北京大学1997年研究生入学考试离散数学试题共50分

北京大学1997年研究生入学考试离散数学试题（共50分）

1 (7分)

在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。

“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。”

2 (8分)

在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断：

甲说：王教授不是苏州人，是上海人。

乙说：王教授不是上海人，是苏州人。

丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。

王教授听后，笑曰：你们3人中有一人全说对了，有一人全说错了，还有一人对错各半。

试用逻辑演算法判断王教授是哪里人？

3 (3分)

设根树T有17条边，12片树叶，4个4度内点，1个3度内点。求T的树根的度数。

4 (7分)

设无向图G是n(n≥3)个顶点的极大平面图，证明G的对偶图G*的边连通度l(G)≥2，并且G*是3-正则图(Δ(G)=d(G)=k的无向图G称作k-正则图)。

5 (4分)

设R={| x,yÎnÙx+3y=12}，求R2。

6 (6分)

设A为集合，B=P(A)-{Æ}-{A}，且B≠Æ。

求偏序集的极大元，极小元，最大元和最小元。

7 (4分)

设A={1,2,3}，fÎAA，且f(1)=f(2)=1，f(3)=2，定义G：A→P(A)，G(x)=f-1(x)。说明G有什么性质(单射、满射和双射)，计算值域ranG。

8 (4分)

设I是格L的非空子集，如果

(1) "a,bÎI，有aÚbÎI，

(2) "aÎI，"xÎL，有x≤aÞxÎI。

则称I是格L的理想。

证明：格L的理想是一个子格。

9 (7分)

设G为n阶群，aÎG。令

H={xax-1|xÎG}，N(a)={x|xÎGÙax=xa}。

证明：

① |H|=[G:N(a)]；

②设C={x|xÎGÙ"yÎG(xy=yx)}是群G的中心，且|C|=m，则|H|∣n/m。