2020高考数学专题复习离心率的专题复习
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离心率的专题复习
椭圆的离心率10<
已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a
c
e =
来解决。 例1：已知双曲线1222=-y a
x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62
-=的准线重合，则该
双曲线的离心率为（ ）
A.
23 B. 23 C. 2
6 D. 33
2
解：抛物线x y 62
-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23
122=-==c c c a x ，则
02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，3
3
2=
=
a c e ，故选D
变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）
A.
43 B. 32 C. 21 D. 4
1
解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率2
1
==
a c e .故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）
A.
23 B. 26 C. 2
3
D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2
3
==
a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向
为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A
33 B 31 C 22
D 2
1 解：由题意知，入射光线为()32
5
1+-
=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=0
553
2
c c
a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作
正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B. 13-
C.
2
1
3+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2
c
-
，由焦半径公式a ex PF p --=1，
即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222
=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==
a
c
e （31-舍去），故选D 变式练习1：设双曲线122
22=-b
y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两
点.已知原点到直线的距离为
c 4
3
，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.
3
3
2
解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得
c b a ab 4
3
2
2=
+， 又2
2
2
b a
c +=, ∴234c ab =
,两边平方，得()
4222316c a c a =-，整理得
01616324=+-e e ，
得42
=e 或3
42
=e ，又b a <<0 ，∴21222
22222
>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A
变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，0
21120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）
A 3 B
26 C 3
6 D 33
解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则
2221b c MF MF +==，又c F F 221=，
在21MF F ∆中， 由余弦定理，得
2
12
2
12221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=
∠,
即(
)(
)
(
)
2
22
22222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，
∵2
2
2
a c
b -=，∴2122
22-=--a
c a ，∴2223c a =，∴232
=e ，∴26=e ，故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若2
1PF F
∆