第七章作业及答案(学生版)

习题7-1

1. 选择题

(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X

的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .

(A) X 和S 2. (B) X 和21

1()n i i X n μ=-∑. (C) μ和

σ2.

(D) X 和

21

1

()n

i

i X X n

=-∑.

解 选(D).

(2) 设[0,]X U θ, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X

的样本, 则θ的矩估计量是( ) .

(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n

X ≤≤. (D) 1min{}i i n

X ≤≤.

解 选(B).

2. 设总体X 的分布律为

其中0＜θ＜12n , 试求θ的矩估计量.

解 θ的矩估计量为ˆ15

X θ

-=. 3. 设总体X 的概率密度为

(1),01,

(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨

⎩其它.

其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；

(2) θ的极大似然估计量.

解 参数θ的矩估计量为21ˆ

1X X

θ-=

-.

θ的极大似然估计值为 1

ˆ1ln n

i

i n

x

θ

==--∑,

而θ的极大似然估计量为 1

ˆ1ln n

i

i n

X

θ

==--∑.

4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为

e ,0,

(,)0,

0,x x f x x λλλ->=⎧⎨

⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数λ

的矩估计量与极大似然估计量.

解 λ的矩估计量为1ˆX λ=. λ的极大似然估计值为1ˆx

λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX

λ=. 习题7-2

1. 选择题: 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在但未知, 而

12,,

,n X X X 为X 的样本, 则无论总体X 服从什么分布, ( )是μ和2

σ的无偏估计量.

(A) 11n i i X n =∑和2

11()n i i X X n =-∑. (B) 111n i i X n =-∑和211()1n i i X X n =--∑. (C)

1

1

1

n

i

i X n =-∑和

2

1

1

()1

n

i

i X n μ=--∑. (D)

1

1

n

i

i X n

=∑和

21

1

()n

i

i X n

μ=-∑.

解 选(D).

2. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X

N μσ的样本, 且

Y 12311

34

X X kX =++为μ的无偏估计量, 问k 等于多少?

解 k =5

12

.

3. 设总体X 的均值为0, 方差2

σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X 的样本, 试证：

2121()2

X X -为2σ的无偏估计.

证 因为222

12112211[()][(2)]22

E X X E X X X X -=-+

22

2

2112212[()2()()]2

2

E X E X X E X σσ=-+=

=,

所以2121

()2

X X -为2σ的无偏估计.

习题7-3

1. 选择题

(1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.

(C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解 选(D).

(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).

(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C ）

习题7-4

1. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为105=x 元, 样本标准差28=s 元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间.

解

所求μ的置信区间为

2

2

((1),(1))(105 2.0227,105 2.0227)x n x n αα-

-+

-=+

=(96.045, 113.955).

2. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s =2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．

解 方差σ 2的置信区间为

2

2

2212

2

(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ---=--22

(81) 2.4(81) 2.4(

,)20.2780.989-⨯-⨯=(1.988, 40.768). 3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样