结构力学-力法-对称性应用-去一半计算
力法的计算步骤和举例七对称性的利用教学内容模块三结构力学基本
六、 力法的计算步骤和举例
例1：作图(a)所示单跨超静定梁的内力图。已知梁的EI、EA均 为常数。
解： （1）确定超静定次数，选取基本结构
三次超静定梁，选取图(b)所示的悬臂梁作为基本结构。 (2) 建立力法方程
根据原结构支座B处位移为零的条件，建立如下方程：
δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0 δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0 δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0
由∑MA=0得 QBA=-ql/2 所以由∑Y=0得 QAB=ql/2
因为AB梁受到均匀分布荷载，剪力图应为斜直线，如图(h)所示。
七、对称性的利用
用力法解算超静定结构时，结构的超静定次数愈高，多余 未知力就愈多，计算工作量也就愈大。但在实际的建筑结构工 程中，很多结构是对称的，我们可利用结构的对称性，适当地 选取基本结构，使力法典型方程中尽可能多的副系数等于零， 从而使计算工作得到简化。
当结构的几何形状、支座情况、杆件的截面及弹性模量等 均对称于某一几何轴线时，则称此结构为对称结构。
七、对称性的利用
如图a所示刚架为对称结构，可选取图b所 示的基本结构，即在对称轴处切开，
以多余未知力x1, x2, x3来代替所去掉的三 个多余联系。
七、对称性的利用
相应的单位力弯矩图如图c,d,e所示，
超静定次数(degree of static indeterminacy )：多余联系的 数目或多余力的数目
确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系， 直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原 结构的超静定次数。
四、 超静定次数的确定与基本结构
结构力学应用-力法
法
1．超静定结构的基本特征（几何、静力） 2．超静定次数（n）
超静定次数 n ＝ 多余约束数 解除多余约束→→静定结构
静定结构形式不是唯一的 封闭无铰框架，n＝3
3、基本原理
基本思路：超静定结构内力计算 → →静定结构的 内力∕位移 计算 基本概念：基本未知量（多余约束力） 基本体系（基本结构＋荷载、基本未知量）
9、非荷载因素：
支座移动，温度改变，材料收缩，制造误差等。 超静定结构的一个重要特点： ——非荷载因素可以产生内力——自内力 （1）支座移动时的计算 力法方程 δ11x1 + △1c = △1 （2）温度内力的计算 力法方程 δ11x1 + △1t = 0 特点： ①内力全部由多余未知力引起 ②内力与EI的绝对值有关，且与EI成正比
4．无弯矩状态判别
只承受结点荷载的刚架结构，在不计轴向变形的情况下， 当所有刚结点变为铰结点时， a、仍为几何不变体系， b、几何可变，但使其成为不变所附加的链杆均为零杆 （即无结点线位移，则也无角位移时） 各杆弯矩为零——无弯矩状态（取铰接基本结构可证）
0
8、超静定结构位移的计算
基本思路： 基本体系（静定——基本结构）→求原结构的位移。 受力/变形完全相同，
柔度系数： 主系数 δii>0 副系数 δij=δji——对称矩阵 力法典型方程是表示位移条件 在载荷作用下（p133、p138）—— ， 超静定结构的内力 只与各杆的刚度相对值有关， 而与其刚度绝对值无关。
6、讨论
（1）链秆切断～拆除的区别？
p138：桁架计算——若用拆除链秆的静定结构作 为基本结构，与切断链秆计算时的区别？ p140：排架计算—— （2）刚度变化——内力变化关系？ p139：例7－3，A变化 p158：例7－9，k变化
结构力学-力法中对称性的利用
对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对 称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求 解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本 结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知 力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
结构力学第20次课 结构的对称性 2012- 5-17
结构力学第20次课 力法6-5 位移法7-6结构的对称性 foxscarlet12012-5-17 《结构力学》第20次课 第6章力法6-5P225与第7章位移法7-6P302内容6-5 7-6 对称性利用1 对称性（1）结构的对称性：对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都关于某轴对称。
（2）荷载的对称性： 对称荷载 反对称荷载 任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载两部分。
2 取对称的基本体系计算： 不论在何种外因作用下，对称结构应考虑采用对称的基本体系计算。
沿对称轴将梁切开，三对多余未知力中，弯矩X 1和轴力X 2是 未知力，剪力X 3是 未知力。
对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。
