离散数学课程.

教学实施方案是什么？

专业规范与实施方案
分支学科形态
发现计算规律－科学 有效构建系统－工程 实现方便服务－应用
专业特色
专业规范
培养目标 培养规格 计算机科学与技术 信息与计算科学
能力培养需求
计算思维能力 算法设计分析能力 程序设计实现能力 系统能力
人才定位
科学型、工程型、应用型
教学条件 实施方案

知识单元、知识点 相互关联或者层次关系

应该具有什么能力要求？

开发能力、团队合作能力、工程管理能力、系统建模能力、学习 能力、创新能力等
课程体系设计：覆盖相关的核心知识点，有利于教学过程组织， 配合能力的培养（实践环节） 教学设计、学时安排、考核办法、实验环节等
6

上述目标通过什么课程体系来实现？
3
4
计算机科学与技术专业方向
CS2004 CE2004
SE2004
软件工 程方向
IT2004 信息技 术方向
计算机 科学方向
计算机 工程方向
CCC 2004
计算机科学与技术专业本科教育类型： 科学型（计算机科学） 工程型（计算机工程与软件工程） 应用型（信息技术）
5
问题

不同专业方向需要什么样的核心知识结构？

确定指导思想，起草课程教学实施方案初稿 参与核心课程实施方案研究组讨论，修改定稿（高教出版 社，2009.7出版）
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指导思想

强调离散数学课程在计算机科学与技术专业课程体系中的 基础地位和核心作用 根据《专业规范》中关于离散数学课程的总体要求，围绕 核心知识体系，面向培养科学型、工程型和应用型的不同 计算机人才定位，构建不同的知识框架 针对不同学校的专业特色和培养目标，设计可灵活配置的 知识单元，同时给出授课建议和学习要求 将知识传授、能力培养和素质教育融为一体，贯穿于教学 设计的各个环节

描述方法：模型 分析方法：变换、数量化等 证明方法：演绎推理、公理化方法、构造性方法等
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能力培养目标

计算机科学技术人才需要的能力结构


获取知识能力：自学能力、信息获取、表达能力 应用知识能力：对事物的整体的系统的认知能力、理 论分析能力、实践能力 创新能力：创造性思维能力、创新实验能力、科技开 发能力、科学研究能力、对新知识新技术的敏感性
23
知识点与学时安排
基本逻辑：16 学时
知识点 学时
命题、联结词与语句形式化
重言式、可满足式与矛盾式 等价式、蕴含式
3
1 2
范式与联结词的归约
有效推理与形式证明 个体词、谓词、量词与语句形式化 谓词公式的真值及其永真式
4
2 2 2
24
集合关系与函数：17学时
知识点
集合的表示与幂集 集合的基本运算
知识体系 课程大纲 教学要求 教学安排 教学环节 课程体系、生源、师资
7
离散数学课程小组的工作

组成：王元元、傅彦、张桂芸、屈婉玲 对相关指导文件的研讨 对计算机专业离散数学教学现状的调研

20多所学校 30％学校包含了专业规范的全部核心知识点，大部分学校对核心 知识点的覆盖面达70％以上 70％学校为5－6学分，80－100学时；6学分以上分成2学期上课， 5学分（含上机）1学期完成教学。最少3.5学分，45学时，最多 7.5-9学分，126－144学时



研究对象、研究内容、历史由来 在整体课程体系中的重要性 学科特点及进展 学习目标、学习方法、教学环节、考核方式、成绩评 定、教学资源
教学中注意与计算机其他课程之间的联系 适当讲授习题课，加强作业批改和讲评 通过多种教学环节加强能力的培养

28
关于教学实施方案的说明

课程知识框架与教学计划的关系
离散数学课程
教学实施方案
离散数学课程教学实施方案研究组 2009.08
1
教学实施方案

立项概况 设计思想 基本内容


主要特点
实例介绍

几点说明
2
项目背景

高等教育已经进入以质量提升为目标的发展阶段

教育部高等学校计算机科学与技术教指会做了大量 调研，发布了一系列指导性的文件


《高等学校计算机科学与技术专业发展战略研究报告暨 专业规范(试行），高等教育出版社,2006 《高等学校计算机科学与技术专业公共核心知识体系与 课程》，清华大学出版社，2007 《高等学校计算机科学与技术专业实践教学体系与规范 》,清华大学出 版社，2008
建议学时 51-72
12
特色

