中国科学技术大学自主招生试题
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2018年中国科学技大学自主招生试题
1. =-2018)
13(i ________ .
2. 已知5
32sin =α,则=-+)15tan()15tan( αα________ .
3. 设21->x ,则1
24)(2+++=x x x x f 的最小值为________ .
4. 设}5,4,3,2,1{=S ,则满足x x f f =))((的映射S S f →:的个数是________ .
5. 设α为复数,i 为虚数单位,关于x 的方程02
=++i x x α有实数根,则||α的取值范围为________ .
6. 已知定义在),0(+∞上的函数)(x f 是单射,对任意的0>x ,有1)(>x xf ,2)1)((=-x xf f ,则=)2(f ________ .
7. 在四面体ABCD 中,ABC ∆是斜边2=AB 的等腰直角三角形,ABD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形,已知6=CD ,点Q P ,分别在线段CD AB ,上,则PQ 的最小值为________ .
8. 点P 在圆1)1()2(22=-+-y x 上运动,向量PO (其中O 为原点)绕P 点逆时针旋转 90得PQ ,则点Q 的轨迹方程为________ .
9. 过点)0,1(-的直线m 与抛物线2x y =相交于B A ,,若AOB ∆的面积为3(其中O 为原点),求直线m 的方程.
10. 求所有的二次实系数多项式b ax x x f ++=2)(,使得)(|)(2x f x f .
11. 设*+∈++==N n a n n a a n n ),()1
1(,1311,求证(1))1
1(1
123∑-=+=n k n k
n a ;(
2)3)1(1<+∏=n k k a k .