求二元函数极限的几种方法.
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1
1.二元函数极限概念分析
定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε,总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,
则称f 在D 上当0P P →时,以A 为极限,记0
lim ()P P P D
f P A →∈=.
上述极限又称为二重极限.
2.二元函数极限的求法
2.1 利用二元函数的连续性
命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,则
0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →=.
例1 求2
(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解: 因为2
(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以
12
212
2lim (,)
lim(2)
12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=
例2 求极限()()2
21,1,21
lim
y x y x +→.
解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即
()()221,1,21
lim
y x y x +→=3
1.
2
2.2 利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求
00
x y →→
解:
00
x y →→
00
x y →→=
00
x y →→=
00
1.
4
x y →→==-例4 ()()
2
2
220,0,321
)31)(21(lim
y
x y x y x +-++→.
解: 原式()()
(
))
(
)
()
,0,02
211lim
231x y x
y →+=
++
()(
22
,0,0lim
x y →=
+
11022
=
+=.
2.3 利用等价无穷小代换
一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的
等价无穷小((,)0)
u x y→,有sin(,)(,)
u x y u x y;
2(,)
1cos(,)
2
u x y
u x y
-;
[]
ln1(,)(,)
u x y u x y
+;tan(,)(,)
u x y u x y;arcsin(,)(,)
u x y u x y;
arctan(,
)(,)
u x y u x y
(,)
1
u x y
n
;(,)1(,)
u x y
e
u x y
-;同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.
例5求
x
y
→
→
解:当
x→,0
y→时,有0
x y
+→
1
1()
2
x y
+,所以
1
()
2
lim
1
.
2
x
y
x
y
x y
x y
→
→
→
→
+
=
+
=
这个例子也可以用恒等变形法计算,如:
1
.
2
x
y
x
y
x
y
→
→
→
→
→
→
=
=
=
3
4
2.4 利用两个重要极限
(,)0sin (,)lim 1(,)
u x y u x y u x y →=,[]1
(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.
例6 求极限 21lim(1)x x y
x y a
xy
+→∞
→+
.
解: 先把已知极限化为
2
2
()
1
1lim(1)lim (1)x x xy x y xy x y
x x y a
y a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣
⎦,而 211
lim
lim ,()(1)x x y a y a x y xy x y a
y x
→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,
0xy xy →∞→,所以 1
lim(1).xy x y a
e xy →∞→+=
故原式=2()
11lim (1).
x xy x y xy x
y a a
xy e +→∞→⎡⎤
+⎢⎥⎣
⎦=
例7 求 0sin()
lim
x y a
xy x →→极限.
解: 因为
sin()sin()
.xy xy y x xy
=,当0,x y a →→时,0xy →,所以 sin()
1xy xy
→,再利用极限四则运算可得: 000sin()sin()sin()
lim
lim .lim .lim .x x y a xy y a y a
xy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .
这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时,0xy → ,sin()
xy xy .