灵活的教学设计

知识框架的模块化结构 划分为核心知识单元（60％左右）、推荐知识单元、 可选知识单元三个层次 可根据不同培养目标、专业特色、课程体系进行组合 定制

强调学科方法和能力培养

提倡因材施教、分流培养的教学理念
13
知识点构பைடு நூலகம்（数理逻辑部分）
领域 章 命题 演算 节 命题 联结词 命题公式 语句形式化 重言式 知识点 命题, 真值, 原子命题(原子), 复合命题 否定词, 合取词, 析取词, 蕴涵词, 双向蕴涵词 命题常元, 变元, 命题公式, 指派, 真值表 语句的形式化基本技能 重言式(永真式),可满足式,不可满足式(矛盾式,永假式) 逻辑等价式,逻辑蕴涵式,代入原理,替换原理,有效推理 对偶式, 对偶原理 析取子句(布尓析取),合取子句(布尓合取),析取范式，合取范式 极大项，极小项，主析取范式，主合取范式 联结词扩充，联结词可表示性，完备联结词组 个体常元,个体变元,个体项,个体域,全总域 谓词,谓词的元数,谓词命名式,谓词填式 量词,全称量词,存在量词,量词的辖域 约束变元,自由变元 谓词公式(合式公式), 限定谓词 语句的形式化基本技能 公式在u1,…,un处真,在解释I下真,在D上永真,永真,公式可满足,永假 逻辑等价式，逻辑蕴涵式，有效推理 t在A中对x可代入, 代入原理,替换原理, 对偶式, 对偶原理, 改名原理 证明,定理,演绎, 前提, 演绎结果 CP规则(演绎定理), 反证规则 全称消除, 存在引入, 全称引入, 存在消除规则 自然推理系统的组成 系统内的推理, 一致性, 合理性, 完备性 14
学时
2 2
有向网络,图的最短路径与关键路径
图的矩阵表示 树的定义与性质
2
2 1
生成树
根树及应用
2
3
26
特殊的图 基本计数
特殊的图：4 学时
知识点 欧拉图 哈密顿图 学时 1 1
偶图
2
基本计数：3 学时
知识点 基本组合计数公式 学时 2
基本递推关系及应用
1
27
关于教学设计的建议

在第一次课上进行引论性的介绍
16
离散数学知识框架(工程型)
形式 系统 高级 计数 初等 数论 应 用
可选知 识单元
证 明 技 术
特殊 的图
代数 结构
应 用
推荐知 识单元
函 关
数 系
树 图
基本 计数
应 用
集 合
基本逻辑
核心知 识单元
17
离散数学知识框架(应用型)
基本 计数 代数系 统简介 初等 数论 应 用
可选知 识单元
特殊 的图



9
离散数学的基础地位

基础数学的延伸

算法与数据结构 的理论基础
概率统计、算法 设计与分析的理 论基础
概率 统计
算法设计 与分析
编译技术 网络技术 软件工程 人工智能

算法与数 据结构 离散 数学
概率 统计

其他专业课程的 描述和建模工具
高等 代数
数学 分析
10
离散数学课程教学目标

具有良好的知识结构，为学习其他课程打下基础：知识获 取能力
学时
1 1
集合的应用及恒等式的证明
序偶与笛卡儿积 二元关系的概念与表示 二元关系的性质 二元关系的运算及闭包 等价关系与序关系 函数定义与性质 复合函数与逆函数
1
1 2 1 3 4 1 2
25
图与树：14 学时
知识点
图的基本概念: 无向图与有向图,子图与补图,握手定 理、图的同构 图的连通性: 通路与回路,连通性,连通度,连通分支
掌握离散数学的语言，能对实际问题给出清晰的描述（建 模）：基本应用能力 掌握离散数学的分析方法，针对实际问题设计解决方案并 加以实施：工程实践能力



