固体理论(固体能带理论)剖析

kKn
(x)
具有共同本征值.
k 与
kKn
描写同一状态.
因此可以把波矢限制在第一布区内 k
a
a
波矢数：
2 / 2 N
a Na
考虑自旋：电子数为2N
例：电子波函数为：(1). (x)
sin
x
a
求波矢k。
(2). (x) (i)m f (x ma)
m
解：（1）方法a
(x a) sin( (x a)) sin x
wk.baidu.comm m 1
(i)m f (x (m 1)a)
m m
(i)m1 f (x ma) i (i)m f (x ma)
m
m
eika i
k (2n 3 )
a2
第一布区：k
2a
三、单电子近似下电子的能量状态 电子满足的薛定谔方程：
( 2 2 V (x)) (x) E (x)
a
a
eika (x) eika sin x
eika 1
k
(2
a
1)
第一布区：k
a
a
方法b. (x) eikaeika sin x
a
u(x a) eik(xa) sin (x a) eikau(x)
a
eika 1
k
a
2 (x a) (i)m f (x a ma) m
(x) eikau(x)
其中：u(x) 满足晶格的周期性
推广 ：
(r )
eikru(r)
三维情况
eikr
描写电子的共有化状态
u(r ) 描写电子在原胞中的运动
2）Bloch波的性质
a.波函数不具有晶体周期性，而（k为实数时） 电子分布几率具有晶格的周期性
(x) eikau(x) | (x) |2 | (x a) |2 | u(x) |2
i (xeikx ) ix eikx
x
x
ieikx kxeikx kxeikx
ieikx
Pˆ , xˆ 不对易.可以证明 Py , x 是对易的
(x) 又是 Tˆ 的本征值.
(x) 又是 Tˆ 的本征函数.
Tˆ(x) (x)
为本征值
Tˆ(T(x)) Tˆ(x) 2(x)
问题： Hˆ 与 Tˆ 对易否？设 为H的本征函数
Tˆ(Hˆ(x)) H (x a)(x a) H (x)T (x)(x)
(TˆHˆ HˆT ) 0 Hˆ 与Tˆ 对易
任意两个算符对易吗？
设 Pˆx xˆ (x) eikx
[Pˆx , xˆ] (Pˆx xˆ xˆPˆx )(x)
1.在布里渊源的内部， 电子的能量可粗略的视 为自由电子的能量
禁带
2
aa
2V3 2V2 2V1
2k 2 E
2m
2.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽
度为：
Egl | 2Vl |
Vl为势能函数的第a l个傅立叶分量
Vl
1 a
2
i 2lx
V (x)e a dx
a
2
V (x)
2m 其中：V (x na) V (x)
eikxu(x)
在克龙尼克—潘纳模型下：
V0
a b 0 c a
a bc
周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许 可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界.
这个模型有多方面适 应性.改变b.a.c的值可 以讨论表面态.合金及 人造晶格的能带.
关于能带的讨论：
制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞
数N可容纳的电子数为2N.
k (x) kKn (x a)
证明： Tˆk (x) k (x a) eikak (x) TˆkKn (x) kKn (x a)
ei(k
Kn
)a k
Kn
(
x)
e e i2n ika kKn
(x)
e ika
多粒子系统 原子核静止 多电子系统
HatreeFock自洽场 单电子系统
即：每个电子在由正离子产生的和其他电子的平均 电荷分布的势场中运动.
2.周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周
期为一个晶格常数）
v(x a) v(x) 1－D
v(Rn r ) v(r ) 3－D
r为电子位置矢量
Rn
为离子的位矢
Schrodinger eq. 3. Bloch波
( 2 2 v(r))(r) E(k)(r)
2m
1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子，气波函
数由如下形式 (r) eikru(r)
其中u具有 晶格的 周期性，即
u(r ) u(r n1a1 n2a2 n3a3 )
Tˆ n(x) n (x) 取 eika k为变量
(x a) Tˆ(x) eika(x)
则：(x) eikau(x)
其中：u(x) 具有晶格周期性
证明： (x) eikau(x) u(x a) eik( xa) (x) e e ikx ika (x)
Bloch定理 ：在周期性势场中运动的电子的 波函数具有如下形式
固体能带理论
一、自由电子模型（前面几节使用的）
在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互 作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均 势场.
索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量
2.电子发射 3.电子气的顺磁与逆磁效应 困难： 1. 磁阻 2. 霍耳效应 3.电导、热导
证明：问题：求H的本征函数，直接求困难.
由量子力学知道，如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数.
方法： 引进Tˆ平移算符，Tˆ 与 Hˆ 对易，
求出了Tˆ的本征函数也就求出了Hˆ 的本征函数
定义平移算符：
Tˆf (x) f (x a)
Tˆ(Tˆf (x)) Tˆf (x a) f (x 2a)
二、3个重要近似和周期性势场
由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运 绝热近似： 动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运
动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时， 认为原子实不动。
单电子近似： 一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中 运动。又称Hartree-Fock自洽场近似。
周期场近似： 原子实和电子所形成的势场是周期性的。
b.当k为虚数，描写电子的表面态，k＝is(s>0)
(x) esxu(x) S小于0时无意义.
c) 周期边界条件： (x Na) (x)
(x Na) Tˆ(x) eikNa(x)
eikNa 1
k
2
Na
nx
k 2 2
Na L
d) 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效.因此把波矢限