如果荷载对称，M P 对称，Δ3P =0，X 3=0， 未知力为零；如果荷载反对称，M P 反对称，Δ1P =0， Δ2P =0， X 1= X 2 =0， 未知力为零。
3 取等代结构计算对称结构的变形特点，针对切开对称轴处是刚结点。
注意，如果对称轴上是铰结点有所不同。
（1）对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。
（2）对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。
① 奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构 §7-6 对称结构的计算奇数跨刚架受对称荷载A. 奇数跨结构（无中柱对称结构）F PF P(1) 对称荷载F P半边结构对称轴截面内力结构与荷载3 取等代结构计算1扩展练习 奇数跨结构受对称荷载作用llqllAB例2. 图示结构EI = 常数。
对称性只有竖向荷载作用1X 3=3X 2X 1X 2=【例题】利用对称性计算图示结构,绘制弯矩图。
（EI=常l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/2l/2l/2l/2（a ）ldbFPFP4 无弯矩状态判定对称结构正对称荷载。
结构力学_力法(二)对称性的利用
荷载？还是一般性荷载?
P
对称荷载
l l l
M
l
P
P
P
反对称荷载
l l l l
M
EI=C
EI=C
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对 称荷载均为原荷载值的一半。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 下面这些荷载是对称？反对称
M 1图
M 2图
M 3图
进一步考虑荷载的对称、反对称性
⑴对称荷载作用下 ⑵反对称荷载作用下
P/2
Mp对称
P/2
P/2
Mp反对称
1 p 0 X 1 0 2 p 0 X 2 0
P/2
对称结构在对称荷载作用 下，只产生对称的内力、 变形和位移，反对称的内 力、变形和位移为零。 对称结构在反对称荷载作 用下，只产生反称的内力 、变形和位移，对称的内 力、变形和位移为零。
建筑力学教学课件 第15章力法及利用对称性计算超静定结构的内力
δ11X1+Δ1P=0
15.1.3 力法计算步骤与示例
15.1.3 力法计算步骤与示例
3. 排架
排架常用于装配式单层工业厂房，其 屋架简化为一刚度无限大的直杆(杆件)，屋 架与柱之间的联结为铰接。用力法分析排架 时，常取杆件的轴力作为基本未知力，其基 本结构为一组与地面固结的竖向的悬臂梁 (柱)，其他计算步骤与梁相同。
15.1.2 力法典型方程
在式(15-4)的方程组中，位于从左上方δ11至右下方δnn的 一条主对角线上的系数δii称为主系数；主对角线两侧的其他系 数δij(i≠j)称为副系数；最后一项ΔiP称为自由项。所有的系数和 自由项都是基本结构上与某一多余未知力Xi作用方向相应的位 移，并规定与所设的多余未知力Xi作用方向一致时为正。因为 主系数δii代表由单位力Xi=1作用时，在其本身方向引起的位移， 它必然与单位力Xi=1的方向一致，所以主系数恒为正数。而副 系数δij(i≠j)则可正、可负或为零。根据位移互等定理有
根据以上所述，力法计算超静定结构的步骤可归纳如下： （1）选取基本结构。去掉原结构的多余约束，并以多余 未知力代替相应多余约束的作用，从而得到基本结构。 （2）建立力法方程。根据基本结构在去掉多余约束出的 位移等于原结构相应位置的位移，建立力法方程。 （3）求系数和自由项。对于一般结构，可用图乘法计算 力法方程中的系数和自由项。对于曲杆或变截面杆则不能用图 乘法。这是，必须列出弯矩方程，用位移公式计算。
Δ1=Δ11+Δ1P=0
（15-1）
式（15-1）称为变形协调条件，它是基本结构与原结
构等同的条件，也是确定多余未知力大小的依据。
力法对称结构的计算上课
l/2 P/2
P/2
l/2
Mp
l/2
P/2 1
X1=1
M
l/2
18
例：绘制图示结构的内力图。
6m
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
EI EI
EI 2EI EI
6m
81
81 81 103.5 101320.0537.5 M
kNm kNm K kN·m
135 135
135
198 131999868
23kN/m
任何荷载均可分解为正对称荷载和反对称荷载的叠加， 因此，在一般荷载作用下，对称结构计算可以有两种 处理方法： 方法A：对荷载不作处理，直接取非对称荷载进行计算。 计算时取对称的基本体系； 方法B：进一步将荷载也分成对称和反对称的组合，对 这两部分荷载分别进行计算，最后将两种计算结果叠 加。
两种方法各有利弊。（教材P277底段的评述）
上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
C
P
P
C
P
P
对称：uc=0 中柱： vc=0
P 等代结构
对称：uc=0,θc=0 中柱： vc=0
对称：uc=0, θc=0
中柱： vc=0
C
P
C P
等代结构
P
11
下面讨论反对称荷载情况： ②对称结构在反对称荷载作用下，简化结构的取法 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
QC
QC
P
P
EI EI