培养思维严谨性，提升抽象思考和严格推理能力：研究能 力
了解现代数学思想和学科进展，培养创新意识
11

特色：面向不同培养目标
类型 培养 要求 定位 人数 离散 数学 的基 础 涉及 其他 专业 课 学时 安排 科学型 基础理论和核心技术研究 原始创新 学术研究 少 熟练掌握形式描述、变换 、推理和证明方法 熟练掌握离散系统的描述 与分析方法 了解实际离散系统的建模 数据结构与算法,数据库系 统原理,操作系统,编译原 理,软件工程,人工智能,数 字逻辑,计算机网络,… 建议学时 72-108 工程型 基本理论与原理的综合 应用（创新性应用） IT企事业 较多 熟悉形式描述、变换、 推理和证明方法 熟练掌握离散系统的描 述与分析方法 了解实际离散系统建模 数据结构与算法,数据 库系统原理,操作系统, 编译原理,软件工程,数 字逻辑,计算机网络,… 建议学时 72-90 应用型 计算机应用人才 应用领域信息化人才 多 简要了解形式描述、变换、 推理和证明方法 掌握离散系统描述与分析方 法 熟悉常用实际离散系统模型 数据结构与算法,数据库与 信息管理技术,计算机网络 与互联网,…
15
函数与集 合基数
函数基本概念 复合函数与 逆函数
基数的概念 可数与不可数集 基数的比较
离散数学知识框架(科学型)
形式 系统 集合 基数 计算 理论 初等 数论 应 用
可选知 识单元
证 明 技 术
特殊 的图
高级 计数
代数 结构
应 用
推荐知 识单元
函 关
数 系
树 图
基本 计数
应 用
集 合
基本逻辑
核心知 识单元

一个应用型方向的教学计划
应用实例 函数 树 图 特 殊 的 图 应用
关系
集合
基 本 计 数
概念
工具 方法
基本逻辑
基础
知识单元：5个
学时：54
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关于教学计划的说明
定位于应用型人才的培养 教学内容及其安排



以离散数学的基本概念、描述方法为主 引入较多的离散数学在计算机科学技术中的应用实例 介绍一些基本的证明技术 教学方式以课堂讲授为主，辅以习题及网上教学 习题及考核要求以概念题、计算题、应用题为主，辅 以少量简单的证明题

离散数学的能力培养目标

获取知识能力 系统的认知能力、一定的理论分析能力 初步的创造性思维和科学研究的训练
20
教学实施方案

教学内容和教学环境

教学内容：知识单元与知识点 学时安排 教材与参考资料 教学环境 讲授重点与难点 教学方法 习题配置 考试要求及成绩评价
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教学设计
证明 技术
应 用 树 图
推荐知 识单元
函 关
数 系
应 用
集 合
基本逻辑
核心知 识单元
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离散数学中的学科方法

什么是计算机科学中的数学方法


以数学为工具进行计算机科学与技术研究的方法 用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经推导形 成解释和判断 特点是：高度抽象、高度精确、具有普遍意义

主要的数学方法
范式 联结词归约 个体,个体域 谓词 量词 谓词 演算 语句的形式化
数理 逻辑
谓词公式的真值 谓词演算永真式 几个基本原理
证明与演绎 推理技术 自然演绎系统
形式 系统
知识点构成（集合论部分）
集合基本概念 集合论 基础 集合的运算 幂集 序偶与笛卡儿积 二元关系的概念 二元关系的性质 关系的运算 关系 集合论 关系的闭包 等价关系 相容关系 序关系 集合的概念, 集合表示, 集合的包含与相等 集合的交、并、补、差、对称差（环和）运算、广义交、并运算 集合运算的性质（运算律） 幂集的定义与计算, 幂集元素的编码表示, 幂集运算的性质 序偶、n元序组、笛卡儿积 二元关系的定义,二元关系的表示 性质（自反、反自反、对称、反对称、传递、反传递） 判断法：序偶, 关系图, 关系矩阵 复合关系, 复合关系的性质 逆关系, 逆关系的性质, 关系复合与逆混合运算的性质 关系的闭包定义, 求法, 闭包性质 等价关系的定义与判别, 等价类, 商集, 等价关系与集合划分的对应 相容关系定义, 相容类与极大相容类, 完全覆盖, 覆盖决定相容关系 偏序关系的定义、哈斯图 特殊元(最大元,最小元,极大元,极小元,上界,下界,上确界,下确界) 全序关系与全序集, 良序集, 拟序（准序） 函数定义, 单射、满射与双射 复合函数的定义, 性质 逆函数的定义及存在条件, 逆函数的性质 复合与逆的函数运算性质 基数的概念, 自然数与自然数集合 可数集的定义与基数, 可数集的性质, 不可数集的定义与基数 Cantor-Schroder-Bernstein定理, Cantor定理