《计算方法》第五章 数值积分
计算方法数值积分
C1(2)
(1)1 2
4
21!1!0t(t2)dt6
类似可得，n=3时有四个Cotes系数
C 0 (3 ) 8 1 , C 1 (3 ) 8 3 , C 2 (3 ) 8 3 , C 3 (3 ) 8 1
n=4时，有五个Cotes系数
C 0 ( 4 ) 9 7 , 0 C 1 ( 4 ) 9 3 , 0 2 C 2 ( 4 ) 1 9 , 2 0 C 3 ( 4 ) 9 3 , 0 2 C 4 ( 4 ) 9 70
(k=0,1,2,…,4N)，h
ba N
4、复合Simpson公式算法
(1) 输入a,b,N (2) hba,sf(a),xa
2N
(3) 当 i=1,2, …,N时 做循环
① x=x+h ② s=s+4f(x) ③ x=x+h ④ s=s+2f(x)
(4) s h(s f (b)) 3
f()f(1 )f(2 ) f(n) N
1、复合梯形公式的余项
所以 IT Nb 1 a 2 h2f() , (a,b)
由 f (x) 在[a,b]上连续可知，f (x) 在[a,b]
上有界，于是存在常数M2，使
公式(5.6)称为等距节点内插求积公式。
求Ak
Ak
ablk(x)dx
b( n xxj a j0xk xj
)dx
jk
在等距节点前提下，做变换 t x a ，由 axb，可得 0tn 而x-xj=(t-j)h (j=0,1,2,…,n) ，xk-xhj=(k-j)h (j,k=0,1,2,…,n且j≠k)。 于是(5.5)式即为
A kk h !(( n 1 )n k k )! 0 n j n 0(tj)d t(b a )n(k !1 () n n kk)! 0 n j n 0(tj)dt
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分讲解
h2 R2 ( x0 ) 3
f (1 )—左端
h2 R2 ( x1 ) - 6
f (2 )
—中
R2 ( x2 )
h2 3
f (3 )
—右端
例1：已知列表
X 2.5
2.55 2.60 2.65 2.70
Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317
求f (2.50), f (2.6), f (2.7)的近似值。
h 2!
f ''( ) O(h)
因此，有误差
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
4
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
中心差商
f '( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
由Taylor展开
f ( x0
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
h 2!
f
''( ) O(h)
3
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向后差商
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由Taylor展开
R( x)
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
f ( )的近似值，这样导出的求积公式
ab
f
( x)dx
b
2
a
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值积分方法
(b a)3 12n 2
f (),
[a,b]
5.2.2 复化Simpson公式：
★ 计算公式
将[a, b] 2m 等分, m 为积分子区间数，记 n = 2m，n+1
为节点总数 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih,
i = 0,1,2,…,n,
在[a, b]上恒为正时，f ( x)在[a, b]上为凹，表示梯形的面积大
于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分
b
f ( x)dx
a
的值大.
二、Simpson公式 n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，
x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多
b x bdx 1 (b a) a ab 2
1
b
a l1( x)dx
b x adx 1 (b a) a ba 2
b
a
f
( x)dx
ba 2
f
(a)
f
(b)
T(f)
(5.2)
这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近 似计算公式，称为梯形数值积分公式。
第五章 数值积分方法
问题提出
计算
I
b
f ( x)dx
F(a) F(b)
a
但是在许多实际问题经常遇到下列情况：
（1）原函数存在但不能用初等函数表示；
（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；
（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。
数值计算方法 数值积分1
b
bn
n
b
a Ln (x)dx
(
a
l j (x) y j )dx
[ a l j (x)dx]y j
j 0
j0
n
(b a) [
1
j0 b a
b
a l j (x)dx] f (x j )
n
(b a)
C
( j
n
)
f
(x
j
)
j 0
因此就归结为求权
C
( j
n)
1 ba
b a
5.1 Newton-Cotes求积公式
5.1.1 Cotes 系数
首先，我们考察一种简单情况。设 y = f (x) 用节点 (a, f (a)),(b,( f (b))
的一次插值多项式代替，即
f (x)= L1(x)+ r1(x)
(5.1.1)
= x- b f (a)+ x- a f (b)+ 1 f " (x)(x- a)(x- b) x (a,b)
C (n) j
1 ba
bn a
i0
x xi dx 1
x j xi
nh
nn 0
i0
t i hdt j i
i j
i j
1 n
1
nn
(t i)dt
n i0 j i 0 i0
i j
i j
(1)n j
nn
(t i)dt
nj!(n j)! 0 i0
i j
当n 1时，仅有两个节点：
l
j
( x)dx
b
1
a
bn a
i0
x xi dx x j xi
计算方法 第五章 数值积分与微分1
其中
b
A
k 0
b a
n
f ( xk )
Ak lk ( x )dx
a b a
n1 ( x )dx 1 ( xk ) ( x xk ) n
余项 Rn [ f ]
f ( ) n1 ( x )dx ( n 1)!
