第9章应力应变分析及应力应变关系

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9.5.1 一般杆件的内力方程和内力图
内力方程
为了对杆件进行系统化的内力分析，需要了解杆件的各个内力分量随横 截面位置不同而变化的情况。 一般来说，杆件各个内力分量都是横截面位置坐标x的函数，即
FN FN ( x)
T T ( x)
FS FS ( x)
M M ( x)
(9.1)
通常将上述这些函数表达式称为内力方程。
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第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
力的变形效应（内效应）
刚体是理想化的模型，假设固体受力后不变形。 在外力作用下，固体发生或大或小的变形（包括尺寸和形状的变形）， 即所谓的力的变形效应（内效应）。
本章主要内容
(1) 变形固体静力学的任务、研究对象及其发展情况； (2) 变形固体的基本假设； (3) 杆件变形的4种基本形式；
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3. 各向同性假设
固体沿任何方向的力学性质都是相同的。 例如： 金属、玻璃、塑料等。 沿不同方向力学性质不同的材料称为各向异性材料。 例如： 竹子、木材、叠层板等。
4. 小变形假设
构件的变形极其微小。 变形的尺寸<<构件的最小原始尺寸，不考虑变形前后的几何尺寸变化。
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§9.3 杆件变形的基本形式 9.3.1 构件的分类
q
q0
分布集度：作用于单位长度上的载荷称为分布集度，用q(x) 表示。 量纲 [力][长度]1 单位 N/m，N/mm 当q(x) = const 时，称为均布载荷。
例如横梁的自重，如图。 例如挡水堤坝所受到的水的压力沿水深方向为线性分布， 如图。
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集中力： 若载荷分布范围远小于杆件轴线的长度，则可看作是作用于 一点的集中力。 例如：火车轮对钢轨的压力；车刀对工件的切削力等。 集中载荷用 F 表示，量纲为[力]；单位：N，kN。
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9.3.3 杆件变形的基本形式
外力作用下，杆件的变形是多种多样的，各不相同的。
4种基本变形
轴向拉压、剪切、扭转和弯曲。 在实际中，杆件的变形，可以是4种基本变形之一（简单变形），也可以 是某几种基本变形的组合（组合变形）。
(1) 轴向拉伸或压缩
作用于直杆上的外力若能简化为沿杆的轴线方向的平衡力系，则杆件 的主要变形是长度的改变，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。 例如： 起吊重物的钢索；千斤顶的螺杆；紧固螺栓；厂房中的立柱等， 都产生轴向拉压变形。
(2) 剪切
沿外力作用方向发生相对错动，这种变形形式称为剪切。 例如： 机械中起连接作用的键、销钉、螺钉等，都产生剪切变形。
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F
m
p
n
q
F 2 F 2
F 2 F 2
F
(3) 扭转
作用于杆件上的是绕杆轴旋转的互相平行的外力偶，杆件的任意两个 横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形形式称为扭转。 产生扭转变形的杆件，工程上常作为传动轴。
变形固体静力学的力学模型，对变形固体作如下假设：
1. 连续性假设
组成固体的物质毫无空隙地充满整个固体的体积，即认为固体是连续介 质。 根据这一假设，可以用连续函数来描述构件内部的力和变形的有关规律。
2. 均匀性假设
固体内各点处的力学性质（机械性质）是相同的。 根据这一假设，可用试件的局部材料性质取代整个构件，也可以将整个 构件的材料性质代以微小的部分。
(1) 绘制各内力分量的内力图时，取x轴平行于杆件轴线，用x坐标表示横 截面位置； (2) 根据内力方程的分段确定各段内力的区间，求出每段内力图在两端控 制面上的内力值，以确定该段内力图两端的控制点； (3) 再根据每段内力方程的函数形式确定该段内力图的曲线形状，并根据 绘图需要在该段曲线上选取若干代表点（如：最大、最小值点及曲线 的拐点）计算出内力值； (4) 最后将各点用确定形状曲线连接起来，标明内力的“+，-”号及各控 制点、代表点的内力绝对值，并在图内打上垂直于x轴方向的平行线， 即绘制得到所需的内力图。
控制面
当杆件上的不同位置作用有多个外力或外力偶时，需要根据外力或外力 偶作用的位置将杆件分段，分段点所在的横截面称为控制面。 分段分别写出各内力分量的内力方程。
