7.1多元数值函数积分概念和性质

ΔΩ i 上怎样选取, 只要d→0, 上述和式都趋于同一常数 I, 则称 f (M)
n
在上Ω可积, 并把 I 称为函数 f (M) 在Ω上的积分, 记做
积分号 积分表达式 积分元素
n
∫ f ( M ) dΩ
Ω
n
n n n
∫
Ω
f ( M ) dΩ = I = lim ∑ f (M i ) ΔΩ i d →0
μ ( x, y ) ∈ C , 计算该薄片的质量 M。 若 μ ( x, y ) ≡ μ (常数 ) , 设D 的面积为σ , 则 M = μ ⋅σ y 若 μ ( x, y ) 非常数 , 仍可用
“分划, 代替, 求和, 取极限” 解决。 1)“分划” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域。
解: 被积函数 f ( x, y ) = D 的面积
1 在D上 f(x, y)的最大值 M = f (0 , 0 ) = 4
1
σ =2
( x + y)
+ 16
2
D
o
x
1
1 = 在D上 f(x, y)的最小值 m = f (1, 2 ) = 2 2 5 3 +4
从而有 m ∫∫ dσ ≤ I ≤ M ∫∫ dσ ,
Ω
即
f (ξ i ,ηi ζ i ) ΔSi ∑ ∫∫ f ( x, y , z ) dS = lim d →0
S
n
S
i =1
其中dS为曲面的面积微元。
1. 估计
I = ∫∫
D
⎧0 ≤ x ≤1, 的值, 其中D : ⎨ 2 2 x + y + 2 xy + 16 ⎩0 ≤ y ≤ 2 ,
1
y
2
dσ
1)“分划” 用任意曲线网分D为 n 个区域
Δσ 1, Δσ 2 , L, Δσ n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个小曲顶柱体 f (ξ k , η k ) 2)“代替” 在每个 Δσ k 中任取一点 (ξ k , η k ) , 则
z = f ( x, y )
ΔVk ≈ f (ξ k , η k ) Δσ k
“分划, 代替, 求和, 取极限” 平面薄片的质量:
n d →0 k =1
V = lim ∑ f (ξ k , η k )Δσ k
d →0
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n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k ) Δσ k
一元为区间 体现分点的自由选择 二元（如平面区域） 直角坐标网 分割为多种多样: 极坐标网
【注】
k =1
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。
解决步骤 : 1) 分割 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a = x0 < x1 < x2 < L < xn−1 < xn = b
用直线x=xi将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 代替 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以[xi-1 , xi]为底 , f ξ i 为高的 小矩形, 并以此小矩形面积近似代替 相应窄曲边梯形面积△Ai , 得
∫ 1⋅ dΩ = ∫
Ω
Ω
dΩ = Ω
性质2 线性性质 设α,β为常数，则
β g M d Ω ( ) α f M d Ω + α f M + β g M d Ω = ⎡ ⎤ ( ) ( ) ( ) ∫ ∫Ω ⎦ ∫Ω ⎣ Ω
性质3 积分区域的可加性 若将Ω分为两部分 Ω1 , Ω 2 , 则
∫ f ( M ) dΩ = ∫
L
∫ f ( x , y ) ds
n
i =1
其中ds叫做弧长微元。
4. 对面积的曲面积分 当几何形体Ω为空间上的曲面块S 时, 则 f(M) 就是S上的 三元函数 f(x, y, z), ΔΩ i 就是小曲面块的面积△Si , 这时称
∫ f ( M ) dΩ 为函数f(x, y, z)在空间曲面S上的对面积的曲面积分, 或称第一型的曲面积分， 记做 ∫∫ f ( x, y , z )dS
3)“求和”
n
n
(k = 1, 2 ,L, n )
(ξ k ,η k )
D
Δσ k
V = ∑ ΔVk ≈ ∑ f (ξ k , η k ) Δσ k
k =1
k =1
第七章
4)“取极限”
定义Δσ k 的直径为