首先，遇到的是一类被积函数 f ( x) 没有初等 函数有限形式的原函数，如:
椭圆周长: L 4
1
2 0
1 a sin d；
2 x2
正态分布函数: e
0
dx
其次，被积函数 f ( x) 由表格形式给出，没有解析形式，也无 法使用 Newton- Leibniz 公式；
b
a
f ( x)dx lim
x 0
f ( )x
i 0 i
n
i
(1)分割 (2)近似 (3)求和
a x0 x1 ... xn i b si f ( )xi
n n
xi xi xi 1
S n si f ( i )xi
i 0 i 0
f (a kh)
当n为奇数时至少具有n次代数精度；当n为偶数时至少 具有n+1次代数精度。
证明： 由定理5.2知：插值型求积公式至少有n次代数精度
f ( x ) x （n为偶数）时，余项等于零。 ( n 1) b f b n ( ) 余项 Rn [ f ] ( x xk )dx a (n 1)! n1 ( x )dx a k 0 xk a kh 作变换 x a th
第三，常常 f ( x) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x)推 导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便。
第五章 数值积分.ppt
1
dx 1
0
1 xdx 1
0
2
A0
A1
1 2
．
1
所以公式为： 0
f
( x)dx
1
2
f
0
f
1 ．
12
三 、牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式
定义3 等距节点下的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式。
把区间 a,b分成 n 等分，每份的长度为 h (b a) / n ，
解： e0 1， e 2.71828 ， e0.5 1.64872
所以利用梯形公式：
I
T1
1 2
1
2.71828
1.85914
；
利用 Simpson 公式：
I
S1
1 6
1
41.64872
2.71828
1.71851 ．
对比真值 I 1.71828，可见 S1 更精确一些．
C
(n i
)
C
(n) ni
；
这可以从柯特斯系数的积分表达式中直接得到．
17
应用中必须考虑数值稳定性，设函数值计算产生误差为：
f xi fi i ，并记 max i ，则在牛顿—柯特斯公式计算中：
n
n
C(n) i
f
xi
C(n) i
fi
，误差是：
i0
f
( x)dx
ba 90
7
f
(a) 32
f
(x1) 12
f
(x2 )
数值积分-计算方法
数值积分第1章 理论依据逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。
基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。
§1插值求积公式为了用数值方法求b aI(f)=f(x)dx⎰，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点上作Lagrange 插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I （Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积分I(f(x))。
§2Newton —Cotes 公式§2.1Newton —Cotes 公式的推导当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton —Cotes 公式。
将区间[a,b]n 等分，b ah n -=，n+1个节点为x k =a+kh (k=0,1,…,n)在节点上对f(x)的Lagrange 插值多项式是：0()()()nn j n k k j k jj kx x p x f x x x ==≠-=-∑∏用P n (x)代替f(x)构造求积公式：0()()()nnbb jn n k aak j kjj kx x I p x dx f x dxxx ==≠-==-∑∏⎰⎰记，(k=0,1,…,n)作代换x=a+th 带入上式，变为：()00()n n n n k kj j kb a t j A dt b a C n k j=≠∆--==--∏⎰其中： (k=0,1,…,n) （1-1）这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n 就能计算出系数。
于是得到称为Newton —Cotes 公式的求积公式：()0()nn n k kk I b a C y ==-∑ （1-2）其中称为Newton —Cotes 系数。
如表1所示。
§2.2Newton —Cotes 公式误差和稳定性在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是(1)0()()()()()(1)!n nn n k k f R x f x p x x x n ξ+==-=-+∏因此，Newton —Cotes 公式的截断误差是(1)0()()()(1)!n nbk ak f R f x x dx n ξ+==-+∏⎰（1-3）讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算()b af x dx⎰其中计算函数值f(xn)有误差值（k=0,1,2, …,n ）。
计算方法 第5章 数值积分
(7―1)
2020/1/11
2
公式(7―1)虽然在理论上或在解决实际问题中 都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分 的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以 下三种情况:
(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多
很简单的函数,例如
sin x , 1 , ex2 x ln x
2 0
(s 1)(s 2)ds 1 6
C ( 2 ) 1
1 2
2 0
s(s 2)ds 4 6
C ( 2 ) 2
1 4
2 0
s(s 1)ds 1 6
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
这是抛物线(Simpson)公式。
C (1) 0
1 0
(s 1)ds 1 2
C (1) 1
1 0
sds 1 2
此时式(7―10)为
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
(7―12)
这是梯形公式。
2020/1/11
25
当n=2时,可得
于是
C ( 2 ) 0
1 4
k i
Rn
(
f
)
(n
1 1)!
