吴赣昌编_概率论与数理统计_第4章 ppt课件
吴赣昌-概率统计(5版)-第4章第4节
1.
(*)
证明 因为 nA ~ b(n, p), 所以 nA X1 X2 Xn ,
其中 X1, X2 ,, Xn 相互独立，且都服从以 p 为参数 的 0 1 分布，因而
E( Xi ) p, D( Xi ) p(1 p),i 1,2,,n
其中 X1, X2 ,, Xn 相互独立，且都服从以 p 为参数 的 0 1 分布，因而
P{0.74n X 0.76n}
P{| X | 0.01n}
P{0.74 X / n 0.76}
1 1875 / n
例2 在每次试验中, 事件 A 发生的概率为 0.75,
利用切比雪夫不等式求: 独立试验次数 n最小取
何值时, 事件 A出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的
完
中心极限定理的引入 在实际问题中，许多随机现象是由大量相互独立的 随机因素综合影响所形成，其中每一个因素在总的 影响中所起的作用是微小的，这类随机变量一般都 服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例， 影响大炮的射程的随机因素包括：大炮炮身结构的 制造导致的误差，炮弹及炮弹内炸药在质量上的误 差, 瞄准时的误差，受风速、风向的干扰而造成的 误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中 所起的作用是微小的，并且可以看成是相互独立的，
所求概率为
P{5200 X 9400} P{5200 7300 X 7300 9400 7300}
P{2100 X 2100} P{| X | 2100}.
例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞
数平均是 7300, 均方差是 700. 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的
概率与统计第4章 ——概率论课件PPT
且 pk g( xk ) 绝对收敛，则 k 1
E() g( xk ) pk k 1 14
定理4.1的重要性在于计算随机变量的函数 Y=g(X)的数学期望E[g(X)]时，不必求出随 机变量Y的分布律，可由随机变量X的分布 律直接计算E(Y)，应用起来比较方便。
随机变量的概率分布完整地描述了随机变量 的统计规律，但是在实际问题中求得随机变量 的概率分布并不容易，而且对某些问题来说， 只需要知道它的某些特征就够了，不一定非要 求出概率分布。
我们把刻画随机变量某些方面特征的数值 称为随机变量的数字特征。本章主要有： 数学期望，方差，协方差，相关系数和矩。
2
4.1 数学期望
0
1 20
1
2 20
9 2 10 20
1 20
10 i0
xi
fi
以频率为权数的加权平均
3
引例 2：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai
k
分， i 1,2,k ， ni N ， 求平均成绩。
i 1
解： 平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X 表示成绩，则
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，
若积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称积分
xf ( x)dx 的值为X的数学期望。
记为E(X) = xf ( x)dx
数学期望也称为均值。
19
例4.4 设随机变量X 的密度函数为
f
x
x
2
e
x2 2 2
《概率论第四章》PPT课件
2 2a
所以 f(s,t)4
1 a2
s2t2
e4a22
2
1对概念的理解:
描述随机变量X波动大小的量( B )
(A)数学期望EX
(B)方差DX
(C)X的分布函数F(x) (D)X的密度函数f(x)
设 X~N(μ,σ2),在下列哪种情况下的概率密度曲
线比较平缓(D )
(A) 较小 (B) 较大 (C) 较小 (D) 较大
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机 X和 Y 变 相量 互 ,那 独么 立
D (X Y ) D (X ) D (Y ).
若随机X变 和Y 量 不相互独立
D(XY)?
D (X Y ) E { (X Y ) E (X Y ) } 2
D ( X ) D ( Y ) 2 E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] } .
《概率论第四章》PPT课 件
2随机变量函数的数学期望
(1)离散型随机变量函数的数学期望
若 Y=g(X), 且 P { X x k } p k ,k 1 ,2 , ,
则有
E(g(X)) g(xk)pk.
k1
(2)连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则
由方差性质知
P { Y ( a 0 b 0 X ) 0 } 1 ,或 P { Y a 0 b 0 X } 1 .
