字母系数的方程(组)的解法

含字母系数的方程（组）的解法

✓ 知识梳理

说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 表示未知数。 回顾上次课的预习思考内容

➢ 形如ax b =的方程的解的情况讨论：

◆ 当0a ≠时，方程有唯一解，为b

x a

=

（等式基本性质） ◆ 当0,0a b ==时，即00x ⨯=，方程有无数个解，即解为一切数 ◆ 当0,0a b =≠时，方程无解

➢ 二元一次方程组111

222

a x

b y

c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的可能性：

◆

当

11

12

a b b b ≠时，方程组有唯一的解； ◆ 当

111

122

a b c b b c =≠，方程组无解； ◆ 当

111

122

a b c b b c ==时，方程组有无数多个解 练习：

1．关于x 的方程53ax x =-无解，则a ＝ ；

2．关于x 的方程2354mx x n -=-无解，则m ，n ； 3．已知二元一次方程组32

21

ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值是（ ）

A ．a ＝－2

B ．a ＝6

C ．a ＝2

D ．a ＝－6

参考答案：1、5； 2、53

24

m n =

≠、； 3、D

✓ 题型分析

例题1：解关于x 的方程(1)32m x x -=+

教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变 参考答案：

(3)2

2

3033

30305m x m m m m x m m m x -=++-≠≠=

--==⨯=解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，即时，原方程变为,所以原方程无解

试一试：解关于x 的方程23ax b x -=-

(2)3

32022

203023203023a x b b a a x a a b a b a b a b -=---≠≠=

--=-≠=≠-=-===解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，，即，时，所以原方程无解当，，即，时，所以原方程有无数个解

例题2：解关于x 、y 的二元一次方程组 2(1)(20)3(2)

mx y n m n nx y m

+=⎧+≠⎨

-=⎩

教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便 参考答案：

222222

(1)(2)2(2)662(1)(2)(2)3326232m n x m n

m n x m n

n m m n y n m n m y m n

m n x m n

n m y m n +⨯+=++=

+⨯-⨯+=--=

++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

解：得 得 所以原方程组的解为

试一试：解关于x 、y 的方程组：1

(0,0)2

ax by a b bx ay -=⎧≠≠⎨+=⎩

参考答案：

2222

2222

22

22(1)(2)()22(1)(2)2()2222a b a b x a b

a b

x a b b a b y a b a b y a b a b x a b a b y a b ⨯+⨯+=++=+⨯-⨯+=--=

++⎧=⎪⎪+⎨

-⎪=⎪+⎩

解：得 得 所以原方程组的解为

例题3：若方程组22

3

x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 均为正数，求m 的取值范围．

教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m 的看成是常数 参考答案：

解：解方程组得13

8

3m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

因为x 与y 均为正数，即00x y >⎧⎨>⎩ 所以

1

03

803

m m +⎧>⎪⎪⎨

-⎪>⎪⎩. 解不等式组得， 8m >

所以m 的取值范围是8m >．

试一试：已知关于x y 、的二元一次方程组26322x y m

x y m

+=⎧⎨

-=⎩的解满足二元一次方程

435

x y

-=，求m 的值。 参考答案：

解：解方程组得22x m

y m =⎧⎨=⎩

将22x m y m

=⎧⎨=⎩代入435x y

-= 得， 15m =

例题4：关于x 、y 的二元一次方程组 343

232x y mx y +=⎧⎨+=⎩

的解中关于x 与y 的和等于1，求m

的值。

教法说明：可先通过x 与y 的和等于1得 1x y +=再和343x y +=构成二元一次方程组 参考答案：

11

3430

123201

x y x x y y x mx y y m +==⎧⎧⎨⎨

+==⎩⎩=⎧+=⎨=⎩=解：由解得将代入得

试一试：如果方程组42

32x y x y k

-=⎧⎨-=⎩的解满足0x y +>，求k 的取值范围．

参考答案：

方法一：解关于字母系数的二元一次方程组得45

645k x k y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

再根据0x y +>得

464055

k k

--+> 解不等式得2k < 方法二：由(1)(2)- 得，2x y k +=-

因为0x y +>，所以20k -> 解不等式得：2k <

✓ 达标检测

此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习+20分钟互动讲解）。