b a
f (n1) ( )n1(x)dx
（7-8） （7-9）
我们称
b
n
f (x)dx
a
ai yi
i0
（7-10）
为牛顿―柯特斯(Newton-Cotes)求积公式,Rn(f)为 牛顿―柯特斯求积公式的余项。
第五章数值积分方法优秀课件
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
计算方法--数值积分省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
f
( x)
(x ( x1
x0 )( x x) x0 )( x1 x)
f
( x1 )
有
x1 f ( x)dx
x0
x1 x0
L2
(
x )dx
尤其地：当
x
1 2
(
x0
x1 )
,于是，
x1 x0
f
( x)dx
( x1
6
x0 )
f
(x0 ) 4
f
(
x0
2
x1 )
f
( x1)
Simpson公式
30
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时旳公式是最常用也 最主要三个公式,称为低阶公式
取n 1, 有x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为
C ( 1 ) 01(t01)dt1 2
C ( 1 ) 1
1
tdt
0
1 2
求积公式为
31
1
I1( f ) (b a) Ck(1) f (xk )
按此余项公式，对于次数不超出 n 旳多项式 f (x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点旳求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度.
反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则肯定 是插值型旳。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立旳:
b
n
a lk (x)dx Ajlk (x j ) Ak
j0
Return 24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 公式旳一般形式 第2节 低阶公式及其他项 第3节 复合求积公式
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值计算方法褚衍东第五章
数值计算方法褚衍东第五章哎呀呀，亲爱的朋友，今天咱就来唠唠这个《数值计算方法褚衍东第五章》。
这第五章啊，就像是一个神秘的宝库，里面藏着好多实用的宝贝方法。
首先呢，咱来说说第一个关键的方法，就像是打开宝库的第一把钥匙——插值法。
这插值法呀，你就把它想象成你去参加一个猜价格的游戏。
比如说有几个已知的价格点，就像给了你几个提示，然后让你去猜猜中间那些不知道价格的地方大概是多少。
插值法就是帮你根据已知的点，去估摸那些未知的。
具体咋操作呢？比如说给了你几个点（x1,y1），（x2,y2）…… 那咱就可以通过一些公式，像拉格朗日插值公式啥的，来算出中间那些没告诉你的点的数值。
这公式就像是一个神奇的魔法咒语，你得把那些点的坐标带进去，然后就能算出个大概来。
接着，咱们迎来了第二个方法——数值积分法。
这数值积分啊，就好比你要算一块形状不规则的地有多大。
你没办法直接用学过的公式来算，那咋办？咱们就把这块地切成好多小块，每一小块都近似看成一个规则的形状，比如长方形啥的，然后把这些小块的面积加起来，大概就知道整块地的面积啦。
这里面常用的方法，像矩形法、梯形法，你可别被这名字吓到。
矩形法呢，就是把那些小块都看成矩形来计算；梯形法呢，就是把它们看成梯形来算。
再来说说第三个方法——常微分方程数值解法。
