《计算方法》第五章 数值积分

j 0,1, 2, 3
I ( x4 ) I2 ( x4 )
由此得该积分公式具有 3 次代数精确度. 17
类似地, 可以证明矩形公式具 0 次代数精度

b
a
f ( x )dx f (a )(b a )
可以证明 Simpson公式具 3 次代数精度.

b
a
(b a ) ab f ( x )dx f (a ) 4 f ( ) f ( b) 6 2
, m ) 多项式都精确成立，
f ( x ) x m 1 不精确成立，
则称该数值积分公式具m 次代数精确度。 12
算例: 对于[a, b]上线性插值，如图所示有
x b x a L1 ( x) a f ( a ) f (b) b b a
a A1 A2 b 2

b a
a f ( x)dx b 2 [ f (a) f (b)]
0 e
1
x2
dx
sin x 0 x dx
1
4 Ir x 2 H ( x) 2 1 sin2 d 2 0 r x r

2
只能运用数值积分, 求积分近似值 .
4
§5.1.2 数值积分的基本方法
a f ( x)dx
就是在区间 [a , b] 内取 n+1 个点 x0 , x1 ,
b
, xn
利用被积函数 f (x) 在这 n+1 个点的函数值的某一 种线性组合来近似作为待求的定积分.
a
b
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
其中, xk 称为积分节点， Ak 称为求积系数。
5
§5.1.2 数值积分的基本方法
a
b
f ( x )dx Ak f ( xk )
a
a
27
I f ( x )dx a f ( xk )lk ( x )dx a Rn ( x )dx
b
b
b n
a
k 0
Ak f ( xk ) Rn ( x )dx
b
k 0
n
a
其中 Ak a lk ( x )dx a
考察其代数精度。
f(x)
f(b)
f(a) a b
13
梯形公式

b a
a f ( x)dx b 2 [ f (a) f (b)] 的代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 L0 = 1：
f(a)
b a 2
f(b)
a b
1 dx b a =
a
b
[1 1]
代入 L1 = x ：

b a
lk ( x)dx Aj lk ( x j ) Ak
j 0
n
Return
24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 第2节 公式的一般形式 低阶公式及其余项
第3节 复合求积公式
25
第1节 Newton-Cotes数值求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式
其中
lk ( x )
0 j n jk

x xj xk x j
[a , b]
n 1 ( x ) ( x xi )
i 0
n
而
f ( x) Ln ( x) Rn ( x)
因此对于定积分
b
I ( f ) f ( x )dx
a
b
b
有 I ( f ) f ( x )dx [ Ln ( x ) Rn ( x )]dx
于是，

x1 x0
f ( x )dx L1 ( x )dx
x0 x1
x1
x x1 x x0 f ( x0 ) f ( x1 ) dx x0 x x x1 x0 0 1 1 ( x1 x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) 2
4 h x 3dx 4 4 h4 h I2 ah2 [0 3h2 ] 2 4
f ( x) x3
I
h
0
f ( x) x4
I
因此
h
0
5 h x 4dx 5
5 h5 h I2 ah2 [0 4h3 ] 2 6
I ( x j ) I2 ( x j )
在 [a, b] 上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值多
n
项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，
k 0
即得到
不同的 插值方法 有不同的 基函数

b
a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
k 0
n
其中, xk 称为积分节点，Ak 称为求积系数。 因此，数值积分公式关键在于积分节点 xk 的选取 和积分系数 Ak 的决定，其中 Ak与被积函数 f (x) 无关。 称为机械求积公式。
6
简单算例
求积分
x
x1
0
f ( x )dx
7
简单算例 解
求积分
x
x1
0
f ( x )dx
此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。
15
算例: 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I
h 0
h f ( x )dx [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2
0
解:
f ( x) x
I

h
0
x 0dx h
I2 h
f ( x ) x1 f ( x) x 2
11
§5.1.3 代数精度法
为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际 计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立. 因此定义代数精度的概念: 若积分
a f ( x)dx
b
的数值积分公式
n
a
但对
b
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
i f ( x ) x ( i 0,1, 对于任意
18
§5.1.2 插值求积法
近似计算 I