由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC 当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变 形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后 再利用对称关系作出另半边结构的内力图1。4
结构力学对称性应用
对称性应用在工程问题中，有很多结构都具有对称性。
我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。
现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。
而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。
另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。
在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。
在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。
如下图所示：对称性在求解结构内力中的应用：对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。
因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。
据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。
取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。
简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。
2、将未知力及荷载分组。
3、取半结构进行计算。
对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
反对称正对称在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。
选取半结构的原则：1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效奇数跨对称结构：偶数跨对称结构：在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。
分析可知，在正对称荷载时用位移法求解只有一个基本未知量；但在反对称荷载时若用位移法求解将有两个基本未知量，而用力法求解则只有一个未知量。
结构力学第六章力法
例 求图示刚架M图。
q
B
C
E1I1 l
E2I2 l A
E1I1 k E2 I 2
原结构
q
X1
B
C
φA=0
X2
ΔφB=0
A 基本体系
1. 力法方程
11X1 12 X2 1P B 0 21X1 22 X 2 2P A 0
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
1 ql2 14CΒιβλιοθήκη B 5 ql256
B
C
1 ql2 8
A
1 ql2 28
a) M图
A
b) M图
3）当k=∞，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗 弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当
于简支梁，M图见图b)。
结论：
在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆 抗弯刚度EI的比值k 有关，而与杆件抗弯刚度 EI的绝对值无关。若荷载不变，只要 k 不变， 结构内力也不变。
（变形协调条件）。
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
X1 =><RB
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
二、ii q力法↓M↓E↓↓I的i↓2↓↓d↓典s 型0,方ik程
MiMk ↓↓E↓↓I↓↓↓↓
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 P 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
结构力学第五章 力 法
三、力法的典型方程
在上面方程组(5-4)中，多余未知力前面的系数组成了n行n列的 一个数表。从左上方到右下方对角线上系数δii(i=1，2，…，n) 称为主系数，它是单位多余未知力Xi=1单独作用所引起的沿自 身方向位移；其他系数δij(i≠j)称为副系数，它是单位多余未知 力Xj=1单独作用所引起的沿Xi方向位移；最后一项ΔiF称为自 由项，它是荷载单独作用时，所引起沿Xi方向位移。 显然，由物理概念可推知，主系数恒为正值，且不会为零；副 系数和自由项则可能为正、为负或为零。而且按位移互等定理， 有以下关系：δij=δji上述力法典型方程组具有一定规律性，无 论超静定结构是何种类型，所选择基本结构是何种形式，在荷 载作用下所建立的力法方程组都具有如式(5-4)相同的形式，故 称其为力法的典型方程。
(5) 绘内力图 最后弯矩图，可按叠加法求出，即M=M1X1+
M2X2+MF，M图已示于图5-15f中。剪力图和轴力图的作法， 只需把求得的多余未知力X1、X2代回基本体系(图5-15b)，
