力法对称结构的计算上课
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l/2
l/2 P/2
P/2
l/2
Mp
l/2
P/2 1
X1=1
M
l/2
18
例：绘制图示结构的内力图。
6m
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
EI EI
EI 2EI EI
6m
81
81 81 103.5 101320.0537.5 M
kNm kNm K kN·m
135 135
135
198 131999868
23kN/m
任何荷载均可分解为正对称荷载和反对称荷载的叠加， 因此，在一般荷载作用下，对称结构计算可以有两种 处理方法： 方法A：对荷载不作处理，直接取非对称荷载进行计算。 计算时取对称的基本体系； 方法B：进一步将荷载也分成对称和反对称的组合，对 这两部分荷载分别进行计算，最后将两种计算结果叠 加。
两种方法各有利弊。（教材P277底段的评述）
上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
C
P
P
C
P
P
对称：uc=0 中柱： vc=0
P 等代结构
对称：uc=0,θc=0 中柱： vc=0
对称：uc=0, θc=0
中柱： vc=0
C
P
C P
等代结构
P
11
下面讨论反对称荷载情况： ②对称结构在反对称荷载作用下，简化结构的取法 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
QC
QC
P
P
EI EI
由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC 当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变 形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后 再利用对称关系作出另半边结构的内力图1。4
C
P
P
2EI
P EI
等代结构
中柱的荷载减半（如果在中柱上 有荷载作用），惯性矩减半，
15
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
MC
NC
EI
P EI
PP EI
P
QC
P
C
等代结构
a）奇数跨对称结 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。
定向支座的受力和变形条件与C点完全相同。 9
下面讨论偶数跨结构承受对称荷载作用时的简化方法： 偶数跨结构的中柱与横梁连接的节点有3种情况
C
C
C
P
PP
PP
P
刚节点
组合节点
铰节点
10
b）位偶于数对跨称对轴称上结的构截在面对的称位荷移载下u等c=代0、结θ构c=取0 法：将对称轴
C
P
2EI
P
C
P
P
2EI
C
P
P
2EI
P
EI
等代结构
P EI
等代结构
16
例：求图示结构的简化结构。 EI=常数。
P
P
C B
l/2 l/2
P
P
l/2 l/2 l/2 l/2 A
P Pl/8
P Pl/8
P C
B
P
P
Pl/8 P
Pl/8
P
C
B
A
17
Pl
Pl
P/2
12
P
12
Pl
6
EI=常数
l/4 l/2
l/4
12
a）、位于对称轴上的截面的位移 vc=0， 内力 NC=0，MC=0
C
NC
MC
NC
EI
P
PP
EI
EI
P
QC
C P
等代结构
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆
13
C）偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法
C
C
P 2EI
PP
2EI
P
EI EI
P EI
等代结构
先分析刚节点
6m
EI
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
等代结构
6m
等代结构的计算
6m
19
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
33 X 3 3P 0
一般荷载
X2=1 X2
M2
部分副系数为0，力法方程降阶
X1=1
M1
X3=1
M3
2
3、利用对称性简化计算：
1）取对称的基本体系(荷载任意)
13 31 23 32 0 11X1 12 X 2 1P 0
X1
P
21X1 22 X 2 2P 0 33 X 3 3P 0
4
求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。
P
EI2
EI1
EI1
h
P/2 －P/2 M=0
P/2 P/2
66kk1•
Ph 4
P/2
l
11
l 2
•h•
l 2EI1
1 2
•
l 2
•
l 2
•
l 3
•
1 EI2
l2h l3 4EI1 24EI2
11
1 2
•
Phh l 2 2EI1
Ph2l 8EI1
X1
-
20 Ph 19 4
•荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有 关，而与各杆的刚度绝对值无关。
•内力分布与各杆刚度大小有关，刚度增6 大， 内力也增大。
以下介绍一种采用简化结构进行计算的方法，有 关内容需参考教材 P380 – 381（第六章第六节）
7
讨论对称结构在对称荷载（正对称或反对称）作用下，取
l/2
l/2
P
解: 11 x1+Δ1P=0
11=
1 EI
1 •
1 2
•1
l 4
• 1 • 1
3l 4EI
Δ1P=
1 1• l • Pl l • l •Pl Pl 2 EI 2 8 4 4 8EI
Pl
pl
X1= - 6
4
先叠加等代结构的弯矩图， 再利用对称性绘出全部弯矩图。
P/2 X1
基本体系
简化的等代结构（半结构）进行计算的方法。
这种方法不仅适用于力法，也适用于位移法（下一章）。 2）取等代结构计算(对称或反对称荷载)
①对称结构在对称荷载作用下，其等代结构的取法。
8
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
位于对称轴上的截面的位移 uc=0、θc=0 ， 内力 QC=0
C
NC
X2
X2
X3
P2
力法方程降阶
进一步地
一般荷载
如果荷载对称，MP对称， Δ3P=0，X3=0；
X2=1 P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0。
X1=1
M1
X3=1
M3
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的3 。
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
Pa
P1
P/2 a a P/2
P/2 a a P/2
P2 F
F
W
W
一般荷载
对称荷载
反对称荷载
P1=F+W，P2=W—F
1
3、利用对称性简化计算：
1）取对称的基本体系(荷载任意)
X1
P
13 31 23 32 0
X2
X2
X3
P2
11X1 12 X 2 1P 0 21X1 22 X 2 2P 0
1P
11
-
6k 6k 1
Ph 2l
k
I2h I1l
66kk12•
Ph 4
X1 基本体系
P/2 等代结构
X1=1
M
l/2
l/2
P/2
MP
Ph/2 5
6k • Ph 6k1 4
k很小 弱梁强柱
Ph
2
6k2 • Ph 6k1 4
Ph 4
18 Ph Ph
k=3
19 4
4
Ph 2
k很大 强梁弱柱
k
I 2
h
Il 1
l/2 P/2
P/2
l/2
Mp
l/2
P/2 1
X1=1
M
l/2
18
例：绘制图示结构的内力图。
6m
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
EI EI
EI 2EI EI
6m
81
81 81 103.5 101320.0537.5 M
kNm kNm K kN·m
135 135
135
198 131999868
23kN/m
