固体物理-能带理论
固体物理-能带理论
n
i2 n x
Vne a
h2 2m
k
2
k
n a
2
2
令
可以证明
电子波函数 k (x) (1/
L )eikxuk (x)
—— 具有布洛赫 函数形式
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波 散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
—— 势场作用产生的散射波
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位 电子入射波波长
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
第三步简化 —— 周期性势场 所有离子势场 和其它电子的平均场是周期性势场
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
能量本征值的计算
—— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合 晶体中的电子的波函数按此函数集合展开
—— 将电子的波函数代入薛定谔方程 确定展开式中的系数应满足的久期方程 求解久期方程得到能量本征值
单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子 —— 哈特里－福克自洽场方法
能带理论的出发点 —— 电子不再束缚于个别的原子 而在整个固体内运动
—— 共有化电子
共有化电子的运动状态
—— 假定原子实处在平衡位置 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰
理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场具有周期性
—— 电子在晶格周期性的等效势场中运动
固体物理基础-能带理论
能带理论1
固体系统的哈密顿量
考虑有N个带正电荷Ze的原子核（离子实），相应有NZ个电 子（价电子）的体系； 原子核和电子的位置矢量分别用Rn和ri表示； 整个体系的哈密顿量：
ˆ T ˆ V R , R T ˆ V (r , r ) V ( R , r ) H n nm n m e ee i j ne n i
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
Blochபைடு நூலகம்理的证明
ˆ r r T Rn Rn 由 r Rn Rn r ˆ r r R T n Rn 由波函数的归一性
r
������ ������ ������ 可写成������ ������ ������ =������ 相位因子。
固体物理学：第四章 能带理论
注意:能带理论的局限性
1. 一些过渡金属化合物晶体 价电子的迁移率小, 自由程与晶格间距相当, 电
子不为原子所共有, 周期场失去意义，能带理论不适 用了。
2.非晶态固体 非晶态固体和液态金属只有短程有序，两种物质的电
子能谱显然不是长程序的周期场的结果。
3. 电子与电子之间的作用
晶格周期性势场
电子受到周期性势场的作用。
a
按量子力学须解定态薛定格方程。
晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理步骤：
第一步简化 —— 绝热近似 离子实质量比电子大，运动慢，离子固定在瞬时位置上
第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法 多电子问题简化为单电子问题，每个电子在离子势场 和其它电子的平均场中运动。
从多体问题的角度,电子之间的相互作用不能简单地用 平均场代替;
金属中的价电子系统，不能用电子气来描述了, 必须把 价电子系统看成量子液体。
4. 电子与晶格之间的作用
电子和晶格相互作用，在离子晶体中电子的运动 会引起周围晶格畸变，电子带着这种畸变一起前进 的， 电子不再是在周期场中的运动。
能带 (energy band)
晶体中的电子能级 有什么特点？
量子力学计算表明，晶体中若有N个原子，由 于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每 一个能级,在晶体中变成了N条靠得很近的能级,称 为能带。
第五章固体物理能带理论
m
f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。
解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以 下特点：
k ( x na) eikna k ( x)
m
k ( x na) (i) f ( x na ma)
m
5.1布洛赫波函数
m
mn
(i) f [x (m n)a] (i)n (i) f [x (m n)a]
一.周期场模型
——F Bloch
考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止 排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他 电子的平均势场和原子实的势场中运动。电子所感受到的 势场具有周期性，这样的模型称为周期场模型。
二. Bloch定理（1928年）
5.1布洛赫波函数
在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为
m
m
令m-n=l，
k (x na) (i)n
l
(i)
f [x la] (i)n k ( x)
l
据布洛赫定理， eikna (i )n 即 eika i
ka 2πs 3 π 2
在简约布里渊区中，即
π k π，
a
a
取
k π 2a
5.1布洛赫波函数
四、 Bloch函数的性质
Bloch函数: k r eikruk r
[
固体物理--能带理论
固体物理中关于能带理论的认识
摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的
概念更细致的把握。
关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定
引言
能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。
1 能带理论的假定
能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。
实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。
1.1 绝热近似
考虑到电子与核的质量相差悬殊。可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。电子运动时,可以认为核是不动的。电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。
1.2 平均场近似
因为所有电子的运动是关联的。可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。
固体物理 6-1能带论
E
( 2) k
k '| H '| k
2
——
k k'
6-1一维周期场中电子运动的近似分析 —— 能带论
计入微扰后电子的能量
Ek E E
0 k
(1) k
E
( 2) k
.
