
时，恒有
性质
唯一性
1.
是唯一的
有界性
1.
有界，即
保号性
1. 性质
2. 推论 若数列
或
，
从某项起有
，且
，
， ，则
极限运算
1. 若数列
与
均收敛，则
复合函数
1. 本质
把一个函数作用于另一个函数的结果得到的函数
2. 定义
组成：函数
，
，函数
，
条件：
记号及相关概念
复合函数：
，
定义域：
中间变量：
函数的性质
有界性
1. 性质
对于
，
，
不存在这样的
2. 推论 ，
， 在 上有界
在 上无界
在 上无界
在有限区间
内可导且
有界
若
在
上连续，则
在
上有界
有界函数与有界函数的和、差、积也是有界函数
次可导，那么对于这个区间上的任
其中
为余项，是
的高阶无穷小
2. 常用泰勒展开式
，
，
，
，
3. 求极限技巧 型，适用于“上下同阶”原则
对分子或分母用泰勒展开使分子分母同阶 型，适用于“幂次最低”原则
将 , 分别展开到它们的系数不相等的
的最低次幂为止
无穷小
1. 定义 函数
函数
为当
或
或
为当
或
或
2. 关系 在自变量的同一变化过程中，若 无穷大
洛必达法则
1. 法则一 ( 型)
或
时，
在
内或
时， 为充分大的正数 存在，且
或
存在或无穷大
或
2. 法则二 ( 型) 或 在
时， 内或
时， 为充分大的正数 存在，且
或
存在或无穷大
或
泰勒展开式
1. 公式 设 是一个正整数。如果定义在一个包含 的区间上的函数 在 点处 意 ，有函数 在点 处的 项泰勒展开式：
2. 定义
组成：函数：
，自变量： ，自变量增量： ，函数值增量：
条件：
存在
记号及相关概念 在点 处可导即
在点 处导数存在即
(有限数)：
导数：
若令
,则
导数其他记法： 单侧导数
左导数：
右导数：
导函数：区间中的所有点与其导数的映射构成了导函数，一般也叫成导数，记作
或
二阶导数：
，二阶导函数记作
或
即
或
高阶导数： 或
则为
的最大值点(或最小值点)，
为
的最大值(或最小值)
单调性与极值的判别
单调性的判别
1. 设函数 1. 2.
满足，在闭区间 任意子区间内 任意子区间内
上连续, 在开区间
上可导，则
在
严格单调增加
在
严格单调减少
极值的判别
对于偶函数
函数图像关于y轴对称，
存在时
可导
是奇函数
连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数
对于两函数 偶 偶 偶，奇 奇 奇 奇 奇 偶，奇 偶 奇，偶 偶 偶
对于复合函数
，
，外偶为偶，奇奇为奇
周期性
1. 性质 对于
，
，
，
2. 推论 对于周期函数 的周期为 的周期为 ，
，
为周期函数， 为
周期
是周期为 的周期函数 一切原函数是周期为 的周期函数
3. 导数存在的判断
，高阶导函数记作
是导数不存在的一种情况
4. 函数的可导性
1. 所有初等函数在定义域的开区间内可导
2. 设
在
可导，
在
连续而不可导，则
不 可导
若
在
处
可导且导数为
若
5. 导数的几何意义
函数
在点 处的导数就是曲线
在点
6. 导数定义的应用
1. 用导数定义求导数 (证明求导公式，不知可导性求导数)
）
常用极限
1. 2. 3. 对于常数
若 若
，则 ，则
连续与间断
时
， ，
连续的定义
1. 设函数
在点 的某一邻域内有定义，且有
的连续点 2. 若令
，则
等价于
，于是
等价于
，其中
，则称函数
在点 处连续， 是
等价于
间断的定义
设函数 是
在点 的某一邻域内有定义，且 的间断点
不成立，则函数
在点 处不连续(或间断)，
反函数
1. 本质
对一个定函数做逆运算得到的函数
2. 定义
组成：函数
，
，
条件：
，按照一定法则，
记号及相关概念
反函数：
直接函数：
自变量：
因变量：
定义域：
值域：
与之对应
说明：这里为了方便，约定把 和 互换 3. 求法
反解(用 表示 ) 互换 和 值域与定义域互换
4. 性质 只有一一对应的函数才有反函数 反函数与原函数在相应区间上的单调性一致
对于
，意味着
，
对于
