高等数学数列的极限

23
n
通项：
xn

1
(1)n n
.
x2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M 所有奇数项
x2 x
1
(5)
n
n
1
:
1 , 2 , 3, , n , 2 3 4 n1
通项 :
xn

n. n 1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
| xn 1|
(1 (1)n-1 ) 1
n
lim 1 (1)n1 1:
n
n
其中,
0 是描述点 xn 与点 0 无限接近的
度量标准, 它是预先任意给定的, 与{xn}的
0
极限存在与否无关.
N 0, 当n N 时,
N 是否存在 , 取决于数列 {xn} 本身. 数列有极限, 则 N 存在; 数列无极限, 则 N
0 , 若 N 0 ,使当 n N 时,
| xn a |
成立, 则称数 a 为数列{xn}当n 时的极限,
记为
lim
n
xn
a,
或
xn
a
(n ) .
此时, 也称数列{ xn } 是收敛的.
若{ xn }当 n 时没有极限, 则称{ xn }发散.
1.3数列的极限
一、概念的引入 二、数列的定义
三、数列极限的性质
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R

正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
因此：数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关， 改变数列的前有限项，不改变其收敛性和极限
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n n 1
…
1
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
二、数列的极限
由前面我们看到：当 n 无限增大 时,
1 2n

0
1 (1)n 0 n
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1

1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2

1 2

1 22
;

第n天截下的杖长总和为 X n

1 2

1 22

1 2n
;
Xn

1
1 2n
1
二、数列的定义
1. 定义
数列也称为序列
设 f (n) 是以正整数集 Z＋ 为定义域的函数.
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
N 0, 以后的所有项
当n N 时,
都落在 U(1, ) 中.（在 U(1, ) 外面只有有限项）
极限描述的是变量的变化趋势
注意：
1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2. N与任意给定的正数有关.
N定义 :
lim
nxnΒιβλιοθήκη a 0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
n
n
1

1
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn

1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.

xn
1

(1)n1
1 n

1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
n > N 描述 n .
由 N 存在与否判断数列的极限是否存在.
一般地, 如果数列{xn} 当 n 时,
xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数
列{xn} 当 n 时以 a 为极限, 记为
lim
n
xn

a.
此时, 也称数列是收敛的.
数列极限的定义：
数列的项不一定取到 它的极限值.
将 f 的值域 f (Z ) { xn | xn f (n), n N } 中的元素 xn, 按自变量 n 增大的次序排列出来所 得到的一串数：
x1, x2 , , xn , 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
例1
介绍几个数列
(1) {2n}: 2, 4, 8,, 2n ,
通项 : xn 2n.
x1 x2 … xn …
••••• ••••••••••
x
0 2 4 … 2n …
(2)
1 2n

:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,

通项 :
xn

1 2n
.
… xn … x3
x2
••••• •••••
1
1
01
2n
8
4
2
1
x1 x
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
x2n
–1
0
所有的偶数项
x 2 n 1
x
1
所有的奇数项
(4)
1

(1)n n

:
0, 1, 0, 1 , 0, 1,, 1 (1)n ,
不存在.
1+ (1)N-11
如果 N 存在, 则其不唯一, 所有大于N
n
的正整数均可取作为N. 并且N 与 有关,
可记为 N N( ), 一般说来 , 值越小, 则
N 的值越大.
不等式
(1 (1)n1 ) 1 称为目标不等式.
n
通过目标不等式来寻找 N > 0 , N = N().