k E V 2m
0 k
2
2
Ek(1) 0
Vn k Ek V ' 2 n 2m 2 2 n [k (k 2 ) ] 2m a
2n n k' k (1 ) a a
影响最大的状态
6-1一维周期场中电子运动的近似分析 —— 能带论
n n (1 ) 对状态 k 状态 k ' (1 ) 的影响 a a
6-1一维周期场中电子运动的近似分析 —— 能带论
简并波函数
( x ) a k0 b k0'
0
Vn k ' V k V kV k'
* n
1 0 2 0 0 0 2 能量本征值 E {E k E k ' ( E k E k ' ) 4 Vn } 2
6-1一维周期场中电子运动的近似分析 —— 能带论
1 0 2 0 0 0 2 E {E k E k ' ( E k E k ' ) 4 Vn } 2 n n 0 0 k (1 ) k' (1 ) i) Ek Ek ' Vn a a
固体物理-第四章 能带理论
4.1.基本概念
同样, 以k1, k2 , k3为坐标轴, 建立k-空间, 则每个电 子的本征态可以用该空间的一点来代表。点的坐 标由4.1.3.1确定，沿任一轴的两个相邻点之间的 距离相同,都是bi/Ni, 可见,代表状态的点在k-空间 中的分布式均匀的,每个点在K-空间所占的体积：
b1/N1(b2/N2 ) x(b3/N3) =V*/(N1N2N3)]=(2p)3/(vN)=(2p)3/V 4.1.3.2
4.1.基本概念
如何求解薛定鄂方程： Ĥy n =(Ĥ0+ lĤ’)y n =En y n (4.1.4.3) 微扰项的作用很小，把波函数和能量展开为l的级数： y n=y n (0)+ly n (1) +l2y n (2) +…….. (4.1.4.4) E n=E n (0) +lE n (1) +l2En (2) +…….. (4.1.4.5) 式中y n (0)和E n (0)是体系没有微扰作用时的能量与波函数 把(4.1.4.4)和(4.1.4.5)代人(4.1.4.3)得： (Ĥ0+lĤ’)(yn(0)+ly n (1) +l2y n (2) +… ) =(En(0)+lEn(1)+l2En(2)+…)(yn(0)+lyn(1)+l2yn(2)+…) (4.1.4.6) 将方程式展开，比较方程两边l的同次幂的系数得：
固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)
eika 对于k：
对于k’＝ k+Gn：
e
'
ika
eika eiGn a eika
＝1, 2, 3
这表明，这两个波矢量 k 和 k’＝ k＋Gn所描述的电 子在晶体中的运动状态相同。因此，为了使 k 和平移算 符的本征值一一对应， k 必须限制在一定范围内，使之 既能概括所有不同的 的取值，同时又没有两个波矢 k 相差一个倒格矢 Gn。与讨论晶格振动的情况相似，通常将 k 取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内 的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。
1 Ze 2 U (r ) u e (r ) Rn 4 0 r R m
无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似）： U (r Rn ) U (r )
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已证实，
在非晶固体中，电子同样有能带结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子 之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶 态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成 能带的必要条件。
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但具体求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场形式和强弱也是不同的，需要针对具体 问题才能进行求解。
能带理论-固体物理理论
第一布里渊区： 从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出 每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，称为第一布里渊区。
当入射波矢(以原点为起点)的端点落在布里渊区的每个界面 上时，必然产生反射
×晶体结合
Heitler&London：计算了氢分子能量E与两个H原子核距离r之间的关系。 反键态：自旋平行的电子，很少出现在两个原子之间。 成键态：自旋相反的电子，集中分布在两个原子之间。 分子轨道法：是基于单电子近似的方法。电子件的库仑相互作用被忽略或者被计入一 个分子的自洽场，并认为电子由整个分子所共有。利用原子轨道的线性组合构造出分 子轨道，然后求解分子轨道的能级。(Molecular Orbital Method) 价键法：同时考虑两个电子在可能的原子轨道上的分布。原子中未成对的电子可以和另 一原子中一个自旋相反的未成对的电子配对，配对电子的轨道重叠形成一个键合方式， 导致体系的能量下降。如两个相同的原子靠共有一对自旋相反的电子键合的类型称为共 价键。(Valence Bond Method)