这个就有点像你追着一个调皮的小孩跑。
这个小孩的运动轨迹不好直接算，但是咱们可以一小段一小段地去估计他的位置。
比如说，咱们可以用欧拉方法，每一步都根据前面的位置和速度来推测下一步他会跑到哪儿。
在实际操作的时候，你得先确定好初始条件，就像知道小孩从哪儿开始跑，跑得多快。
然后按照公式一步一步地算下去，慢慢地就能大概知道他之后的位置啦。
总之，这第五章里的数值计算方法，虽然听起来有点复杂，但其实就跟咱们日常生活中的一些小事情差不多。
只要你多琢磨琢磨，多练练手，就一定能掌握这些神奇的“魔法”！朋友，加油，相信你能搞定！回头你要是弄明白了，别忘了来跟我分享分享你的成果哟！。
计算方法 数值积分
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"<<setw(6)<<e<<endl;
❖}
3
2.5 辛普森积分法
2
1.5 1
0.5
0.5
1
1.5
x0 x0+x x0+2x
-0.5
原理介绍:
把区间[x0,x1]分为2n等分，n个
区间，在长度为2x 的区间上
❖ 对大多数f(x)而言，找原函 数困难，即使存在原函数也 不能用初等函数表示
ex2,sinx, 1x3...... x
❖ 原函数表达式过于复杂
x2 2x2 3 3
❖ 被积函数由表格给出，没有 解析形式，也无法使用 Newton-Leibniz公式来求 积分
数值积分
❖ 为了避免上述积分过程中存在的问题，我们可以采用 数值积分的方法来求解，这样就避免了原函数的求解 过程，同时对于由测量或计算得到的数据表表示的 f(x)也可以求解
❖
e[i]=value_integ[i]-2;
❖
cout.precision(15);
❖
for(j=0;j<20;j++)
❖
cout<<value_integ[j]<<" "<<" "<<e[j]<<" "<<e[j+1]/e[j]<<endl;
数值积分方法课件
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
计算方法数值积分教学PPT
ji
Rn ( f )
b a
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)
dx
b f ( x)dx
a
n
f ( xi )ai(n) Rn ( f )
i0
}
推导具体计算公式
由
ai(n)
b a
jn x x j dx, j0 xi x j
ji
xi a ih, x j a jh, ba
5888/ 28350
-928/ 28350
10496/ 28350
-4540/ 28350
10496/ 28350
例如：n=2时，有
c(2) 0
1 6
,
c(2) 1
4 6
,
c(2) 2
1 6
n=3时，有
c(3) 0
1 8
,
c(3) 1
3 8
,
c(3) 2
3 8
,
c(3) 3
1 8
-928/ 28350
a
( i
n)
i!
(1)ni (n i)!
hn
n 0
n
(s
j0 ji
j) hn hds
(1)ni (b a)
i! (n i)!
n 0
n
(s
j0 ji
j ) ds
a(n) i
(b
a)
c(n) i
,
ci(n)
(1)ni i! (n i)!
n 0
n
(s
j0
j ) ds
ji
}
由
}
5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造
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j 0,1, 2, 3
I ( x4 ) I2 ( x4 )
由此得该积分公式具有 3 次代数精确度. 17
类似地, 可以证明矩形公式具 0 次代数精度
b
a
f ( x )dx f (a )(b a )
可以证明 Simpson公式具 3 次代数精度.