例4.4.3 设X和Y 是相互独立的随,都 机服 变从 量
正态分N布(0,2),又 aXbY,aXbY (1) 求 与的相关系数 (2) 问， 是否相关？是否独立？ (3) 当， 相互独立,求时(,)的联合密度函数
概率论与数理统计 4-3
第四章随机变量的数字特征第三节协方差及相关系数一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第四章随机变量的数字特征一、协方差与相关系数的概念及性质1、问题的提出两个二维随机变量的分布状况问a,b应如何选择，可使aX+b最接近Y？接近的程度又应如何来衡量？设e=E[Y−(a+bX)2]则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度.当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好.确定a,b的值，使e达到最小.若随机变量X和Y相互独立，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y).若随机变量X和Y不相互独立D(X+Y)=?D(X+Y)=E X+Y2−E(X+Y)2=D(X)+D(Y)+2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}.2. 定义量E X−E X Y−E Y称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov X,Y即C ov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}而ρXY=) Cov(X,Y)D(X⋅)D(Y称为随机变量X与Y的相关系数.3. 说明(1) X和Y的相关系数又称为标准协方差，它是一个无量纲的量.(2) 若随机变量X和Y相互独立⇒Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E[X−E(X)]E[Y−E(Y)]=0(3) 若随机变量X和Y相互独立⇒D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y).4. 协方差的计算公式(1) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y);(2) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).5. 性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数;(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).例1：设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，试求X 与Y 的相关系数.结论(1) 二维正态分布密度函数中，参数ρ代表了X与Y的相关系数；(2) 二维正态随机变量X与Y相关系数为零等价于X与Y相互独立.二维正态随机变量(X,Y)的概率密度曲面与相关系数ρXY=ρ的关系.例2：二维随机变量(X,Y)分别服从N(1,32),N(0,42),ρXY=−Τ12,设Z=ΤY2.X3+Τ1.求Z的数学期望和方差.2.求X与Z的相关系数.3.问X与Z是否相互独立?为什么?二、相关系数的意义1.问题的提出问a,b 应如何选择，可使aX+b最接近Y？接近的程度又应如何来衡量？设e=E[Y−(a+bX)2]则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度.当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好.确定a,b的值，使e达到最小.2. 相关系数的意义当|ρXY|较大时e较小，表明X,Y的线性关系联系较紧密.当|ρXY|较小时，X,Y线性相关的程度较差.当ρXY=0时，称X和Y不相关.例3：设θ服从[0,2π]的均匀分布，ξ=cosθ,η=cos(θ+a),这里a是常数，求ξ和η的相关系数，并判断其独立性?动画演示ξ与η的相关关系.3. 注意(1) 不相关与相互独立的关系↚⇎相互独立不相关(2) 不相关的充要条件1.X,Y不相关⇔ρXY=0;2.X,Y不相关⇔Cov(X,Y)=0;3.X,Y不相关⇔E(XY)=E(X)E(Y).4. 相关系数的性质1.|ρXY|≤1.2.|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a,b使P{Y=a+bX}=1.三、小结相关系数的意义当|ρXY|较大时，X,Y的线性相关程度较高.当|ρXY|较小时，X,Y的线性相关程度较差.当ρXY=0时，X和Y不相关.复习题•一、判断题1.E XY=E X E(Y)是随机变量X,Y相互独立的充分而非必要条件（）2.对二维随机变量(X,Y)来说，X,Y不相关的充要条件是其相互独立（）3.随机变量X,Y相互独立，它们取1和-1的概率均为0.5，则X=Y.（）4.随机变量X,Y不相关，则E XY=E X E(Y). （）•二、填空题1.随机变量X,Y 相互独立，则Cov X,Y =______,ρXY =_________.2.若X,Y ~N(μ1,μ2,σ12,σ22,0.5)，则ρXY =_______。
概率统计第四章的幻灯
三、正态总体下的常用统计量的分布
定理1 若 X1,X 2,, X n 是取自正态总体 N (, 2 ) 的 样本，则有：
(1)
X
1 n
n i 1
X
i~
N (, 2 )
n
(5) X ~ t(n 1)
S/ n
(2) U X ~ N (0,1)
(3)
/ n
1
n
nS
2 n
(n
1)S 2
(Xi X)2
i 1
三、正态总体下的常用统计量的分布
统计量是随机变量，在研究数理统计问 题时，往往需要讨论所研究的统计量的分 布，它对统计方法的应用起着举足轻重的 作用，通常称统计量的分布为抽样分布。 在实际问题中用正态随机变量来刻划的随 机现象比较普遍，因此，在下面的讨论中 ，总是假定总体服从正态分布。
《概率统计》
第四章 参数估计与假设检验
主要内容
第四章 参数估计与假设检验
第一节 数理统计基础与抽样分布 第二节 点估计 第三节 区间估计 第四节 假设检验
第一节 数理统计基础与抽样分布
一、总体、个体与样本 二、统计量与样本矩 三、正态总体下的常用统计量的分布
一 总体、个体与样本
我们知道，虽然从理论上讲，对随机变量 进行大量的观测，被研究的随机变量的概率特 征一定能显现出来，可是实际进行的观测次数 只能是有限的，有的甚至是少量的。
1 n
n i 1
xi
(2)
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
X
2 i
2
nX
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT
k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
概率论与数理统计课件(完整版)
1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, …, An相互独立，则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
系统一:先串联后并联
A1
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
*
例3. 100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试(相互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收这批 乐器,测试情况如下: 经测试认为音色纯 认为音色不纯 乐器音色纯 0.99 0.01 乐器音色不纯 0.05 0.95
*
1. 公式法：
当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
注
计算条件概率有两种方法:
*
2.缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2次取到奇数的概率.
