中考压轴题汇编-点的存在性问题

2007年中考压轴题汇编---点的存在性问题

1、（福建龙岩）如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴55

22

a x a -=-=………2分

（2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，…………5分 把点A 坐标代入2

54y ax ax =-+中，解得1

6

a =-

……6分 215

466

y x x ∴=-++…………………………………7分

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．

过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，5

2

BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．

222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ···························································· 8分

在1Rt ANP △

中，1

PN ==

==

152P ⎛∴- ⎝⎭

， ···················································································· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △

中，22

MP =

=

== ··· 10分

25822P ⎛∴ ⎝⎭

， ·

·············································································· 11分 ③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．

画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．

过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3

Rt Rt PCK BAQ △∽△． 31

2

P K BQ CK AQ ∴

==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = ····················································· 13分

3(2.51)P ∴-， ························································································ 14分

注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分． 2、（河南）如图，对称轴为直线x ＝

2

7

的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）①当四边形OEAF 的面积为24时，请判断OEAF 是否为菱形？

②是否存在点E ，使四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存

在，请说明理由．

3、（山东临沂）如图①，已知抛物线的顶点为A (2，1)为B 。

(1)求抛物线的解析式； (2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O

、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存

在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P

点的坐标；若不存在，说明理由。

图

4、（浙江义乌）如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线

l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；

（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分） ∴A （-1，0）B （3，0）；（1分）

将C 点的横坐标x=2代入2

23y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），（1分）E （2

(,23)x x x --（1分） ∵P 点在E 点的上方，PE=2

2(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =

时，PE 的最大值=9

4

（1分）