b
a
(b a ) ab f ( x )dx f (a ) 4 f ( ) f ( b) 6 2
4 h x 3dx 4 4 h4 h I2 ah2 [0 3h2 ] 2 4
f ( x) x3
I
h
0
f ( x) x4
I
因此
h
0
5 h x 4dx 5
5 h5 h I2 ah2 [0 4h3 ] 2 6
I ( x j ) I2 ( x j )
b
a
x dx
b2 a 2 2
=
b a 2
[a b]
[a 2 b2 ]
14
代入 L2 = x2 ：
b
a
x dx
2
b 3 a 3 3
b a 2
得代数精度 = 1
算例:
试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I f ( x )dx
0
h
h [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2
k 0
n
其中, xk 称为积分节点，Ak 称为求积系数。 因此，数值积分公式关键在于积分节点 xk 的选取 和积分系数 Ak 的决定，其中 Ak与被积函数 f (x) 无关。 称为机械求积公式。
6
简单算例
求积分
x
x1
0
f ( x )dx
7
简单算例 解
求积分
x
x1
0
f ( x )dx
此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。
在 [a, b] 上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值多
n
项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，
k 0
即得到
不同的 插值方法 有不同的 基函数
b
a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
梯形公式
10
推广:
用 f (x) 的二次插值多项式, 来近似代替 f ( x)
( x x0 )( x x1 ) ( x x)( x x1 ) L2 ( x ) f ( x0 ) f ( x ) ( x0 x)( x0 x1 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x0 )( x x) f ( x1 ) ( x1 x0 )( x1 x)
a
a
27
I f ( x )dx a f ( xk )lk ( x )dx a Rn ( x )dx
b
b
b n
a
k 0
Ak f ( xk ) Rn ( x )dx
b
k 0
n
a
其中 Ak a lk ( x )dx a
用 f (x) 的零次多项式
y L0 ( x ) f ( x0 ) 来近似代替 f ( x)
于是有
x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
f ( x0 )dx
f ( x0 )( x1 x0 )
左矩公式
8
推广:
x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
f ( x1 )dx
2 2 h h I2 I x1dx 0 2 2 3 h h I x 2dx 0 3 1 h3 3 2 ( 2 a ) h I2 ah [0 2h] 2 2 1 a 令0
h f ( x )dx [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2 2
考察其代数精度。
f(x)
f(b)
f(a) a b
13
梯形公式
b a
a f ( x)dx b 2 [ f (a) f (b)] 的代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 L0 = 1：
f(a)
b a 2
f(b)
a b
1 dx b a =
a
b
[1 1]
代入 L1 = x ：
x[ a ,b ]
21
§5.1.4 插值求积法 - 余项
N+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 N 次代数精度.
22
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度. 由插值余项定理得 , 插值型求积公式的余项为
f ( n1) ( ) R[ f ] I I n ( x)dx a (n 1)! 式中 与变量 x 有关, ( x) ( x x0 )( x x1 )
b a
lk ( x)dx Aj lk ( x j ) Ak
j 0
n
Return
24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 第2节 公式的一般形式 低阶公式及其余项
第3节 复合求积公式
25
第1节 Newton-Cotes数值求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式
3
§5.1.1 引言
定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:
a f ( x)dx F (b) F (a)
其中 F(x) 是 f (x) 的原函数之一，可用不定积分求得.
b
问题
被积函数 f (x) 是用函数表格提供; f(x) 极为复杂，求不出原函数; 大量函数的原函数不容易或根本无法求出.
其中
lk ( x )
0 j n jk
x xj xk x j
[a , b]
n 1 ( x ) ( x xi )
i 0
n
而
f ( x) Ln ( x) Rn ( x)
因此对于定积分
b
I ( f ) f ( x )dx
a
b
b
有 I ( f ) f ( x )dx [ Ln ( x ) Rn ( x )]dx
b
, xn
利用被积函数 f (x) 在这 n+1 个点的函数值的某一 种线性组合来近似作为待求的定积分.
a
b
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
其中, xk 称为积分节点， Ak 称为求积系数。
5
§5.1.2 数值积分的基本方法
a
b
f ( x )dx Ak f ( xk )
, m ) 多项式都精确成立，
f ( x ) x m 1 不精确成立，
则称该数值积分公式具m 次代数精确度。 12
算例: 对于[a, b]上线性插值，如图所示有
x b x a L1 ( x) a f ( a ) f (b) b b a
a A1 A2 b 2
b a
a f ( x)dx b 2 [ f (a) f (b)]
n
Ak
Ak
b a
k j
( x x j ) ( xk x j )
dx
由 节点决定， 与 f (x) 无关。
20
§5.1.4 插值求积法 - 余项
误差:
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dx
计算方法
第五章 数值积分
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
1
§5 数值积分
§5.1 机械求积公式 §5.2 Newton_Cotes公式
§5.3 变步长求积公式及其加速 收敛技巧
§5.4 Gauss公式
2
§5.1 机械求积公式
第1节 引言
第2节 数值积分的基本方法
第3节 第4节 代数精度法 插值求积法
b
( x xn ) .
按此余项公式，对于次数不超过
n
的多项式 f ( x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度. 反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则必定 是插值型的。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立的:
k 0
即得到
b
a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
n
19
§5.1.4 插值求积法
近似计算 I
b
a
f ( x )dx
利用插值多项式 Pn ( x ) f ( x ) , 则定积分容易计算。
利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:
右矩公式
f ( x1 )( x1 x0 )
x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
x0 x1 f( )dx 2