d ( Δσ k ) = max { P P 1P 2 1 ,P 2 ∈ Δσ k }
取小区域直径为
D
x
Δσ 1, Δσ 2 , L, Δσ n ,
第七章
2)“代替”
在每个 Δσ k 中取一点 (ξ k ,η k ) , 则第 k 小块的质量
Δmk ≈ μ (ξ k , η k ) Δσ k
3)“求和”
n
n
(k = 1, 2 ,L, n )
y
•
m = ∑ Δmk ≈ ∑ μ (ξ k , η k ) Δσ k
Ω
Ω1
f ( M ) dΩ + ∫
Ω2
f ( M ) dΩ
性质4 (比较性质) 如果在Ω上, f(x) ≤g(x)，则
∫ f ( M ) dΩ ≤ ∫ g ( M ) dΩ
Ω Ω
∫ f ( M ) dΩ
Ω
≤
∫ f ( M ) dΩ
Ω
性质5(估值性质) 设 M, m分别是 f(M) 在闭几何形体Ω上的 最大值和最小值，则
第七章 多元数量值函数积分学
重积分(二、三重积分) 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第七章
7.1 多元数量值函数积分的概念与性质
7.1.1 非均匀分布的几何形体的质量问题 7.1.2 多元数量值函数积分的概念 7.1.3 多元数量值函数积分的性质 7.1.4 多元数量值函数积分的分类
第七章
回顾 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
多元数量值函数积分的概念 定义 设Ω是可度量（即可求长度、面积或体积）的有界闭 几何形体, f (M)是定义在Ω上的数量值函数。 将Ω任意划分为 n个小几何形体 ΔΩ i(i=1, 2, …, n ), ΔΩ i 同时表示其度量。在 ΔΩ i 上任取一点 Mi , 作乘积 f ( M i ) ΔΩi 并作乘积和式 ∑ f ( M i )ΔΩi , i =1 { ΔΩ i的直径 } , 如果不论对Ω怎样分划, 也不论点Mi在 记 d = max 1≤ i ≤ i
V
即
f (ξ i , ηi , ζ i ) ΔVi ∑ ∫∫∫ f ( x, y, z ) dV = lim λ →0 i =1
V
n
其中 dV 叫做体积微元。
2. 对弧长的曲线积分 当几何形体Ω为平面或空间上的曲线弧段L时, 则 f(Ω)是 定义在L上的二元或三元函数 f(x, y)或 f(x, y, z), ΔΩ i 是小弧段 的弧长△si , 这时称 ∫ f ( M ) dΩ 为函数 f(x, y)或 f(x, y, z)在曲线L
m ⋅ Ω ≤ ∫ f ( M ) dΩ ≤ M ⋅ Ω
Ω
性质6 (积分中值定理) 设函数f(M)在闭几何形体Ω上连续, 则在上至少存在一点M0，使得
∫ f ( M ) dΩ = f ( M ) ⋅ Ω
Ω 0
7.1.4 多元数量值函数积分的分类 按几何形体Ω的类型，多元数量值函数积分可以分为以下 四种类型： 1. 二重积分 当几何形体Ω为xOy平面上的区域D时，则 f 就是定义在D上 的二元函数 f(x, y), ΔΩ i 就是小区域的面积 Δσ i , 这时称 ∫ f ( M ) dΩ 为函数f(x, y)在平面区域D上的二重积分, 记做
D D
2 1 故 ≤I≤ 5 2
x+ y x+ y x+ y 3 dxdy , I 2 = ∫∫ dxdy , I 3 = ∫∫ dxdy , 2. I 1 = ∫∫ 4 4 4 D D D
n →0 i =1 i i
∫∫ f ( x, y ) dσ
D
Ω
f (ξ ,η )Δσ ∑ ∫∫ f ( x, y ) dσ = lim λ
D
i
如果 f(x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划分 区域 D, 这时 Δσ k = Δxk ⋅ Δyk , 因此面积元素 d σ 也记作 d x d y, 二重积分记作
① 关于分割和取点的任意性
Δσ k ≈ 0
• •
② 关于分割精细程度
一元用小区间最大者 (使任意两点距离很小) 二元（如平面区域）小区域直径最大者 而不是小区域面积的大小
类似地, 使用同样的方法可以讨论其他几何形体上的物体的 质量问题。 它们都可以归结为上面形式的极限，这一类型的极限， 在物理、力学、几何和工程技术中有广泛的应用。 当一个几何形体分别为区间[a, b]、平面区域D 、空间区域V 平面曲线弧l 、空间曲线弧L及曲面时, 分别有 μ (ξ k ) 、 μ (ξ k ,η k ) 、 μ (ξ k ,ηk , ζ k ) 、 μ ( ξ k ,η k ) 、 μ ( ξ k ,η k , ζ k ) 、 μ ( ξ k ,η k , ζ k )