内力图
各内力方程的函数图形称为内力图。 工程上为了更直接地描述各个内力分量随横截面位置的变化，常需要绘 制杆件的内力图。 20
绘制内力图的方法
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9.3.2 构件的计算简图
计算简图（力学模型）
研究某一构件的强度、刚度和稳定性时，首先要弄清楚构件所受的 载荷（外力） 约束 构件的形状和尺寸 用一个简化图形表示出来，以便进行分析和计算。 这种简化后的图形，称为计算简图（力学模型）。
载荷的分类及其简图
(1) 根据载荷随时间的变化情况分为
静载荷： 载荷的大小由零开始缓慢地增加到某一数值后，保持不变， 则称为静载荷。 变形固体静力学研究的是静载荷的情况。
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§9.5 一般杆件的内力分析 9.5.1 一般杆件的内力及其分类
内力
在杆件的某一截面上，杆在截面一侧部分对截面另一侧部分的相互作用 力称为杆件在某一截面上的内力。
例如：桁架的杆件的内力，二力杆，内力沿各杆件的轴向，且内力与截 面位置无关。
M F F
A
C
B
A
C M
C
B
A
C
C
B
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A
A
B
B
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(4) 弯曲
作用于杆件上的外力是垂直于杆件轴线的集中力、分布力或是包含杆 轴的纵向平面内的力偶，则杆件的主要变形是直杆的轴线弯曲线，这 种变形形式称为弯曲。 以弯曲为主要变形形式的杆件称为梁。 例如： 桥式起重机的大梁等。
M
F1
q( x )
F2
基本变形与组合变形
工程中常见的构件的变形多数是以上4种基本变形形式的组合，纯属一 种变形的情况很少见。 若以一种基本变形形式为主，其他属于次要变形时，则可按这一种基 本变形形式计算。 若几种变形形式不分主次，则属于组合变形问题，可分别按每一种基本 变形形式计算，再将其计算结果组合（叠加）在一起，详见第14章。
动载荷： 载荷随时间而变化，或物体在载荷作用下处于运动状态，其 内各点速度发生显著变化，这类问题称为动载荷问题。 （在本教材第22章中研究。） 10
(2) 根据载荷的作用方式分为
分布载荷：连续地作用于构件上的载荷称为分布载荷。 作用在杆件上的分布载荷用沿杆轴线的分布规律来表示， 如图所示
q( x )
工程实际中，构件受到载荷作用，要保证构件能正常、安全地工作，必 须解决以下3个问题：
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变形固体静力学要解决3个方面的问题 1. 强度
指构件承受外力而不发生破坏的能力。 例如：房屋倒塌、飞机坠落、高压容器爆破等都是由于强度不够所导致。
2. 刚度
指构件抵抗变形的能力。 若变形过大，即使构件没有破坏，但也不能正常工作。 例如： 机床主轴变形过大，会影响加工精度。
集中力偶：作用于构件上的载荷可简化为作用于某一位置的力偶，此 力偶称为集中力偶，用M 表示，量纲为[力][长度]，单位： N· m，kN· m。
注意：支座的约束力和约束力偶都属于作用于构件上的外力。
绘制简图的原则
有了上面的知识，便可对实际构件画出计算简图。绘制简图的原则为 (1) 忽略构件外形，以其轴线代替构件； (2) 将实际载荷简化为某种载荷（分布载荷、集中力、集中力偶）， 对次要因素可以忽略不计； (3) 将杆件的实际约束简化为相应的支座。
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§9.4 变形固体静力学的发展
工程力学问题的研究不断深入，出现了许多分之学科。它们都是以 变形固体静力学为基础的。 例如： 结构力学 弹性力学 塑性力学 板壳理论 岩土力学 实验力学 断裂力学 计算力学 损伤力学(材料非连续性) 复合材料 (材料不均匀，各向异性，可根据其承力或对磁、电等方面 的要求，设计组成材料的微观参数，以制造出符合特定要 求的材料) 为了反映一些当代固体力学的新发展，本教材在相关章节中开设了一 些窗口和接口，简要介绍塑性分析、复合材料力学、矩阵位移法、断 裂力学及损伤力学等内容。
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a. 轴力方程
轴力图
(1) 轴力方程的分段原则
以杆件上沿轴线方向的集中外力作用的横截面或沿轴线方向分布外力 集度有突变的横截面为控制面分段，对每一段列写轴力方程。
(2) 列写轴力方程
假想用坐标为x的横截面将杆件截成两部分，任意取其中一部分为分 离体，对其列写沿轴线方向的力的平衡方程。