电子不再视为近自由电子，而认为是束缚在各孤立原子附近的电子。 处理方法：电子在一个原子附近时，将主要受到该原子势场作用，其他原子势场因原子 间相互作用弱而可视为微扰作用。 此时，晶体中电子的波函数不能用自由电子波函数表示，而应用所有原子的 电子波函数(即自由原子波函数)的线性组合来表示。
固体物理中的能带理论
固体物理中的能带理论
摘要
本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论包络函数近自由电子近似
1 引言
能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体物理中,能带论的三个近似
固体物理中,能带论的三个近似
1.引言
1.1 概述
固体物理是研究固体材料中原子或分子的行为和性质的学科领域。能带论是固体物理中一个非常重要的理论，它描述了电子在晶体中的能量分布及其行为规律。能带论的三个近似是固体物理中非常重要的概念。
第一个近似是关于能带的定义和特点。能带是指具有相似能量的电子态的集合。在固体中，原子间的相互作用引起了电子的周期性排列，形成能带结构。能带结构决定了电子能量的分布及其在固体中的运动方式。根据波尔兹曼统计，能带中的电子填充情况将影响固体的导电性、磁性等物理性质。
第二个近似是关于周期势场下的能带结构。周期势场是指固体中原子间的周期性排列造成的电子受到的平均势场。在周期势场下，电子的行为将受到布洛赫定理的约束，即电子波函数在晶格周期性重复。这样，能带结构就可以通过布洛赫定理进行简化描述，从而得到电子能量与波矢的关系。
第三个近似是近自由电子近似。近自由电子近似是指在某些特定材料中，电子在晶格势场下的运动表现出类似自由电子的行为。在近自由电子近似下，电子的能量分布可以用简单的能带模型来描述，以及电子的运动类似于自由电子在真空中的运动。这种近似计算方法在一些金属或导体中得到了广泛应用。
综上所述，能带论的三个近似是固体物理中不可或缺的工具，它们对
于解释和预测固体材料的性质具有重要意义。本文将对这三个近似进行详细的介绍和分析，并展望能带论在未来的发展和应用前景。
1.2文章结构
1.2 文章结构
本文将分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。每个部分将有不同的子节，以便深入探讨和解释固体物理中能带论的三个近似。
固体物理--能带理论 ppt课件
1 a
a2
V
a 2
i 2π nx
x e a dx
求得。第一禁带宽度为
Eg1 2V1
21 a
a2
V
a 2
i 2π x
x e a dx
2 1
b
mω2
b2
x2
i
e
2π a
x
dx
4b b 2
2 1 4b
b mω2 b 2
b2 x2 cos π x dx 2b
5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带
E
k
E
at s
A 8J cos
kxa 2
cos
kya 2
cos
kza 2
并求能带宽度。
解：用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点
的相互作用时，其能带的表示式为
Ek
E
at s
A
J
e ikRn
ia
e 2
kx ky kz
E sat
A
2J
e
i
a 2
k
x
k
y
cos
kza 2
能带理论-固体物理理论
十化学势
当T不为0时，N个电子在本征态上的分布不能再简单地仅有泡利不相容原理决定。 要由费米-狄拉克统计分布函数，简称费米分布函数给出：
化学势的计算：
十一 能带理论
晶体势场中的多体问题
周期势场中的单电子问题
1.绝热近似or Born-Oppenheimer近似： 多体问题
多电子问题
相对于电子，可以认为离子不动，或者，电子的运动可随时调整来适合离子的运动。
单电子的薛定谔方程的解：
近自由电子/弱周期场近似： 假定电子的周期势场非常的弱，近似自由电子受到周期势场的扰动。
一维周期势场用傅立叶变换展开：
近自由电子近似下，电子的薛定谔方程为： 0级近似下： 考虑有限长度为L=Na的晶体，K的取值为：
一维非简并情况 一级修正为： 二级修正为：
其中
一维简并情况 分析：
晶格振动谱的测定：
拉曼散射：与光子相互作用的声子是光学声子 布里渊散射：与光子相互作用的声子是声学声子
×晶格比热
比热的定义： E为晶体内能：对于绝缘体，就是晶格振动动能；
对于金属，还需要加上公有化电子的热动能。 Dulong-Petit定律： 比热的量子理论：
对于原胞数目无限大的晶体，能量波矢和频率都是准连续的： 内能：
晶体的能带结构由该晶体的结构和 势能函数形式决定。
能带结构及其示意图：
固体物理学中的能带理论
固体物理学中的能带理论
固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。
1. 能带理论的基本概念
能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。能带是指具有类似能量水平的电子能级。禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。