d = max { d ( Δσ k )
1≤ k ≤ n
}
z = f ( x, y )
f (ξ k , ηk )
(ξ k ,η k )
Δσ k
V = lim ∑ f (ξ k , η k )Δσ k
d →0 k =1
n
第七章
2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密度为
f (ξ i ) ΔAi
ξ i ∈ [ xi −1 , xi ]
y
( )
ΔAi ≈ f (ξ i )Δx i
o a
x1
L x i −1 ξ ix i L b x
( Δx
i
= xi − xi −1 , i = 1, 2, L , n
)
第七章
3) 求和
A = ∑ ΔA i ≈ ∑ f (ξ i ) ⋅ Δx i
i =1
d →0
∑
i =1
n
i =1
i =1
i =1
∫
Ω
i =1
积分区域
被积函数
积分和
定理7-1(可积的必要条件) 若函数f(M)在几何形体Ω上可积， 则 f(M) 在Ω闭有界。 定理7-2(可积的充分条件 )若函数f(M)在有界闭几何形体Ω 上连续，则f(M)在上必可积。 7.1.3 多元数量值函数积分的性质 性质1 当 f(M)≡1时，它在Ω上的积分等于Ω的度量，即
n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k , ζ k )Δ sk
d →0 k =1
m = lim ∑ μ (ξ k , η k , ζ k )Δ S k
d →0 k =1
这里 Δxi 、 Δσ i 、 ΔVi 、 Δsi 、 ΔSi 分别表示小区间的长度、小平面区域
的面积、小空间区域的体积、小弧段的长度及小曲面块的面积。
m = lim ∑ μ (ξ k )Δ xk
d →0 k =1 n d →0 n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k )Δσ k
d →0 k =1
n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k , ζ k )ΔVk
k =1 n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k )Δ sk
d →0 k =1 n
i =1 i =1
n
n
4) 取极限 令 d = max{Δx i },
1≤ i ≤ n
则曲边梯形面积
小区间长度最大者
y
f (ξ i ) ΔAi
A = lim ∑ ΔAi = lim ∑ f ξ i Δx i
d →0 i =1
n
n
d →0
i =1
( )
o a
x1
L x i −1 ξ ix i L b x
Ω
上的曲线积分,
L
或称第一型的曲线积分, 记做 或
L
即 或
f (ξ i , ηi , ζ i ) Δsi ∑ ∫ f ( x , y , z ) ds = lim d →0
L
∫ f ( x , y , z ) ds n f (ξ i , ηi ) Δsi ∑ ∫ f ( x , y ) ds = lim d →0 i =1
k =1
k =1
4)“取极限”
(ξ k ,η k )
Δσ k
x
d ( Δσ k ) } { 取小区域直径为: d = max 1≤ k ≤ n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k ) Δσ k
d →0 k =1
n
两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
∫∫ f (x, y )d x d y
D
2. 三重积分 当几何形体Ω为空间上的区域 V 时, 则 f(M) 就是V上的 三元函数 f(x, y, z), ΔΩ i 就是小立体区域的体积 ΔVi , 这时称
∫ f ( M ) dΩ 为函数f(x, y, z)在空间区域V上的三重积分,
Ω
记做
∫∫∫ f ( x, y, z ) dV
第七章
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 z = f ( x, y ) ≥ 0
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积。 z = f ( x, y ) 解法: 类似定积分解决问题的思想: “分划, 代替, 求和, 取极限”
D
第七章