在所切开的横截面上，轴力分量 FN ( x ) 的符号规定： 与截面的外法线方向一致的轴力为“+”； 与截面的外法线方向相反的轴力为“-”， 即拉伸为“+”，压缩为“-”。
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析 7学时
9.1 变形固体静力学的任务 9.2 变形固体的基本假设 9.3 杆件变形的基本形式 9.3.1 构件的分类 9.3.2 构件的计算简图 9.3.3 杆件变形的基本形式 9.4 变形固体静力学的发展 9.5 一般杆件的内力分析 9.5.1 一般杆件的内力及其分类 9.5.2 一般杆件的内力方程和内力图 补充13.2、 13.3 作业 9.3 9.4 9.5 13.2
工程中，构件的几何形状是多种多样的，可分为以下3种：
一维——杆； 二维——板壳； 三维——块体。
杆件
凡长度方向（纵向）尺寸远大于横向（垂直于长度方向）尺寸的构件， 称为杆件。 杆件的横截面、轴线是两个主要的几何特征。
横截面：垂直于杆件长度方向的截面称为横截面。 轴线： 各横截面形心的连线称为轴线。 直杆： 轴线为直线的杆件称为直杆。 曲杆： 轴线为曲线的杆件称为曲杆。
等截面杆：横截面尺寸和形状不变的杆件称为等截面杆。 变截面杆：横截面沿杆长变化的杆件称为变截面杆。
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工程实际中的许多构件都可以简化为杆件，如： 连杆、销钉、传动轴、梁、柱等。 还有些构件（如曲轴的轴颈）不是典型的杆件，但在近似计算或进行 定性分析时也常简化为杆。 杆件是工程中最常用的构件，变形固体静力学的研究对象就是杆件。
扭矩 T
沿x轴方向的内力偶矩 M 的分量称为扭矩（其作用面为杆件的横截
面）。
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弯矩 M y Biblioteka Baidu M z
(M M y M z )
沿y轴和z轴方向上的内力偶矩分量称为弯矩（其作用面分别为xz和xy平 面）。 轴力、剪力、扭矩、弯矩四种内力分别对应于变形体静力学中的所研究 的杆件的四种基本形式，轴向拉压、剪切、扭转、弯曲。 在变形体静力学中，对这些内力分量不需要进行矢量运算，强调的是它 们的变形效应，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。
在列写平衡方程时，一般假设所切开截面处的轴力 FN ( x ) 为“+”，即拉力。 由平衡方程可得出该段轴力方程的表达式 FN FN ( x ) ， 若轴力表达式为“+”，假设的轴力方向正确； 若轴力表达式为“-”，假设的轴力方向不正确，该截面的轴力实际为压力。
3. 稳定性
指构件保持原有平衡形式的能力。
例如： 千斤顶的螺杆，应保持原有的直线平衡形式，若载荷过大，突然 变弯，为失稳，丧失承载能力。
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安全与经济的矛盾
为使构件具有足够的强度、刚度和稳定性，可以加大构件的截面尺寸、 选用优质材料，可以提高承载能力，但材料质量增加，成本提高，浪费 材料。 安全与经济的矛盾。 构件的截面形状与承载能力也有关系。 设想若截面面积不变，将自行车大梁做成实心圆柱，其强度、刚度、稳 定性都会减小很多。
内力的分类
建立直角坐标系Cxyz（C为横截面形心）
Mz
z FS z
FS y
y
My
C
A
轴力 FN
y
My FS y
x T FN
x
FN T
M FS z z
C
B
z
沿垂直于横截面的x轴方向上的内力 F 的分量称为轴力。 剪力 FS y , FS z ( FS FS y FS z ) 在横截面内由内力 F 在y轴和z轴方向上的分量称为剪力。
(4) 外力作用下，一般杆件的内力分析。
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第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
§9.1 变形固体静力学的任务
变形固体静力学和工程实际有着密切的联系，其理论广泛应用于各 种机械设备和工程建筑之中。
构件
机械或工程结构的各组成部分，统称为构件。 例如：轴、梁、柱、杆。 机床的轴、汽车的叠板弹簧、房屋的梁和柱、桁架结构中的杆等。
变形固体静力学的任务
研究构件的破坏准则与变形规律，了解材料的力学性能，从而建立构件 满足强度、刚度和稳定性要求所需要的条件，为既安全有经济地设计构 件（选用材料，确定截面形状、尺寸）提供必要的理论基础和计算方法。
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§9.2 变形固体的基本假设
变形固体的性质很多，研究的角度不同，侧重面也不同。 变形固体静力学 从宏观角度研究问题 忽略微观上的差异