动态规划速成攻略之欧阳家百创编

动态规划速成攻略

欧阳家百（2021.03.07）

福建泉州一中倪永毅在全国NOIP复赛中，几乎每年都会出现用动态规划思想来解决的题目，复赛中能否取得好成绩，关键就是看动态规划掌握的情况。那对于从高中入学才开始编程语言的学生来说，有没有一种方法能速成动态规划呢？本人经过几年的信息学奥赛辅导，通过对动态规划试题进行归纳、总结、优化等方面的研究，在这里浅谈下动态规划的速成攻略，不足之处请大家见谅。

一、精练动态规划经典试题

动态规划的试题有很多，学生刚开始学习时，一定要精挑细选，让学生做些动态规划入门的题目，这一阶段练习目的主要是让学生掌握好动态规划的一些基本概念，比如阶段、状态、决策、状态转移方程、无后效性、最优性原理等概念。

这些题目有：数字三角形（IOI1994）、拦截导弹（NOIP1999）、合唱队形（NOIP2004）、挖地雷（NOIP1996 ）

二、对动态规划类试题进行分类教学

我们把动态规划的试题按照常见的模型把它分类，然后让学生来分类掌握，触类旁通，事半功倍。

常见的动态规划可以划分以下几类：

1、线性类动态规划：

典型题目：数字三角形（IOI1994）、拦截导弹（NOIP1999）、合唱队形（NOIP2004），马拦过河卒（NOIP2002），免费馅饼（NOI’98），商店购物（IOI’95）等

2、合并类动态规划：

典型题目：石子合并（NOI’95），乘积最大（NOIP2000），能量项链（NOIP2006）、数字游戏（NOIP2003）、添括号问题（NOI'96）等

3、背包类动态规划：

它包括0/1背包、完全背包、有限背包、有依赖的背包等背包问题是极为经典的模型，其转化与优化也是很重要的。（详细可参考DD engi 写的《背包九讲》）

典型题目：开心的金明（NOIP2006）、采药（NOIP2005）、装箱问题（NOIP2001）、金明的预算方案（noip2006）等4、多线程类动态规划：

典型题目：三取方格数（noip2000）、传纸条（noip2008）、巡游加拿大（IOI95）等

5、最大子段和模型

联赛还未考到这种模型，其实它也是经典利用动态规划来解决的问题之一。问题原型为求数组中的子数组之和的最大值。

用ans[i]表示包含数列第i项的前i个元素的最大和，数组no存放数列元素，则状态转移方程为：

ans[0]=0；

ans[i]=max{ans[i-1]+no[i],no[i]} 时间复杂度为O(n)

核心程序代码：

best:=-maxlongint;

temp:=0;

for i:=1 to n do

begin

inc(temp,no[i]);

if temp>best then best:=temp;

if temp<0 then temp:=0;

end;

它的一维改版有：求K大子段和、游览街区（NOI’97），最大子矩阵和等。二维的有：条件约束的最大子矩阵和奶牛浴场（WC’2002）等题目

6、游戏模型

这类题的阶段（一般是时间）和决策（一般就是游戏目标）很清楚，因此比较容易想到。典型题目：免费馅饼（NOI98）、Help Jimmy（CEOI2000）、瑰丽华尔兹（NOI2005，优化需要多费功夫）、矩阵取数游戏（NOIP2007）。

7、其他模型：包括树型、状态压缩类过河、资源分配类、多次动态规划等模型

典型题目有：树网的核（NOIP2007），加分二叉树（NOIP2003）、过河（NOIP2005）、机器分配（HNOI’95）等

在教学过程中，一般每种模型只讲1-2道题目或者甚至不讲，主要是把任务分解、布置好让学生自己独立完成，培养

学生的自学能力。学生自己解决不了的就找人讨论，到各个论坛上提问，看解题报告等方法，最后才找老师。

三、提倡“一题多变”和“一题多解”，提高学生的解

题能力

动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。所以平时训练时，并不提倡题海战术，我们可以通过对经典试题的条件加以变化，形成“一题多变”和“一题多解”来培养学生分析问题、解决问题能力。

例：数的计数（NOIP2001）

【描述】

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n):

先输入一个自然数n(n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理

（1）不作任何处理:

（2）它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半;

（3）加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再而自然数为止。

输入：6

满足条件的数为 6 (此部分不必输出)

16

26

36

136

输出：6

【分析】对大部分学生来讲会直接采用递归算法来求解。代码如下

var n,i,k:longint;

procedure sol(x:longint);

var i:longint;

begin

inc(k);

for i:=1 to x div 2 do

sol(i);

end;

begin

readln(n);

k:=0;

sol(n);

end.

如果把条件n<=1000改为n<=10000，这时候必须采用动态规划（递推）算法来完成。用f[n]表示最后一个数是n时，可以构造出的数的总数。规定f[0]=1，则显然有f[n]=f[0]+f[1]+...+f[n div 2]。代码如下：

var i,j,s,n:longint;

f:array[1..1000]of longint;