*
随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
*
2. 样本空间与随机事件
样本空间的分类:
离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计所有完整PPT及相关答案(理工类第四版吴赣昌主编答案)
古典概型与几何概型
条件概率
事件的独立性
1.1 随机事件
一、随机现象
确定性的——在一定条件下必然发生的现象 随机性的——在一定条件下，具有多种可能 的结果，但事先又不能预知确切的结果
1)拋掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是正面朝下， 并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。 2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知 其结果。 3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但 每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。 4)股市的变化。
概率论与数理统计
教 师: 高 璟
e-mail: gaojane@ 工程数学教研室
引
言
概率论与数理统计是
研究什么的
经典的数学理论如微积分学、微分方程等都 是研究确定性现象的有力的数学工具。 对于某些随机现象，虽然对个别试验来说， 无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大 量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律 性（如拋掷硬币）。 随着社会生产与科学技术的发展，研究随机 现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的 发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛 应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。
概率论与数理统计——研究和揭示随 机现象统计规律性的一门学科
应用范围广泛。例如： 气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、 产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、 保险、金融等各领域。
经典数学与概率论与数理统计是相辅 相成，互相渗透的。
第1章 随机事件及其概率
随机事件 随机事件的概率
随机试验的例子
E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出 现的情况； E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数； E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数； E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿 命。 E5: 从装有三个白球（记号为1,2,3）与两个黑球 （记号为4,5）的袋中任取两球，(1)观察两球的颜色； (2)观察两球的号码
概率论与数理统计自学课件 第四章
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？
概率论与数理统计学经典课件4-1
y
0
E ( 3 X 4 Y )
EXY
1 dx x 2 ydy xyf ( x , y ) dxdy 12 1 1 x
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1 dx2 ( 3x2y)dy 3 1 x 1 0 0
0 0
x 0, 其它 .
解：
求：EX
x
EX
xf ( x ) dx
x e dx
0
1
第四章
随机变量的数字特征
§1 数学期望
二、随机变量函数的数学期望
定理 1：设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，
（1）若 X 的分布率为 p k 1 ,2 , P { X x }, k k
（2）旅客8：20到达
X 的分布率为 X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6) (1/6) (3/6) (1/6) (2/6) (1/6)
§1 解： 设旅客的候车时间为X（以分记） (1) 旅客8：00到达 X 10 30 50 X 的分布率为 P 1/6 3/6 2/6
则 EY 且pk g(xk ) 绝对收敛，
k1
pg (x )
k 1 k k
且 g(x) f (x)dx绝对收敛 (2)若 X 的概率密度为 f ( x )，
则 EY g (x )f(x ) dx
目 录 前一页 后一页 退 出
第四章
随机变量的数字特征
§1 数学期望
EX xf (x ) dx
概率论与数理统计（理工类_第四版）吴赣昌主编课后习题答案第四章.pdf
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z), 得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答： 如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx ⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy ⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy ⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615. 习题13设X 和Y 相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY). 解答：解法一 由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx∫0+∞ye -(y-5)dy=23×6=4.解法二 令z=y-5, 则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx ⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X 服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：由题设知，X 的分布律为P{X=k}=λkk!e -λ(λ>0)λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; Array (C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2 (Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X 3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225 .(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.查标准正态分布表得y-12001225=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
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E (Z ) E (g (X ,Y ) ) g (x ,y )f(x ,y )d xd y 吴赣昌编_概率 论 与 数 理统计_第4 章
二维随机变量的数学期望
离散r.v.