，意味着
，
，
3. 极限存在的判断
时，有 时，有
或
( 从 的左侧趋近它) ( 从 的右侧趋近它)
两种情况 两种情况
是极限不存在的一种情况
性质
1. 唯一性
2. 局部有界性
是唯一的
3. 局部保号性 或
推论 或
或 或
或
或
极限运算
设
，且运算结果的极限也存在
常函数的极限为该常数
(
)
夹逼准则
1. 定义
数列
等差数列
通项： 前n项和：
等比数列
通项： 前n项和：
其他公式
三角函数
基本关系
诱导公式
\
(奇变偶不变，符号看象限(一全正，二正弦正，三切正，四余弦正))
倍角公式
半角公式
和差公式
积化和差
和差化积
万能公式
代数运算
指数运算
对数运算
，
， ，
，
一元二次方程
方程：
公式：
，
因式分解
， ， ，
，
(二项式定理)
阶乘
，
(n是正偶数) (n是正寄数)
不等式
， ，
(在
上可积)
，
排列组合
排列数： 组合数：
，
，
，
，
函数的概念
函数
1. 本质
两个不为空集的集合间的一种对应关系
2. 定义
组成：非空数集： ，法则： ，变量： ，
条件：
，按照一定法则， 与之对应
记号及相关概念
函数：
或
自变量：
因变量：
定义域：
值域： 的取值范围
满足
对称
2. 若函数
，
称
为常数且
，则函数
的图像关于直线
为常数且
，则 和 的图像关于直线
对
概念
数列
1. 本质
定义域是正整数集的某函数的值构成的序列
2. 定义
组成： ，
条件：
记号及相关概念
数列
也写作
数列的通项：
数列的子列：
或简记为
(从
中按原来的顺序抽取无穷多项组成的新数列)
极限
1. 本质 一种对永恒的“变化状态”或“趋势”的描述，指变量对某个数永远靠近(可以相等)而不停止的状态，我们习惯用这个数 来表征用这种状态
若
在
上连续，且极限
与
在
内有界
存在，则
在
上有界
单调性
1. 性质 对于
，
，
，
，
，
，
2. 推论 对于
，
，
在 上单调增加
在 上单调减少
对于复合函数
，
，同增异减
在 上单调增加 在 上单调减少
奇偶性
1. 性质
对于
，
，
为偶函数 为奇函数
2. 推论
对于奇函数
函数图像关于原点对称， 在
处有定义
可导
是偶函数
连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
处切线的斜率
即使不是分段函数，有时也要用定义求导，而且即使乘积中某个因子在某点处不可导，但 乘积在该点处也可能可导
2. 用导数求极限 (其中一项为常数) 3. 导数定义的变形 (凑出标准定义)
微分
1. 本质
以自变量增量为自变量的逼近原函数增量的一个线性函数
2. 定义
组成：函数：
，自变量： ，自变量增量： ，常数：
，
，
2.
(
)
3. 常数列的极限为该常数
准则
或
，
均收敛
夹逼准则
，
，
单调有界准则
单调有界数列必有极限
邻域
定义
1. 以点 为中心的任何开区间称为点 的邻域，记作
，
2. 去心邻域不包括中心点，记作
，
3. 左邻域：
，右邻域：
理解
1. “点 的 邻域”，就可以称为“点 的附近”。于是，函数
在点 的某 邻域内有定义也就是函数
连续函数的性质
1. 最值定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
2. 零点定理
在
上连续，
至少存在一点
，使
3. 介值定理
在
上连续，
，
至少存在一点
，使
，
4. 推论 在
上连续，且值域为
和 分别为
的最小值与最大值
概念
导数
1. 本质
自变量增量极小时，对应的函数增量与自变量增量的比值的极限
初等函数
1. 常函数 ( 为常数)
2. 幂函数 ( 为实数)
3. 指数函数
(
)
4. 对数函数
5. 三角函数 正弦：
，余弦：
正切：
，余切：
正割：
， 余割：
6. 反三角函数 反正弦：
，反余弦：
反正切：
，反余切：
函数的图像
图像变换
1. 平移变换(
)
2. 对称变换
3. 伸缩变换
图像的对称性
1. 若函数
间断点的分类