任何荷载均可分解为正对称荷载和反对称荷载的叠加， 因此，在一般荷载作用下，对称结构计算可以有两种 处理方法： 方法A：对荷载不作处理，直接取非对称荷载进行计算。 计算时取对称的基本体系； 方法B：进一步将荷载也分成对称和反对称的组合，对 这两部分荷载分别进行计算，最后将两种计算结果叠 加。
两种方法各有利弊。（教材P277底段的评述）
上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
C
P
P
C
P
P
对称：uc=0 中柱： vc=0
P 等代结构
对称：uc=0,θc=0 中柱： vc=0
对称：uc=0, θc=0
中柱： vc=0
C
P
C P
等代结构
P
11
下面讨论反对称荷载情况： ②对称结构在反对称荷载作用下，简化结构的取法 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
QC
QC
P
P
EI EI
由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC 当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变 形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后 再利用对称关系作出另半边结构的内力图1。4
C
P
P
2EI
P EI
等代结构
中柱的荷载减半（如果在中柱上 有荷载作用），惯性矩减半，
15
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
MC
NC
EI
P EI
PP EI
P
QC
P
C
等代结构
a）奇数跨对称结 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。
定向支座的受力和变形条件与C点完全相同。 9
下面讨论偶数跨结构承受对称荷载作用时的简化方法： 偶数跨结构的中柱与横梁连接的节点有3种情况
C
C
C
P
PP
PP
P
刚节点
组合节点
铰节点
10
b）位偶于数对跨称对轴称上结的构截在面对的称位荷移载下u等c=代0、结θ构c=取0 法：将对称轴
C
P
2EI
P
C
P
P
2EI
C
P
P
2EI
P
EI
等代结构
P EI
等代结构
16
例：求图示结构的简化结构。 EI=常数。
P
P
C B
l/2 l/2
P
P
l/2 l/2 l/2 l/2 A
P Pl/8
P Pl/8
P C
B
P
P
Pl/8 P
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P
C
B
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Pl
Pl
P/2
12
P
12
Pl
6
EI=常数
l/4 l/2
l/4
12
a）、位于对称轴上的截面的位移 vc=0， 内力 NC=0，MC=0
C
NC
MC
NC
EI
P
PP
EI
EI
P
QC
C P
等代结构
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆
13
C）偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法
C
C
P 2EI
PP
2EI
P
EI EI
P EI
等代结构
先分析刚节点
6m
EI
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
等代结构
6m
等代结构的计算
6m
19
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
33 X 3 3P 0
一般荷载
X2=1 X2
M2
部分副系数为0，力法方程降阶
X1=1
M1
X3=1
M3
2
3、利用对称性简化计算：
1）取对称的基本体系(荷载任意)
13 31 23 32 0 11X1 12 X 2 1P 0
X1
P
21X1 22 X 2 2P 0 33 X 3 3P 0
4
求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。
P
EI2
EI1
EI1
h
P/2 －P/2 M=0
P/2 P/2
66kk1•
Ph 4
P/2
l
11
l 2
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1 2
•
l 2
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l 2
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•
1 EI2
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11
1 2
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Phh l 2 2EI1
Ph2l 8EI1
X1
-
20 Ph 19 4
•荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有 关，而与各杆的刚度绝对值无关。
•内力分布与各杆刚度大小有关，刚度增6 大， 内力也增大。
以下介绍一种采用简化结构进行计算的方法，有 关内容需参考教材 P380 – 381（第六章第六节）
7
讨论对称结构在对称荷载（正对称或反对称）作用下，取
l/2
l/2
P
解: 11 x1+Δ1P=0
11=
1 EI
1 •
1 2
•1
l 4
• 1 • 1
3l 4EI
Δ1P=
1 1• l • Pl l • l •Pl Pl 2 EI 2 8 4 4 8EI
Pl
pl
X1= - 6
4
先叠加等代结构的弯矩图， 再利用对称性绘出全部弯矩图。
P/2 X1
基本体系
简化的等代结构（半结构）进行计算的方法。
这种方法不仅适用于力法，也适用于位移法（下一章）。 2）取等代结构计算(对称或反对称荷载)
①对称结构在对称荷载作用下，其等代结构的取法。
8
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
位于对称轴上的截面的位移 uc=0、θc=0 ， 内力 QC=0
C
NC
X2
X2
X3
P2
力法方程降阶
进一步地
一般荷载
如果荷载对称，MP对称， Δ3P=0，X3=0；
X2=1 P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0。
X1=1
M1
X3=1
M3
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的3 。
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
Pa
P1
P/2 a a P/2
P/2 a a P/2
P2 F
F
W
W
一般荷载
对称荷载
反对称荷载
P1=F+W，P2=W—F
1
3、利用对称性简化计算：
1）取对称的基本体系(荷载任意)
X1
P
13 31 23 32 0
X2
X2
X3
P2
11X1 12 X 2 1P 0 21X1 22 X 2 2P 0
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6k 6k 1
Ph 2l
k
I2h I1l
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Ph 4
X1 基本体系
P/2 等代结构
X1=1
M
l/2
l/2
P/2
MP
Ph/2 5
6k • Ph 6k1 4
k很小 弱梁强柱
Ph
2
6k2 • Ph 6k1 4
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18 Ph Ph
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k很大 强梁弱柱
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