按一般静定刚架内力图作法即可求得，在此从略。
二、刚架
【例5-4】用力法计算图5-16a所示刚架，绘出弯矩M图。设EI
上式为正值，表示X1的实际方向与假定相同，即竖直向上。
二、力法的基本方程 多余未知力X1求出后，其余所有反力和内力从基本体系可看 出，都属于静定结构计算问题。绘制弯矩图可以应用已画出 的M1、MF图，应用叠加法较方便。 即有 例如，A截面弯矩值为
于是可作出M图(最后弯矩图)，如图5-11c所示。
二、力法的基本方程
图 5-11
三、力法的型方程 用图5-12a所示的二次超静定刚架为例，说明如何建立多次超静定 结构的力法基本方程，即力法典型方程。 撤除原结构B端约束，以相应的多余未知力X1、X2来代替原固定 铰支座约束作用，应用时考虑荷载作用，可得基本体系如图5-12b 所示。 图5-12原结构在支座B处是固定铰支座，将不会产生水平、竖向线 位移。因此，在基本体系上B点沿X1、X2方向位移也应为零，即 位移条件应为Δ1=0， Δ2=0和上面讨论一次单跨超静定梁相彷，设 单位多余未知力X1=1、X2=1和荷载F分别单独作用在基本结构上 时：B点沿X1方向产生位移记为δ11、δ12和Δ1F；沿X2方向产生的 位移记为δ21、δ22和Δ2F(图5-12c、d、e)。 按叠加原理，基本体系应满足的位移条件可表示为 δ11X1+δ12X2+Δ1F=0 δ21X1+δ22X2+Δ2F=0(5-3) 这就是求解多余未知力X1、X2所要建立力法典型方程式，求解该 线性方程组即可求得多余未知力。
结构力学——力法对称性的利用
结构力学——力法对称性的利用力法对称性是结构力学中常用的一种方法，可以有效简化结构分析的复杂性。
它基于结构的几何和物理特性，通过利用结构的对称性来减少需要考虑的自由度，从而简化结构力学问题。
力法对称性的利用可以在两个方面发挥作用：减少计算自由度和简化载荷分析。
首先，力法对称性可以减少计算自由度。
结构力学问题的求解通常需要计算结构的内力和变形。
结构的自由度越多，计算所需的计算量就越大，求解也就越复杂。
通过利用结构的对称性，我们可以将结构分为若干对称部分，仅对其中一个部分进行力学分析，然后通过对称性来得到其他部分的结果。
这样可以大大减少计算自由度，简化结构力学问题的求解过程。
具体来说，力法对称性可以应用于不同的结构部分，如杆件、板和壳体等。
例如，在杆件问题中，结构的对称性可以体现为几何对称性，如轴对称、平面对称等。
通过建立合适的坐标系和选择适当的参考点，可以简化结构的力学分析。
力法对称性还可以应用于简化载荷分析。
结构在受力时，通常存在很多不同的载荷情况，如重力、集中力、分布力等。
利用力法对称性可以简化对这些载荷的分析。
通过找到适当的对称轴或对称面，可以使得一些载荷分布具有对称性，从而简化分析。
通过减少载荷分布的复杂程度，可以更方便地计算结构的内力和变形。
需要注意的是，力法对称性在实际应用中需要满足一定的条件。
首先，结构必须存在对称性，即具有一定的几何和物理特性。
其次，结构的对称性必须与载荷情况相匹配。
如果对称性不满足这些条件，力法对称性可能无法有效地简化结构力学问题。
总之，力法对称性在结构力学中的应用可以大大简化力学分析的困难。
通过减少计算自由度和简化载荷分析，可以提高结构力学问题的求解效率。
利用力法对称性，结构工程师可以更加方便地进行结构设计和分析，提高工作效率和设计质量。
结构力学第20次课 结构的对称性 2012- 5-17
结构力学第20次课 力法6-5 位移法7-6结构的对称性 foxscarlet12012-5-17 《结构力学》第20次课 第6章力法6-5P225与第7章位移法7-6P302内容6-5 7-6 对称性利用1 对称性（1）结构的对称性：对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都关于某轴对称。
（2）荷载的对称性： 对称荷载 反对称荷载 任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载两部分。
2 取对称的基本体系计算： 不论在何种外因作用下，对称结构应考虑采用对称的基本体系计算。
沿对称轴将梁切开，三对多余未知力中，弯矩X 1和轴力X 2是 未知力，剪力X 3是 未知力。
对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。
如果荷载对称，M P 对称，Δ3P =0，X 3=0， 未知力为零；如果荷载反对称，M P 反对称，Δ1P =0， Δ2P =0， X 1= X 2 =0， 未知力为零。
3 取等代结构计算对称结构的变形特点，针对切开对称轴处是刚结点。
注意，如果对称轴上是铰结点有所不同。
（1）对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。
（2）对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。
① 奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构 §7-6 对称结构的计算奇数跨刚架受对称荷载A. 奇数跨结构（无中柱对称结构）F PF P(1) 对称荷载F P半边结构对称轴截面内力结构与荷载3 取等代结构计算1扩展练习 奇数跨结构受对称荷载作用llqllAB例2. 图示结构EI = 常数。
对称性只有竖向荷载作用1X 3=3X 2X 1X 2=【例题】利用对称性计算图示结构,绘制弯矩图。