第一类间断点(极限存在) 1. 可去间断点： 2. 跳跃间断点：
或
无定义 (极限存在)
(极限均存在)
第二类间断点(极限不存在) 1. 无穷间断点：
(极限无穷，不存在)
2. 振荡间断点：
在2个或以上的值之间交替振荡取值 (极限振荡，不存在)
连续性的运算
1. 若两函数在某同一点连续，则它们的和、差、积、商(分母不为零)都在该点连续 2. 反函数与原函数在相应区间上的连续性一致 3. 若两函数分别在某一原变量和其对应的中间变量处连续，则由它们复合的函数也在该原变量处连续 4. 初等函数在定义域内都是连续的
在点 的附近有定义，这个“附近”到底有多近多远，既难以说明也没有必要说明，因此，我们使用时几乎不关心
的大小，默认为某一个邻域
函数极限
定义
1. 组成：函数
，常数 ，实数 ，正数
2. 条件
函数在 的某一去心邻域内有定义
，
,当
，
,当
记号及相关概念 函数 在
处的极限为 ：
函数的单侧极限
左极限：
或
右极限：
或
趋近于
参数方程确定的函数的二阶导数
1. 设函数
由参数方程
确定，其中 是参数，且 ， 均对 二阶可导，则
，
反函数的二阶导数
1. 设函数
二阶可导，记
，
，
反过来，则有
，
，则有
奇偶函数的高阶导
1. 奇函数的偶数阶导数为奇函数，过原点，即在 2. 偶函数的奇数阶导数为奇函数，过原点，即在
处导数为零 处导数为零
变限积分的求导
，再求导，得
函数的高阶导数
归纳法
1. 逐次求导，探索规律，得出通项
高阶求导公式
设
，
1. 2. 莱布尼茨公式
，均 阶可导，则
常见的高阶导数
，
，
，
，
，
，
，
泰勒公式求高阶导数
1. 先写出函数的泰勒公式，再通过比较系数来获得高阶导 (1)任何一无穷阶可导函数(收敛)都可以写成
(2)通过已知公式将给定函数展开成幂级数，已知公式参见 《函数极限-泰勒展开式》 (3)根据函数展开式的唯一性，比较(1)和(2)中公式的系数，就可得到
两函数的相同
4. 设
在 的空心邻域
内可导且
在 处连续，若存在极限
，则
复合函数的求导
1. 微分形式的不变性
，
，
注意：
，
2. 多层复合函数
反函数的求导
1. 设
可导，且导数不为零，若其存在反函数
，则
参数方程确定的函数的求导
1. 设函数
由参数方程
确定，其中 是参数，且 ， 均对 可导，
，则
函数求导常用方法
2.
可微(即可导)，
商
在点 处可导 ，即
，导数可表示成两个微分之商，因此导数也称为微
当 为自变量时
，当 是另一变量的函数时不一定相等
当
时，
5. 微分的几何意义
1. 函数
在点 处可微，则在点
2.
是曲线
微分
是曲线
在点
附近可以用切线段近似代替曲线段
在点 处相对于自变量增量 的函数值
的增量，
处的切线相对于自变量增量 的纵坐标增量
时的无穷小： 时的无穷大：
为无穷大，则 为无穷小，若
为无穷小，且
，则
为
3. 无穷小的比阶
在自变量的同一变化过程中，
：
是
，
，
的高阶无穷小，记为
：
是
的低阶无穷小
：是
的同阶无穷小
：
是
的等价无穷小，记为
：
是
的 阶无穷小
说明 1.阶越高说明无穷小的程度越大，就越小
2.不是任意两个无穷小都可以进行比阶的，可能比值的极限不存在
1. 设
，其中
在
上连续，可导函数
和
的值域在
上，则函数
和
的公共定义域上，有
极值与最值的概念
极值
1. 对于在 某邻域内的任意一点 均有，
(或
) ，则 为
值点)，
为
在此邻域的极大值(或极小值)，极大值与极小值统称为极值
的极大值点(或极小
最值
1. 设 为
定义域内一点，若对于
的定义域内任意一点 ，均有
(或
)，
条件：存在与 无关的常数 使
，其中
记号及相关概念
在点 处可微即 在点 处微分存在：
或
微分其他记法：
，又
，故
3. 微分存在的判断
源自文库
1. 定理
函教
在点
2. 判断方法
写增量：
求极限：
可微的充要条件是
在点 处可导, 且
，即
,写线性增量：
，若该极限为零，则
在
处微分存在，否则不存在
4. 微分与导数的关系
1.
在点 处可微