高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》(3.1)word学案

1．3全称量词与存在量词1．3.1量词[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．[知识链接]下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．答：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．[预习导引]1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词和存在性命题(1)存在量词：短语“存在一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题：含有存在量词的命题叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”.要点一 全称量词与全称命题例1 试判断下列全称命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋2>0；(2)∀x ∈N ，x 4≥1；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 4≥1”是假命题．(3)由于∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1”是真命题．规律方法 判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．跟踪演练1 判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(3)对每一个无理数x ，x 2也是无理数．解 (1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x ∈R ，总有x 2≥0，因而x 2＋1≥1.所以，全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题．要点二 存在量词与存在性命题例2 判断下列命题的真假：(1)∃x 0∈Z ，x 30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，使tan α无意义；(4)∃x 0∈R ，cos x 0＝π2. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x 0∈Z ，x 30<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义.(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2>1， ∴不存在x 0∈R ，使cos x 0＝π2， ∴原命题是假命题．规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解 (1)由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，存在性命题“有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．要点三 全称命题、存在性命题的应用例3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立．求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2， 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]． 又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．规律方法 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪演练3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若命题p ：1－sin2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为[74，＋∞)． (2)由1－sin2x ＝sin x －cos x ，得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ，∴(sin x －cos x )2＝sin x －cos x ，即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，∴sin x ≥cos x .结合三角函数图象，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，此即为所求x 的取值范围． 即p ：∀x ∈[2k π＋π4，2k π＋5π4](k ∈Z )，有1－sin2x ＝sin x －cos x 是真命题.1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是________．①是假命题 ②是存在性命题 ③是真命题 ④是真命题答案 ②③解析 ①④为全称命题；②③为存在性命题；①②③为真命题；④为假命题．2．下列命题中，不是全称命题的是________．①任何一个实数乘以0都等于0；②自然数都是正整数；③每一个向量都有大小；④一定存在没有最大值的二次函数．答案 ④解析 ④是存在性命题．3．下列存在性命题是假命题的是________．①存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0；②存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数．答案 ②解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0恒成立． 4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n 边形的外角和等于2π；(2)有一个有理数x 0满足x 20＝3.解 (1)∀x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π.(2)∃x 0∈Q ，x 20＝3.1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．一、基础达标1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是________．答案 3解析 命题①②④都是全称命题．2．下列命题中的假命题是________．①∃x ∈R ，lg x ＝0；②∃x ∈R ，tan x ＝1；③∀x ∈R ，x 3>0；④∀x ∈R,2x >0.答案 ③解析 对于①，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于②，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于③，当x ＜0时，x 3＜0，错误；对于④，∀x ∈R,2x ＞0，正确．3．下列命题中存在性命题的个数是________．①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.答案 1解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个存在性命题．4．下列全称命题中真命题的个数为________．①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.答案 3解析 ①②③为真命题，当x ＝y ＝0时，x 2＋|y |＝0，故④为假命题．5．给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin3α＝3sin α；③∃a ∈R ，对∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋a <0.其中真命题的个数为________．答案 1解析 ①中，当x ＝0时，x 4＝x 2，故为假命题；②中，当α＝k π(k ∈Z )时，sin3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于抛物线开口向上，一定存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋a ≥0，显然为假命题．6．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________．①存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α；②存在实数x 0，使sin x 0＝π2；③对一切α，sin(180°－α)＝sin α；④sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.答案 ①解析 只有①、②两个选项中的命题是存在性命题，而由于|sin x |≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故②为假命题．又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故①为真命题．7.判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有惟一解；(3)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2. 解 (1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有惟一解”，是假命题．(3)是存在性命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题． 二、能力提升8．给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a·b ＝0；②矩形都不是梯形；③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案 ①②④解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．9．对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.10．下面四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题．对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题．4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p ∧q 为真，故p 、q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，即a ≤－2或a ＝1， ∴实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ＝1}．12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x ∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．三、探究与创新13．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1,1]．。