2. 理论构建的主要过程
能带理论的构建经历了一系列的发展过程。最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。
在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。
3. 对实际应用的影响
能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。
其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。通过对能带结构的调控，
我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。
固体物理总结能带理论完全版
精品文档
目录
一、本章难易及掌握要求 (1)
二、基本内容 (1)
1、三种近似 (1)
2、周期场中的布洛赫定理 (2)
1）定理的两种描述 (2)
2）证明过程： (2)
3）波矢k的取值及其物理意义 (3)
3、近自由电子近似 (3)
A、非简并情况下 (4)
B、简并情况下 (5)
C、能带的性质 (6)
4、紧束缚近似 (6)
5、赝势 (9)
6、三种方法的比较 (10)
7、布里渊区与能带 (11)
8、能态密度及费米面 (11)
三、常见习题 (14)
简答题部分 (14)
计算题部分 (15)
一、本章难易及掌握要求
要求重点掌握：
1）理解能带理论的基本假设和出发点；
2）布洛赫定理的描述及证明；
3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想；
4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；
5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；
6）会计算能态密度及明白费米面的概念。
本章难点：
1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的
应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。
了解内容：
1）能带的成因及对称性；
2）费米面的构造；
3）赝势方法；
4）旺尼尔函数概念；
5）波函数的对称性。
二、基本内容
1、三种近似
在模型中它用到已经下假设：
1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。
2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。
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电子与电子之间的作用
—— 从多体问题的角度 电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替
—— 金属中的价电子系统__不能用电子气来描述了 必须把价电子系统看成量子液体
电子与晶格之间的作用
—— 电子和晶格相互作用 在离子晶体中电子的运动会引起周围晶格畸变 电子带着这种畸变一起前进的
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2)
平移算符本征值量子数
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
—— 简约波矢
—— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
r Rm eikRm r —— 布洛赫定理
3) 简约波矢改变一个倒格子矢量 Gn n1b1 n2b2 n3b3
平移算符的本征值
TT T T
平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数
和
微分结果一样
T H HT
T和H存在对易关系 —— 具有共同本征函数
H E T1 1 T2 2 T3 3
—— 平移算符的本征值
—— 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
2 i l1
1 e N1
2 i l2
2 e N2
2 i l3
——
—— 按原胞划分积分
—— 引入积分变量
势场是晶格周期性函数
x na : 0 a
k l 2
Na
1)
k l 2
Na
2)
k k n 2
a
k k n 2
a
k k n 2
a
k k n 2
a
k V x k V (n) k V x k 0 k V x k V (n) k V x k 0
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
第三步简化 —— 周期性势场 所有离子势场 和其它电子的平均场是周期性势场
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
能量本征值的计算
—— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合 晶体中的电子的波函数按此函数集合展开
—— 将电子的波函数代入薛定谔方程 确定展开式中的系数应满足的久期方程 求解久期方程得到能量本征值
