格林公式及其应用.

1 1 2 2 2 A xdy ydx (ab cos absin )d 2L 2 0 2 1 ab d ab 0 2
例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明
2 xydx x dy 0
2 L
证明: 令 P 2 xy , Q
为任意可导函数。
如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式 左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得
下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上 的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲
线积分来表达。
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都 属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的 区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。 2 2 例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x y <4 } 或 {（x,y）| 0<
Pdx Qdy
A
B
或

( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Pdx Qdy
定理2 设二元函数P (x,y),Q(x,y)在单连通区域G
具有一阶连续偏导数，则在单连通区域 G 内下列条 件等价： （1）
Q P x y
（2）沿任意分段光滑的有向 闭曲线 L ，有
Pdx Qdy 0
L
（3）曲线积分 L Pdx Qdy 与路径无关。
注意： (1) 定理中的等价关系是建立在单连通区域
内的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y) 在G
上具有有一阶连续偏导数，当这两个
条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。
(2) 定理中命题(2)和(3)的等价区域可以 不是单连通的。 (3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件
x y
2
2

2
r
2
cos r sin 2
2
2
0
2
r
2
d
二
平面曲线积分与路径无关 一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外，
还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线
积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问
题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。
设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G 内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的
x y
2
2
<2}都是复连通区域。
对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下：
当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l 所围成的复连通
区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l 的
正向是顺时针方向。
l D L
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成，
则
x,
2
Q p 2x 2x 0 x y
因此，有格林公式得
2 xydx x
L
2 2
2
dy 0dxdy 0
D
例 3 计算

L
xdy ydx
x y
, 其中 L 为一条无重
点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为 逆时针方向。
解：令
P
百度文库
y
两个点 ：
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两段曲线 L1，L2等式：

L1
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
恒成立，则称 曲线积分
Pdx Qdy
L
在 G 内与路径
无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从 A 到 B 的曲线积分可记为
2 xydx Q( x, y)dy
(1,t )
( 0, 0 )
2 xydx Q( x, y)dy
求函数 Q (x,y).
Q (2 xy) 解： 由题意知曲线积分与路径无关，因而有 x y
即
2 Q Q ( x , y ) 2 x. 于是 x ( y ) 其中 ( y) x
格林公式的一 个简单应用：
在公式（1）中取 P=-y，Q=x, 即得
2 dxdy xdy ydx.
D D
上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有：
1 xdy ydx 2L
例1
求椭圆 x a cos , y b sin
所围成的图形面积A
解： 根据公式（1）有：
x
2
圆周 l :
y r
2
2
记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。
y
D1
0 l L
x
对复连通区域 D1 应用格林公式，得

L
xdy ydx
x y
2
2

l
xdy ydx
x y
2
2
0
其中 l 的方向取逆时针方向，于是：

L
xdy ydx
x y
2
2

l
xdy ydx
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、格林公式
在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ：
表示: F ' x 在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数
F ' x d
b a
x
F (b) F (a)
F ( x) 在这个区间端点上的值来表达。
u ( x, y )
( x, y ) (
x0, y0 )
Pdx Qdy 满足
du Pdx Qdy
例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
2 xydy Q( x, y)dy
L
与路径无关，且对任意实数 t ，恒有

( t ,1)
( 0, 0 )
函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
Q P x y dxdy Pdx Qdy D
(1) 注意哦
其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。
x y
2
,Q 2
则当 x y
2
x
, 2
x y
2
2
0
时，
有
Q x
y
2
x
2 2
( x2 y )
2
P . y
记 L 所围成的闭区域为 D .当
(0,0) D 时由格林公
式得：

L
xdy ydx
x y
2
2
0
当
(0,0) D 时，选取适当的 r>0 ，作为于D内的