第一章 概率论基础(3)

(
y2 2
)2
]
21 2 1 2
其中 1, 2,1, 2, 均为常数,且1 0,2 0,
| | 1 则称（ X,Y）服从参数为 1, 2,1,2,
的二维正态分布.记作
(
X
,Y
)
~
N (1,
2 ,12 ,
2 2
,
)
二维随机变量（X,Y）分布函数为F(x,y),而 X,Y都是随机变量，各自具有分布函数，分别 记为FX(x)和FY(y),依次称为（X,Y）关于X和关 于Y的边缘分布函数。
有相同的值,则应取这些相同值对应的概率之和
二维连续型随机变量函数的分布
分布函数法
若X与Y独立，则Z=X+Y的分布密度为
f
Z
(
z
)
f
X
(
x)
fY
(
z
x)dx
或f Z
(z)
f
X
(z
y)
fY
(
y)dy
连续型 卷积公式
正态分布具有可加性
1.ຫໍສະໝຸດ Baidu
X
~
N
(1,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
),
且X
与Y
独立，则
X
F(x, y) P(X x,Y y)
y x f (u, v)dudv
则称（X,Y）为二维连续型随机变量。函数 f(x,y)称为（X,Y）的分布密度或联合密度。
性质
1. f (x, y) 0
2.
f (x, y)dxdy 1
3. 若f (x, y)在点(x, y)连续，则f (x, y) 2F(x, y) xy
P(X=xi|Y=yj)=
P( X xi,Y P(Y yj )
yj )
pi j ，i=1,2, … p• j
边缘分布
为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.
连续型随机变量的条件分布
定义 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y),
边缘概率密度为 fX (x), fY ( y)，则对一切使
fX (x) 0 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件
概率P(x1<X ≤ x2 ,y1<Y ≤ y2)用 分布密度f(x,y)如何表示？
4.P(x1 X x2, y1 Y y2 )
x2 x1
y2 f (x, y)dydx
y1
设G为一平面区域，则(X,Y)落在G内的概率为
P((x, y) G) f (x, y)dxdy
G
常见的二维随机变量的分布
§1.3
二维分布函数
定义 对任意的x, y R,则称
F(x, y) P(X x,Y y) 为随机变量(X ,Y )的二维分布函数。
性质 1. F(x,y)是变量x,y的单调不减函数。
对于任意y, x1<x2, F(x1,y)≤ F(x2,y) 对于任意x, y1<y2, F(x,y1)≤ F(x,y2) 2.0≤ F(x,y) ≤1
二维离散型随机变量
定义 若X和Y 只可能取有限个或可数个孤立的值 他们的概率分布可表示为:
P(X ai ,Y bj ) pij, i, j =1,2, …
则称(X,Y)为二维离散型随机变量,上式为(X,Y) 的联合分布律或联合分布列.
Y X
b1
b2
...
bj
…
性质
a1 p11 p12 … p1
◆均匀分布
设G为平面区域，G的面积为A(0 A ), 若( X ,Y )的分布密度为
f
(
x,
y)
1 A
0,
,(x, y) G 其它
则称( X ,Y )在G上服从均匀分布。
◆二维正态分布
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
f (x, y)
1
e
1 2 (1 2
[( )
x1 1
)2
2
x1 1
y2 2
pi• P ( X ai ) pij , i 1, 2,
j
p• j P (Y bj ) pij , j 1, 2,
i
边缘分布密度律
Y X
b1
b2
...
bj
… pi·
a1 p11 p12 … p1 … p1·
a... 2 p... 21 p... 22 a... i p... i1 p... i2
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x, )
FY ( y) P(Y y) P(Y y, X ) F(, y)
二维离散型随机变量的边缘分布
设（X,Y）为离散型随机变量，
P(X ai ,Y bj ) pij, i, j =1,2, …
则(X,Y)关于X、Y的边缘概率分布分别为
二维离散型随机变量函数的分布
设（X,Y）为离散型随机变量，
P(X ai ,Y bj ) pij, i, j =1,2, …
如果二元函数 Z ( X ,Y ) 对于不同的(ai,bj)
有不同的值，则Z的分布密度为
P(Z (ai , bj )) pij i, j 1,2,...
若对于不同的(ai,bj)，Z ( X ,Y )
概率密度为 fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
f (x, y)
f
(
x,
y)dy
同样，对一切使 fY ( y) 0的 y, 定义
f X|Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
f (x, y)
f
(
x,
y)dx
为已知 Y=y下，X的条件概率密度 .
Y
~
N (1
2 ,12
2 2
),
aX
bY
~
N (a1
b2
,
a
2 2 1
b2
2 2
)
2.
(X
,Y
)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
), 则
X
Y
~
N (1
2 ,12
2 2
21 2 )
离散型随机变量的条件分布
定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量， 对于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称 联合分布
(
y)
f
(x,
y)dx
随机变量的独立性
如果二维随机变量（X,Y）满足,对任意x,y有
P(X x,Y y) P( X x)P(Y y) 即F (x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
离散型 pij pi• p• j , 对一切i, j
连续型 f (x, y) f X (x) fY ( y) , x, y
p· p·1 p·2
…j …
… p2 …
… …
…
j... p...pij·j
… …
…
p... 2 · p... i ·
1
j
二维连续型随机变量的边缘概率密度
设（X,Y）的分布密度为f(x,y),则关于X和关于 Y的边缘概率密度分别为
fX
(x)
d dx
FX
(x)
f
(x,
y)dy
fY
( y)
d dy
FY
3.F( ,) 1; F(x, ) 0, F(, y) 0
4. F(x,y)关于x,y右连续。
设x1 x2, y1 y2,则概率P(x1 X x2, y1 Y y2 ) 用分布函数F(x, y)如何表示？
5.P(x1 X x2, y1 Y y2 ) =F (x2,y2 )- F (x1,y2 )- F (x2,y1)+ F(x1,y1) 0
a... 2 p... 21 p... 22 a... i p... i1 p... i2
…j … p2 … j... … p... ij
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
… … … … …
F (x, y) pij
ai x bj y
二维连续型随机变量
定义 设（X,Y）是二维随机变量，如果存在一个非 负的函数f(x,y)使得对于任意的实数x,y,都有