b
a
f ( x )dx
利用插值多项式 Pn ( x ) f ( x ) , 则定积分容易计算。
利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:
在 [a, b] 上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值多
n
项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，
n
Ak
Ak
b a

k j
( x x j ) ( xk x j )
dx
由 节点决定， 与 f (x) 无关。
20
§5.1.4 插值求积法 - 余项
误差:
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dx

b
a
x dx
b2 a 2 2
=
b a 2
[a b]
[a 2 b2 ]
14
代入 L2 = x2 ：

b
a
x dx
2
b 3 a 3 3

b a 2
得代数精度 = 1
算例:
试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I f ( x )dx
0
h
h [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2
3
§5.1.1 引言
定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:
a f ( x)dx F (b) F (a)
其中 F(x) 是 f (x) 的原函数之一，可用不定积分求得.
b
问题
被积函数 f (x) 是用函数表格提供; f(x) 极为复杂，求不出原函数; 大量函数的原函数不容易或根本无法求出.
x[ a ,b ]
21
§5.1.4 插值求积法 - 余项
N+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 N 次代数精度.
22
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度. 由插值余项定理得 , 插值型求积公式的余项为
f ( n1) ( ) R[ f ] I I n ( x)dx a (n 1)! 式中 与变量 x 有关, ( x) ( x x0 )( x x1 )
用 f (x) 的零次多项式
y L0 ( x ) f ( x0 ) 来近似代替 f ( x)
于是有

x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
f ( x0 )dx
f ( x0 )( x1 x0 )
左矩公式
8
推广:

x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
f ( x1 )dx
有 特别地：当 x

x1 x0
f ( x)dx
x1 x0
L2 ( x)dx
1 ( x0 x1 ) ,于是， 2

x1 x0
( x1 x0 ) x 0 x 1 f ( x )dx f ( x0 ) 4 f ( ) f ( x1 ) 6 2
Simpson公式
右矩公式
f ( x1 )( x1 x0 )

x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
x0 x1 f( )dx 2
中矩公式
x0 x1 f( )( x1 x0 ) 2
9
推广:
用 f(x) 的一次多项式 L1 ( x ) 来近似代替 f ( x) ,
x x0 x x1 L1 ( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1 x1 x0
设函数
f ( x ) C[a, b]
将积分区间[ a, b]分割为n等份
各节点为
xk a kh , k 0,1,
h ba 为步长 n
,n
f(x)的 Lagrange 的插值多项式及余项分别为
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Ln ( x )
k 0
n
f ( n1) ( ) f ( xk )lk ( x ) Rn ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
梯形公式
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推广:
用 f (x) 的二次插值多项式, 来近似代替 f ( x)
( x x0 )( x x1 ) ( x x)( x x1 ) L2 ( x ) f ( x0 ) f ( x ) ( x0 x)( x0 x1 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x0 )( x x) f ( x1 ) ( x1 x0 )( x1 x)
b
( x xn ) .
按此余项公式，对于次数不超过
n
的多项式 f ( x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度. 反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则必定 是插值型的。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立的:
a a
b
b


b a
f
( x ) n ( x xk ) dx (n 1)! k 0
( n 1)
R[ f ]

b a
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x ) n ( x xk ) dx (n 1)! k 0
( n 1)
b M N 1 ( x) dx a (n 1)!
if max f ( N 1) ( x) M
2 2 h h I2 I x1dx 0 2 2 3 h h I x 2dx 0 3 1 h3 3 2 ( 2 a ) h I2 ah [0 2h] 2 2 1 a 令 I I2 12
h
16
I
h
0
h f ( x )dx [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2 2
k 0
即得到

b
a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
n
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§5.1.4 插值求积法
近似计算 I

b
a
f ( x )dx
利用插值多项式 Pn ( x ) f ( x ) , 则定积分容易计算。
利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:
计算方法
第五章 数值积分
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
1
§5 数值积分
§5.1 机械求积公式 §5.2 Newton_Cotes公式
§5.3 变步长求积公式及其加速 收敛技巧
§5.4 Gauss公式
2
§5.1 机械求积公式
第1节 引言
第2节 数值积分的基本方法
第3节 第4节 代数精度法 插值求积法