（EI=常l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/2l/2l/2l/2（a ）ldbFPFP4 无弯矩状态判定对称结构正对称荷载。
力法—对称性的利用(建筑力学)
(2) 建立力法典型方程
11 X 1 1 0
(3) 求系数和自由项
11
1 l
l
1
1
2
EI 2
EI
1 ql 2 l 1 1 ql 2 l
ql 3
1P
1
1
EI 8 2 EI 3 8 2
称的基本结构，其基本体系如图ａ所示。其中多余未知力
1 、 2 为正对称未知力， 3 为反对称未知力。
根据切口处两侧截面的相对位移为零的条件，可建立力
法典型方程如下：
力法
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 0
21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 0
力法
11 X 1 12 X 2 1 0
21 X 1 22 X 2 2 0
33 X 3 3 0
结论：对于对称结构，如选取对称的基本结构，只要多
余未知力都是正对称力或反对称力，则力法典型方程必然分
解成独立的两组，一组只包含对称未知力，另一组只包含反
力法
（１）反对称荷载
反对称
11 X 1 12 X 2 1 0
21 X 1 22 X 2 2 0
33 X 3 3 0
1 0
X1 0
2 0
X2 0
对称结构在反对称荷载作用下，只有反对称的多余未知
力存在，而正对称的多余未知力必为零。
当按上述方法取出半结构后，即可按解超静定结构的方法
绘出其内力图，然后再根据对称关系绘出另外半边结构的内
对称性在结构力学中的应用
对称性在结构力学中的应用一、对称结构对称结构是几何形状、支承和刚度都关于某轴对称的结构 二、荷载的对称性对称荷载是指绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点、值相等、方向相同。
所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向布置的荷载、与对称轴重合的荷载都是对称荷载。
反对称荷载是指绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点、值相等、方向相反。
所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反向布置的荷载、位于对称轴上的集中力偶都是反对称荷载。
三、重要结论对称结构在对称荷载作用下：1) 对称结构在对称荷载作用下，内力、反力和变形都成对称分布，弯矩图和轴力图是对称的，剪力图是反对称的；2) 对称轴上的剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零； 3) 对称轴上的截面不能沿垂直对称轴的方向移动，也不能转动。
对称结构在反对称荷载作用下：1) 对称结构在反对称荷载作用下，内力、反力和变形都成反对称分布，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是对称的；2) 对称轴上的弯矩、剪力为零；与对称轴重合的杆轴力为零； 3) 对称轴上的截面不能沿对称轴方向移动。
qPNN F S 对称 反对称NN F 对称四、对称性在桁架结构中的利用1) 对称结构在对称荷载作用下，对称轴上的K 形结点无外力作用时，两斜杆为零杆。
2) 对称结构在反对称荷载作用下，与对称轴重合的杆轴力为零。
3) 对称结构在反对称荷载作用下，与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零。
五、对称性在超静定结构的应用——半结构的选取 例题一．图所示桁架中零杆的根数二．图示桁架中1，2杆的轴力。
将原结构荷载分解成对称和反对称两组情况，利用对称性分别计算1，2杆的轴力，然后将之叠加即可。
三．作图示结构的弯矩图q2。
结构力学中对称性利用
超静定对称结构
所谓的超静定对称结构，就是指：
（1）结构的几何形式和支撑情况对某轴对称。 （2）杆件截面和材料性质也对此轴对称。
超静定结构的对称性利用
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
2EI
（a）
对称结构
（b）
（c）
非对称结构
注意：结构的几何形状，支承情况以及杆 件的刚度(EI)三者之一有任何一个不满足 对称条件时，就不能称之为对称结构。
对称结构的求解：
（1）选取对称的基本结构 力法典型方程：
由于正反对称图形的相乘结果为零，故有关副系数为零。力法典型方程简化为两组： 即：
典型方程简化为：
正对称及反对称荷载：
正对称部分 反对称部分
如果作用于结构的荷载是正对称，如： 如果作用于结构的荷载是反对称的：
结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内 力和位移都是正对称的，在反对称荷载作用 下，其内力和位移都是反对称的。
静定对称结构
静定结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对 称于某一几何轴线。
特点：对称荷载作用下，结构内力呈对称分布 反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布
静定对称结构
静定对称结构
对称桁架的受力特征
当对称桁架承受对称荷载时，轴力呈对称分布 当对称桁架承受反对称荷载时，轴力呈反对称分布
利用对称性判定零杆
对称结构选取