Vn 2 Ek0 Ek0
E
Ek0
Ek0
Vn 2 Ek0 Ek0
Vn 2 Ek0 Ek0
k和k’能级相互作用 —— 原来能级较高的k’提高 原来能级较低的k下压
量子力学中微扰作用 —— 两个相互影响的能级 总是原来较高的能量提高了 原来较低的能量降低了
—— 能级间“排斥作用”
E
Ek0
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意矢量
势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1, T2 , T3
平移任意晶格矢量
对应的平移算符
T
(Rm
)
T m1 1
(a1 )T2m2
(a2
)T3m3
(a3
)
平移算符 的性质 作用于任意函数
——
平移算符作用于周期性势场
各平移算符之间对易 对于任意函数
波动方程
h2 2m
2
V
(r)
E
晶格周期性势场 V (r) V (r Rn )
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
第一步简化 —— 绝热近似 离子实质量比电子大，运动慢 离子固定在瞬时位置上
第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法 —— 多电子问题简化为单电子问题 —— 每个电子在离子势场 和其它电子的平均场中运动
—— 本征值相同
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应
—— 取值限制第一布里渊区
bj 2
kj
bj 2
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
第一布里渊区体积
简约波矢
kபைடு நூலகம்
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
—— 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
状态密度 Vc
n
i2 n x
Vne a
h2 2m
k
2
k
n a
2
2
令
可以证明
电子波函数 k (x) (1/
L )eikxuk (x)
—— 具有布洛赫 函数形式
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波 散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
—— 势场作用产生的散射波
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位 电子入射波波长
1 2
Ek0
Ek0
2
Vn
(Ek0 Ek0 4 Vn
)2
E
V
V
Tn Tn
Vn Vn
2Tn
2Tn Vn
2Tn
2Tn Vn
1
1
结果分析
1) 两个状态k和k’微扰后 —— 能量变为E+和E原能量高的态 ，能量提高；原能量低的态
能量降低
两个相互影响的状态k和k’微扰后 —— 能量变为E+和E-
为一矢量 —— 当平移晶格矢量 —— 波函数只增加了相位因子
电子的波函数 (r) eikruk (r)
—— 布洛赫函数
晶格周期性函数 uk (r R) uk (r)
布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件 确定平移算符的本征值 给出电子波函数的形式
第四章 能带理论
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展
能带理论 —— 单电子近似的理论
每个电子的运动 —— 看成是独立的 在一个等效势场中的运动
电子波矢在
附近的能量和波函数
简并微扰 —— 波函数由简并波函数线性组合构成
状态 k n (1 )
a
0 —— 是一个小量
—— 主要影响的态
—— 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响
状态
对状态
的影响
k
k
简并波函数
(x)
a
0 k
b
0 k
薛定谔方程 H0 (x) H (x) E (x)
单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子 —— 哈特里－福克自洽场方法
能带理论的出发点 —— 电子不再束缚于个别的原子 而在整个固体内运动
—— 共有化电子
共有化电子的运动状态
—— 假定原子实处在平衡位置 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰
理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场具有周期性
—— 电子在晶格周期性的等效势场中运动
2a n
—— 布拉格反射条件在正入射时的结果
入射波波矢
散射波成份的振幅
Vn
h2 [k 2 (k n 2 )2 ]
2m
a
波函数一级修正项
1 eikx
Vn
i2 n x
e a
L
n
h2 2m
k
2
k
n a
2
2
—— 微扰法不再适用了
2) 电子波函数和不同态之间的相互作用
在零级波函数
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(x)
.