E (X) xip(xi,yj) E(X) xipX(xi )
ij
i
E (Y) yjp(xi,yj) E(Y) yjpY(yj)
解 ： X 的 概 率 密 度 为 ： f(x) b－ 1a axb 0 其 他
X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) xf(x)dx
b
x dx a b
a ba
2
即 数 学 期 望 位 于 区 间 ( a ,b ) 的 中 点
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
几种重要分布的数学期望
1、设X ~ b(n, p),则E(X ) np
Pk 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
6 1 7
E(X) i 吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 i1 6 2 章
例4.4
设X取
xk
(1)k 2k k
(k=1,2,…)对应的概率为
p xk
1 2k
，证明E(X)不存在。
证明
1
pxk
2k
0
且
1
pxk
k1
2k
k1
1
但级数
E (Y)E (g(X ) ) g(x)f(x)dx
此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的
期望时，不必知道吴Y赣的昌编分_概率布论章与而数理只统计需_第知4 道X的分布即可。
推广：设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是连 续函数。
(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为
为连续函数)
(1)设X为离散型随机变量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,…
若级数 g(xi ) pi绝对收敛，则Y的数学期望存在，且
i1
E(Y)E(g(X)) g(xi)pi
i1
(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，若积分g(x)f
(x)dx绝对收敛，则Y的数学期望存在，且
次数 20 50 30
试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？
甲平均射中的环数为：
(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)
乙平均射中的环数为：
(8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)
因此从平均射中的吴环赣昌数编_概看率论，章与数甲理统的计_技第4术优于乙。
2、设X ~ P(),则E(X )
3、设X ~ U(a,b),则E(X ) a b 2
4、设X ~ N(, 2),则E(X ) 5、设X服从参数为的指数分布,则E(X ) 1
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
三、随机变量函数的数学期望
定理4.1 设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g(•)
0
1
2
Pk 1/16 2/16 3/16 2/16 8/16
则X的数学期望为
E ( X ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2 0 3 1 2 2 8 7 1616 16 16 18 6
例4.2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X 的数学期望。
解 X的分布律为 X 1 2 3 4 5 6
数学期望——描述随机变量取值的平均特征
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
定义4.1 设X是离散型随机变量，其分布律为
X~P(X=xi)=pi, i=1,2,…,n，…
如果级数 x i p i 绝对收敛，则称X的数学期望存在，
i1
并称级数
xi pi
的和为随机变量X的数学期望，记作
i1
E(X)，即 E(X) xi pi
第四章 随机变量的数字特征、极限定理
❖数学期望
❖协方差和相关系数 ❖大数定律与中心极限定理
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
4.1数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
例4.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击 中命中环数与次数记录如下：
甲 环数 8 9 10
乙 环数 8 9 10
次数 30 10 60
P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…
则当 g(xi, yj )pij 绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
i1 j1
E (Z)E (g(X,Y) ) g(xi,yj)pij
i 1j 1
(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当
g(x,y)f(x,y)dxd绝y对收敛时，Z的数学期望存在，且
i1
注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律
确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因
此要求级数 x i p i 绝对收敛。若级数 x i p i不绝对收敛，
i1
i1
则称随机变量X的数吴赣学昌编期_概率望论与不数理存统计在_第。4
章
例如，设离散型随机变量X的分布律为
X -2 -1
2k 1 1
xk
k1
pxk
k1
k 2k
k1k
发散
所以E(X)不存在，但级数
k 1x kp x kk 1( 1 )k2 k k2 1 kk 1( k 1 )k ln 2
(交错级数满足Leibniz条件)(收敛)
要注意数学期望的吴赣条昌编件_概率：论章与“数理绝统计对_第收4 敛”。
二、连续型随机变量的数学期望
定义4.2 设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则称X的数学期望存在，
且称积分
xf
(x)dx为随机变量X的数学期望，记为E(X)
即
E(X) xf(x)d.x
数学期望简称期望或均值。
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
例6：设 X U (a ,b )， 求 E (X )。
精品资料
在例4.1中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6 等，是事件(X=k)在100次试验中发生的频率(X为命中 的环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件 (X=k)在一次试验中发生的概率pk。上述平均环数的计
10
算可表示为 kp k k 8
我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。
ij
j
连续r.v.
E(X)
x(fx,y)dxdE y(X)
xX f(x)d
x
E(Y) yf(x,y)dxdyE(Y)
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4