吴赣昌编_概率论与数理统计_第4章 ppt课件

2、设X ~ P(),则E(X )
3、设X ~ U(a,b),则E(X ) a b 2
4、设X ~ N(, 2),则E(X ) 5、设X服从参数为的指数分布,则E(X ) 1
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
三、随机变量函数的数学期望
定理4.1 设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g(•)
ij
j
连续r.v.
E(X)
x(fx,y)dxdE y(X)
xX f(x)d
x
E(Y) yf(x,y)dxdyE(Y)
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4
第四章 随机变量的数字特征、极限定理
❖数学期望
❖协方差和相关系数 ❖大数定律与中心极限定理
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
4.1数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
例4.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击 中命中环数与次数记录如下：
甲 环数 8 9 10
乙 环数 8 9 10
次数 30 10 60
次数 20 50 30
试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？
甲平均射中的环数为：
(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)
乙平均射中的环数为：
(8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)
因此从平均射中的吴环赣昌数编_概看率论，章与数甲理统的计_技第4术优于乙。
精品资料
在例4.1中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6 等，是事件(X=k)在100次试验中发生的频率(X为命中 的环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件 (X=k)在一次试验中发生的概率pk。上述平均环数的计
10
算可表示为 kp k k 8
我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。
二、连续型随机变量的数学期望
定义4.2 设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则称X的数学期望存在，
且称积分
xf
(x)dx为随机变量X的数学期望，记为E(X)
即
E(X) xf(x)d.x
数学期望简称期望或均值。
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
例6：设 X U (a ,b )， 求 E (X )。
数学期望——描述随机变量取值的平均特征
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
定义4.1 设X是离散型随机变量，其分布律为
X~P(X=xi)=pi, i=1,2,…,n，…
如果级数 x i p i 绝对收敛，则称X的数学期望存在，
i1
并称级数
xi pi
的和为随机变量X的数学期望，记作
i1
E(X)，即 E(X) xi pi
E (Y)E (g(X ) ) g(x)f(x)dx
此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的
期望时，不必知道吴Y赣的昌编分_概率布论章与而数理只统计需_第知4 道X的分布即可。
推广：设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是连 续函数。
(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为
0
1
2
Pk 1/16 2/16 3/16 2/16 8/16
则X的数学期望为
E ( X ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2 0 3 1 2 2 8 7 1616 16 16 18 6
例4.2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X 的数学期望。
解 X的分布律为 X 1 2 3 4 5 6
P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…
则当 g(xi, yj )pij 绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
i1 j1
Fra Baidu bibliotek (Z)E (g(X,Y) ) g(xi,yj)pij
i 1j 1
(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当
g(x,y)f(x,y)dxd绝y对收敛时，Z的数学期望存在，且
E (Z ) E (g (X ,Y ) ) g (x ,y )f(x ,y )d xd y 吴赣昌编_概率 论 与 数 理统计_第4 章
二维随机变量的数学期望
离散r.v.
E (X) xip(xi,yj) E(X) xipX(xi )
ij
i
E (Y) yjp(xi,yj) E(Y) yjpY(yj)
Pk 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
6 1 7
E(X) i 吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 i1 6 2 章
例4.4
设X取
xk
(1)k 2k k
(k=1,2,…)对应的概率为
p xk
1 2k
，证明E(X)不存在。
证明
1
pxk
2k
0
且
1
pxk
k1
2k
k1
1
但级数
2k 1 1
xk
k1
pxk
k1
k 2k
k1k
发散
所以E(X)不存在，但级数
k 1x kp x kk 1( 1 )k2 k k2 1 kk 1( k 1 )k ln 2
(交错级数满足Leibniz条件)(收敛)
要注意数学期望的吴赣条昌编件_概率：论章与“数理绝统计对_第收4 敛”。
i1
注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律
确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因
此要求级数 x i p i 绝对收敛。若级数 x i p i不绝对收敛，
i1
i1
则称随机变量X的数吴赣学昌编期_概率望论与不数理存统计在_第。4
章
例如，设离散型随机变量X的分布律为
X -2 -1
解 ： X 的 概 率 密 度 为 ： f(x) b－ 1a axb 0 其 他
X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) xf(x)dx
b
x dx a b
a ba
2
即 数 学 期 望 位 于 区 间 ( a ,b ) 的 中 点
吴赣昌编_概率论与数理统计_第4 章
几种重要分布的数学期望
1、设X ~ b(n, p),则E(X ) np
为连续函数)
(1)设X为离散型随机变量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,…
若级数 g(xi ) pi绝对收敛，则Y的数学期望存在，且
i1
E(Y)E(g(X)) g(xi)pi
i1
(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
若积分
g(x)f
(x)dx绝对收敛，则Y的数学期望存在，且