0 k
(
x)
(1
/
L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k'
k' Ek0
H' k Ek0'
0 k'
—— 计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx Ln
Vn
i2 n x
ea
h2 2m
k
2
k
n a
2
2
k (x)
1 eikx 1 L
(2 )3
简约布里渊区的波矢数目
(2 )3
N
(2 )3
N
固体体积
04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 模型和微扰计算
近自由电子近似模型
—— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用
—— 假定势场的起伏较小
零级近似 —— 用势场平均值代替原子实产生的势场
V V (x)
—— 周期性势场的起伏量 可以作为微扰来处理
—— V(x) 第n个傅里叶系数
二级修正项
E(2) k
k'
k H k 2 Ek0 Ek0'
E ( 2) k
n
'
Vn 2
h2 2m
k
2
k
n a
2
2
—— 电子的能量本征值
Ek
h2k2 V 2m
n
'
Vn 2
h2 2m
k
2
k
n a
2
2
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
应用
H
0
0 k
Ek0
0 k
and
H
0
0 k
E 0 0 k k
a
Ek0 E V
0 k
b
Ek0 E V
0 k'
0
分别以 或
从左边乘方程，对 x 积分
利用
线性代数方程 Ek0 E a Vn*b 0 Vna Ek0 E b 0
a, b有非零解
能量本征值
E
1 2
Ek0 Ek0
(Ek0 Ek0 )2 4 Vn 2
1) Ek0 Ek0 Vn
k n (1 ) k n (1 )
a
a
波矢k离 较远，k状态的能量和状态k’差别较大
将
按
展开
E
1 2
Ek0
Ek0
(Ek0
Ek0 ) 1
2 Vn 2 (Ek0 Ek0 )2
E
Ek0
Ek0
Vn 2 Ek0 Ek0
Ek0
2k 2 2m
V
—— 微扰情形，电子的k不在 n / a 附近
Ek0 Ek0 Vn
—— k状态不计二级能量修正
'
Vn 2
n
h2 2m
k
2
k
n a
2
2
3) 能带和带隙____禁带
Ek
h2k2 V 2m
n
'
Vn 2
h2 2m
k
2
k
n a
2
中掺入其它零级波函数
0 k
(x)
1 ei
k
n a
2
x
L
—— 能量差越小掺入部分越大
当
时
两个状态具有相同的能量 —— 导致了波函数的发散
电子能量的意义
二级能量修正
E(2) k
n
'
Vn 2
h2 2m
k
2
k
n a
2
2
当
E(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并
—— 电子不再是在周期场中的运动
04_01 布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 V (r)具有晶格周期性时
电子的波函数满足薛定谔方程
h2 2m
2
V
(r)
(r)
E
(r)
—— 方程的解具有以下性质
(r Rn ) eikRn (r) —— 布洛赫定理
(r Rn ) eikRn (r) —— 布洛赫定理
Ek0
Vn 2 Ek0 Ek0
Vn 2 Ek0 Ek0
—— 原来能级较高的k’提高 原来能级较低的k下压
E
1 2
Ek0
Ek0
Ek0 Ek0
2
4
Vn
2
2) Ek0 Ek0 Vn
k n (1 ) k n (1 )
a
a
波矢k非常接近
，k状态的能量和k’能量差别很小
将
按
展开
E
3 e N3
2 i l1
1 e N1
2 i l2
2 e N2
2 i l3
3 e N3
—— 引入矢量
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
—— 倒格子基矢
满足 ai gb j 2ij
平移算符的本征值 1 eikga1 , 2 eik ga2 , 3 eikga3
平移算符的本征值 1 eik ga1 , 2 eik ga2 , 3 eikga3
将
作用于电子波函数
e (r) ik(m1a1 m2a2 m3a3 )
(r Rm ) eikRm (r) —— 布洛赫定理 电子的波函数 (r) eikruk (r) —— 布洛赫函数
—— 晶格周期性函数 满足布洛赫定理
平移算符本征值的物理意义
1) 1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
电子波函数的计算
—— 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数 得到具体的波函数
—— 在不同的能带计算模型和方法中 采取的理论框架相同，只是选取不同的函数集合
能带理论的局限性
一些过渡金属化合物晶体
—— 价电子的迁移率小 自由程与晶格常数相当__电子不为原子所共有 周期场失去意义__能带理论不适用了
V (x) V V
零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 金属的线度
零级近似下
薛定谔方程
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
周期边界条件
—— l 为整数
电子的波矢取值 k l 2
Na
—— 能量
Ek0
2k 2 2m
V
满足正交归一化
L
0*
k
k0dx
kk
0
微扰下电子的能量本征值 哈密顿量
量子力学微扰理论 —— 电子的能量本征值
Ek
Ek0
E (1) k
E (2) k
.
能量本征值
Ek
Ek0
E (1) k
E (2) k
.
一级能量修正
E (1) k
L
0
1 eikxV (x) L
1
eikx
dx
V
0
L
二级能量修正
E(2) k
k
k H k 2 Ek0 Ek0
E
V
V
Tn Vn Tn Vn
2Tn
2
Tn Vn
2Tn
2
Tn Vn
1
1
2) 当 0 时
E V Tn Vn
E V Tn Vn
两种情形下完全对称的能级
—— A和B 两个状态作用后的能级
—— C和D 两个状态作用后的能级
3) 能带和带隙____禁带
—— 零级近似，电子能量曲线为抛物线