半结构的选取
在计算对称结构时，根据对称结构特性， 可以选取半个结构计算。选取半结构的原 则：
在对称轴的截面或位于对称轴的节点处 按原结构的静力和位移条件设置相应的支
力法(对称结构的计算)(上课)
6m
81 207 103.5 103.5 103.5
kNm kNm 198 198 396
23kN/m
EI
EI EI
M K kN· m 135
等代结构
6m
135
135
198
等代结构的计算
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
P2
X1=1
13 31 23 32 0
X2
X3
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
M1
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
部分副系数为0，力法方程降阶
§5-5 对称结构的计算
支座、 刚度 都对称的结构. 1、结构的对称性：对称结构是几何形状、
EI EI EI 对称轴 EI EI EI2 对称轴
P1
m ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ EI1
P
l/2 EI2
q 对称轴
P1
EI1 a/2
l/2
a/2
2、荷载的对称性： 对称荷载——绕对称轴 对折后，对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向。 反对称荷载——绕对称 轴对折后，对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向。
16
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
C P 2EI P P C 2EI P
C P P EI 2EI P EI P
3.力法对称性简化分析
FP 2
FP
FP R
FP R
FP R
FP
M1 1
FP R MP sin 2
若只考虑弯矩对位移的影响，有：
M 12ds R M 1 M P ds FP R 2 FP R 11 , 1 P , X1 EI 2 EI EI 2 EI 1 sin 弯矩为： M M 1 X 1 M P FP R( ) 2
结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力 和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下， 其内力和位移都是反对称的。
例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。
解：根据以上分析，力法方程为：
11 X1＋ 1P＝0
11＝144 EI ＝1800 EI 1P X 1＝－12.5 M＝M 1 X 1＋M P
一、 对称性 (Symmetry) 的利用
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构
刚度不对称
注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚 度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不 能称超静定结构是对称结构。
对称结构的求解：
（1）选取对称的基本结构
力法典型方程为：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3 P
（3）取半结构计算：
FP FP FP
对称轴
（c）
FP FP
（d）
FP
问题：偶数跨对称刚架如何处理？
FP FP FP FP FP
FP FP
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例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
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M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1） 解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2） 任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3） 按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky
1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2
3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)
3pa/88 C
p
§8-7 超静定结构的位移计算
1
B
k
6a/44
I1
8a)
3a/44
MK图(b)
若取©中的基本结构则:
a/2
C
A
1 B
K
MK图(c)
3.取一半结构计算 （1）奇数跨
•正对称：内力有M,N，无Q；
•
位移有Y，无X,，
(a) P
P
反对称：内力有Q，无N，M； 位移有X,，无Y。
(c) P
P
(b) P
P (d)
(2)偶数跨
正对称：内力有M，N，M； 无位移。
反对称：无内力；无位移。
(a)
P
P
(c) P
P
(b) P
(d) P
(e) P P